小学五年级数学《因数与倍数：基于核心概念的深度练习》教案

小学五年级数学《因数与倍数：基于核心概念的深度练习》教案一、教学内容分析【基础】【核心概念】本节课是苏教版五年级下册第三单元“因数和倍数”的练习提升课。在此之前，学生已经初步理解了因数与倍数的意义（非零自然数范围内），掌握了找一个数的因数与倍数的基本方法，并对此部分概念有了初步的感知。本节课并非简单的新知重复，而是基于学生已有的认知基础，通过系统化、结构化、综合化的练习活动，帮助学生进一步内化概念本质，沟通概念间的内在联系，构建更加完善的知识网络。【难点】【易混点】教材从基础的因数与倍数辨识，到找一个数的因数与倍数，再到解决相关的简单实际问题，层层递进。但学生在学习过程中，极易出现概念混淆（如将因数与乘法算式中的乘数等同、倍数与乘法结果等同）、方法无序（找因数时遗漏或重复）、数域不清（忽略自然数且不含0的研究范围）等问题。因此，本节课的设计核心在于通过精心设计的练习，引导学生从“会找”上升到“会想”，从“机械记忆”走向“意义建构”，最终实现知识的灵活应用和思维能力的提升。二、学情分析【重要】五年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于“整除”的感性经验较为丰富，但对于“相互依存”的抽象关系理解起来仍有难度。在前期学习中，学生已经能够熟练地进行整数乘除法运算，这为理解因数与倍数奠定了坚实的算术基础。然而，他们的思维往往具有单一性和无序性，具体表现在：1.在找一个数的因数时，容易凭借直觉“跳着找”，导致遗漏；2.在描述因数和倍数关系时，语言不规范，常常孤立地说“4是因数”而不指明是谁的因数；3.对“一个数的因数个数是有限的，倍数的个数是无限的”这一特征虽有记忆，但缺乏深度的数感体验；4.容易将因数、倍数与已经学过的乘法各部分名称混淆。三、教学目标基于上述分析，结合2022版新课程标准对“数与运算”领域的要求，特制定以下素养导向的教学目标：（一）【基础】【达成】通过系统练习，进一步巩固因数与倍数的概念，能准确、熟练地判断两个非零自然数之间的因数与倍数关系，深入理解概念内涵。（二）【重点】【形成】通过有序的找因数、找倍数练习，熟练掌握一对一对找因数、从小到大找倍数的方法，并能运用这一方法解决简单的实际问题，培养思维的条理性和严密性。（三）【难点】【突破】在比较、分类、归纳等活动中，深化对一个数的因数与倍数基本特征（最小、最大、个数）的认识，初步感知完美数等趣味数学知识，感受数学的内在美与规律性，发展数感和抽象概括能力。（四）【拓展】【应用】在具体情境中，能灵活运用因数与倍数的知识解释生活现象，解决简单问题，体会数学与生活的广泛联系，增强应用意识。四、教学重难点（一）【核心重点】系统梳理找一个数的因数与倍数的方法，做到有序、全面、不重复、不遗漏，并能在此基础上进行比较与归纳。（二）【关键难点】深刻理解因数与倍数之间的相互依存关系，辨析概念本质，并能灵活运用特征解决稍复杂的综合问题。五、教学准备（一）教师准备：多媒体课件（包含分层练习、游戏环节、微课视频）、磁性数字卡片、学生学号贴纸。（二）学生准备：自备草稿本、彩色笔。六、教学实施过程（一）【基础唤醒】概念复述与关系澄清【设计意图：通过基础性判断，唤醒学生对核心概念的精准记忆，尤其聚焦于“相互依存”和“研究范围”两个易错点，为深度练习扫清障碍。】（1）开门见山，直接引入师：同学们，上节课我们初步认识了数王国里的一对好朋友——因数和倍数。今天，我们继续通过练习，深入地了解它们，看看它们之间到底藏着哪些有趣的秘密。（板书课题：因数与倍数深度练习）（2）【高频易错】火眼金睛辨对错师：首先，请大家当一回小法官，判断下面的说法对不对，并说明理由。①因为2.4÷0.6=4，所以2.4是0.6的倍数，0.6是2.4的因数。②因为24÷4=6，所以24是倍数，4是因数。③18是倍数，9是因数。④根据3×7=21，可以说21是3的倍数，也是7的倍数；3和7都是21的因数。【重要分析】逐题剖析：针对①，引导学生关注“研究范围”。因数与倍数是在非零自然数的范围内研究的，而2.4和0.6都是小数，因此不能谈因数和倍数关系14。针对②和③，引导学生关注“相互依存”。因数和倍数不能单独存在，必须说清“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。可以说21是3的倍数，但不能孤立地说18是倍数48。针对④，引导学生回归定义，巩固正确的表达方式。（3）同桌互练，强化表达师：请同桌两人合作，一人任意说一个非零自然数，另一人快速说出一个与之有因数或倍数关系的数，并完整地用“（）是（）的因数，（）是（）的倍数”这样的句式说出来。例如：A说15，B说3，并回答：3是15的因数，15是3的倍数。（学生互动，教师巡视，关注学困生的表达是否规范）（二）【核心深化】找因数的优化与规律探寻【设计意图：此环节将单一的“找因数”练习进行功能升级。通过对比、归纳、分类，让学生从“会找”进阶到“会思”，深刻体会“有序思考”的数学价值，并自主发现因数的分布规律。】（1）【重点技能】分层挑战，有序思考师：光会判断还不够，我们还得把数的所有因数都请出来。请大家拿出草稿本，试着写出下面各数的所有因数。【基础层】：8、11【进阶层】：18、24【挑战层】：36、49学生独立完成，教师巡视，捕捉典型资源（如有序书写、无序书写、遗漏书写）。师：谁愿意来展示一下你的成果？尤其说说你是怎么想的，保证不遗漏也不重复？生1（展示18的因数）：我想1×18=18，所以有1和18；2×9=18，所以有2和9；3×6=18，所以有3和6。所以18的因数有：1,2,3,6,9,18。生2（展示36的因数）：我也是用乘法一对一对想的，1和36，2和18，3和12，4和9，6和6。写到6和6的时候，因为两个因数一样，就只写一个。【方法提炼】师根据学生回答，精炼板书：“乘法配对，有序枚举。从小到大，两头开始，写到中间重复为止。”14对比展示无序书写的案例（如18的因数写：1,18,2,3,6,9），让学生评价哪种好，为什么好？引导学生明确：有序思考不仅能保证不重复不遗漏，还便于观察规律。（2）【难点突破】观察比较，发现特征师：请大家仔细观察刚才找到的这些数的因数（板书8,11,18,24,36,49的所有因数），小组合作讨论，看看你有什么新的发现？（学生热烈讨论后汇报）生：我发现每个数的因数里都有1！生：我发现每个数的最大因数都是它自己！生：我发现有的数因数很少，有的数因数很多。生：我发现一个数的因数个数是有限的。师根据学生回答，逐步完善板书：【板书】一个数的因数特征：最小因数是：1最大因数是：它本身因数的个数是：有限的12（3）【概念延伸】微课引入“完美数”师：在因数的世界里，有一些非常神奇的数。比如6，它的因数有1,2,3,6。如果把我们找因数时，去掉它本身，把剩下的所有因数加起来，你们发现了什么？生：1+2+3=6！正好等于6本身。师：真棒！数学家们把这种“除去本身之外，所有因数之和等于它本身”的数，叫做“完美数”。6就是最小的一个完美数。还有一个比6大一点的完美数藏在28的因数里，请大家课后去找一找，验证一下。这