小学五年级数学《形数结合探素数：质数与合数的意义建构》教案

小学五年级数学《形数结合探素数：质数与合数的意义建构》教案

一、教学背景与设计理念

（一）教材分析与定位

本课为北师大版小学数学五年级上册第三单元《倍数与因数》中的核心内容，属于“数论”初步知识。它是在学生已经掌握了因数、倍数以及2、5、3的倍数特征的基础上进行教学的。本课不仅是单元知识的深化与总结，更是学生后续学习公因数、约分、公倍数、通分以及分数四则运算的重要基石，在整个小学数学知识体系中起着承上启下的关键作用。【非常重要：后续学习的基础】教材编排摒弃了直接定义概念的做法，而是通过“用小正方形拼长方形”的活动，引导学生从“形”的维度去感悟“数”的特征，体现了数形结合思想，符合五年级学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知规律。

（二）学情分析

五年级学生已经具备了一定的操作探究和归纳概括能力。他们能熟练地找出一个数的所有因数，这为本节课通过因数个数来分类数奠定了基础【基础】。然而，“质数”与“合数”的概念极为抽象，是学生数论知识体系中的一次重要飞跃。学生在分类过程中，容易受奇数、偶数等既有经验的干扰，对于“1”的特殊性以及“2”作为唯一的偶质数等特例，往往需要深度思辨才能理解【难点】。因此，教学设计需提供丰富的感性材料，让学生在充分的活动中经历概念的建构过程，并在辨析中深化理解。

（三）核心设计理念

本设计秉持“学为中心”的理念，以核心素养为导向，通过“操作感知—分类比较—抽象概括—应用拓展”的认知路径，将抽象的数学概念转化为可视、可感、可思的数学活动。借助“形”的直观支撑“数”的分类，引导学生像数学家一样经历“再创造”的过程，在自主探究与合作交流中，深刻理解质数与合数的本质，发展数感、推理意识和抽象思维能力，感受数学的严谨与魅力【重要：核心素养导向】。

二、教学目标

1.知识与技能【基础】：经历用小正方形拼摆长方形寻找因数的过程，理解质数和合数的意义，能准确判断一个数（100以内）是质数还是合数。知道1既不是质数也不是合数。

2.过程与方法【重要】：通过观察、比较、分类、概括等活动，经历质数和合数概念的建构过程，体会数形结合、分类归纳的数学思想方法，培养抽象逻辑思维能力和合作探究能力。

3.情感态度与价值观：在探究活动中体验数学学习的乐趣，感受数学概念的严谨性，了解质数在数学发展中的文化价值（如哥德巴赫猜想），激发探索数学奥秘的兴趣。

三、教学重难点

1.教学重点【高频考点】：理解质数和合数的意义，掌握判断一个数是质数还是合数的方法。

2.教学难点【难点】：厘清质数与奇数、合数与偶数的区别与联系，深入理解“1”为什么既不是质数也不是合数。

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（含1-12个小正方形拼长方形的动态演示）、板贴、探究记录单。

学生准备：每人准备12个小正方形学具（或计数器）、探究记录单。

五、教学实施过程

（一）唤醒经验，问题驱动

上课伊始，教师通过课件出示一个由12个小正方形组成的长方形，提问：“同学们，还记得吗？用12个小正方形可以拼成几种不同的长方形？”引导学生回顾上节课找因数的方法，明确“每排个数×排数=总个数”，且“每排个数和排数都是总个数的因数”。学生回答后，教师课件演示三种拼法（1×12、2×6、3×4），并板书12的因数：1、2、3、4、6、12。

接着，教师抛出核心问题：“如果小正方形的个数分别是2到12，它们各能拼成几种不同的长方形？这与它们的因数个数又有什么内在联系呢？”由此引出课题——让我们继续深入研究数的特征。这一环节通过复习旧知，为学生搭建了学习的脚手架，同时以核心问题激发探究欲望，驱动学生进入主动学习的状态。

（二）操作探究，建构概念

1.动手操作，初步感知

教师发放探究记录单，组织学生以小组为单位，利用小正方形学具，依次拼摆数量为2至12个小正方形所能拼成的所有长方形，并完成表格填写。教师巡视指导，重点关注学生在拼摆过程中是否能有序思考（如从1×n开始），并鼓励学生记录每种拼法的长和宽，进而写出每个数的所有因数。

探究记录单设计如下：

小正方形个数（n）

拼成长方形的种数

n的因数

2

3

4

……

12

1.汇报交流，数据汇总

小组汇报拼摆结果，教师利用课件动态演示或板书记录，汇总形成2-12各数的因数表。在汇报过程中，重点关注有争议的数，如“9”能拼成1×9和3×3，虽然图形看似不同（一细长一正方形），但根据长方形特征，它们是两种不同的拼法，由此引导学生理解因数的概念包含重复的情况。

2.观察分类，聚焦特征

教师引导学生观察汇总后的表格，并提出关键性问题：“请同学们仔细观察这些数的因数，你发现它们有什么不同的特点？你能根据因数的个数给它们分分类吗？”【非常重要：核心探究环节】

学生先在小组内讨论，随后全班交流。学生可能会分成两类或三类。教师引导：“如果按照因数的个数来分，你们觉得分成几类比较合理？”通过讨论，逐步达成共识，将2-12这些数按因数个数分为三类：

第一类：只有两个因数的数。例如：2（因数1、2）；3（因数1、3）；5（因数1、5）；7（因数1、7）；11（因数1、11）。

第二类：有两个以上因数的数。例如：4（因数1、2、4）；6（因数1、2、3、6）；8（因数1、2、4、8）；9（因数1、3、9）；10（因数1、2、5、10）；12（因数1、2、3、4、6、12）。

第三类：只有一个因数的数。学生很快会发现“1”的因数只有它本身“1”。

3.揭示概念，深化理解

教师结合学生的分类，顺势揭示数学概念：“在数学上，像2、3、5、7、11这样，只有1和它本身两个因数的数，我们称之为质数，也叫做素数【高频考点】。像4、6、8、9、10、12这样，除了1和它本身以外还有别的因数的数，我们称之为合数【高频考点】。”

接着，教师指着“1”提问：“那么，1应该属于哪一类呢？”引发学生认知冲突。引导学生结合概念辨析：质数需要两个因数，1只有一个；合数需要至少三个因数，1也不符合。由此得出结论：1既不是质数，也不是合数【重要：特例记忆】。教师顺势完善板书，形成一个完整的自然数（0除外）分类结构图。

（三）深化理解，建构模型

1.概念辨析，抓住关键

教师引导学生回顾刚才的分类过程，并提问：“现在谁能用最简洁的语言说一说，怎样判断一个数是质数还是合数？”

学生归纳出判断方法：关键看因数的个数。如果这个数只有两个因数（1和它本身），就是质数；如果有两个以上因数（除了1和它本身还有别的因数），就是合数。教师强调：找到一个非1非本身的因数，即可判定为合数。

2.游戏激趣，即时判断

设计“听口令起立”的游戏。游戏规则：每个学生的学号代表一个数。教师发口令，符合条件的学生起立。

口令1：“学号是质数的同学请起立！”（2、3、5、7、11……）

口令2：“学号是合数的同学请起立！”（4、6、8、9、10、12……）

口令3：“学号是1的同学请起立！”（1号学生起立）教师追问：“为什么前两次起立都没有你？”引导学生再次强化1的特殊性。

此环节将枯燥的判断练习转化为趣味游戏，既巩固了新知识，又活跃了课堂气氛，让所有学生都参与其中。

3.突破难点，辨析关系

教师板书几个关键数：“2”、“9”、“15”、“21”，引导学生判断它们是质数还是合数，并说明理由。特别针对“2”，提问：“2是偶数，它为什么是质数？”引导学生认识到：质数不一定是奇数，2是唯一的偶质数【热点】。针对“9”、“15”、“21”，提问：“这些奇数为什么是合数？”引导学生认识到：合数不一定是偶数，奇数里也有合数。由此，帮助学生理清“质数与奇数”、“合数与偶数”是两种不同的分类标准，它们之间是交叉关系，不存在包含关系【难点突破】。

（四）拓展应用，探索规律

1.制作百以内质数表

教师提出问题：“我们已经认识了2-12中的质数，那么100以内还有哪些质数呢？我们怎样才能既不遗漏也不重复地找出它们？”

引导学生思考筛选策略。在学生讨论的基础上，教师介绍古老的“筛法”——埃拉托斯特尼筛法【重要：数学文化渗透】。然后，学生以小组为单位，利用附件的百数表，合作筛选出1-100的所有质数。

筛选步骤指导：

第一步：划掉1（因为它既不是质数也不是合数）。

第二步：保留2，划掉所有2的倍数（4,6,8……）。

第三步：保留3，划掉所有3的倍数（6,9,12……注意已被划掉的不用重复划）。

第四步：保留5，划掉所有5的倍数（10,15,20……）。

第五步：保留7，划掉所有7的倍数（14,21,28……）。

继续筛选，直到划到哪个数为止？引导学生发现，只需要筛选到10即可，因为大于10的质数，其倍数早已被筛掉。

小组合作完成后，全班核对，形成标准的100以内质数表。引导学生观察这些质数，除了2以外，都是奇数，且分布越来越稀疏。

2.质数的应用与文化拓展

教师简要介绍质数在生活中的应用，如现代密码学中的RSA加密算法就是基于大质数分解的数学难题。同时，介绍著名的“哥德巴赫猜想”——“任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”，并举例说明，如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7……激发学生探索数学奥秘的愿望【热点：数学文化】。

（五）分层练习，巩固提升

1.基础练习【基础】：判断下列各数是质数还是合数。

13、25、29、37、49、51

学生独立完成，指名汇报，并说明判断理由。重点讲解51的判断方法，防止学生误以为个位是1的都是质数（51=3×17）。

2.综合练习【重要】：判断下列说法是否正确。

（1）所有的质数都是奇数。（）

（2）所有的合数都是偶数。（）

（3）自然数中除了质数就是合数。（）

（4）两个质数的积一定是合数。（）

学生先独立思考，再小组辩论。第（4）题需要引导学生举例说明，如2×3=6，6除了1和6还有因数2和3，所以是合数，从而得出结论：两个质数的乘积至少有四个因数（1、两个质数本身、乘积本身），因此一定是合数【高频考点】。

3.拓展练习【难点】：猜数游戏。

有一个两位数，它既是奇数，又是合数，十位上的数是最小的质数，这个数是多少？（答案是25或27？引导学生逐一排除，最终确定25）

设计意图：通过层层递进的练习，使不同层次的学生都能得到发展，特别是通过辨析和猜数游戏，深化对概念的理解，提升思维的灵活性。

（六）课堂总结，梳理建构

1.知识梳理

教师引导学生回顾：“这节课我们一起研究了‘找质数’，你有哪些收获？”引导学生从知识、方法、感受三个维度进行总结。知识上，认识了质数和合数，知道了1的特殊性；方法上，学会了用拼摆、分类、筛选等方法研究数的特征；感受上，体会到了数学的严谨和奇妙。

2.思维延伸

教师提问：“学习了质数和合数，以后我们遇到一个很大的数，比如2023，你还能快速判断它是质数还是合数吗？有兴趣的同学课后可以继续探索。”将学习从课内延伸到课外，保持学生的探究热情。

六、板书设计

五年级数学《质数与合数》

小正方形个数因数个数分类

2——→1、2（2个）———→质数

3——→1、3（2个）↗（只有1和它本身）

5——→1、5（2个）两个因数

7——→1、7（2个）

4——→1、2、4（3个）———→合数

6——→1、2、3、6（4个）↗（除了1和它本身，

8——→1、2、4、8（4个）至少三个因数还有别的因数）

1——→1（1个）———→1既不是质数，也不是合数

核心概念：

质数（素数）：只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身还有别的因数。

1：既不是质数，也不是合数。

七、教学反思

本课设计以“形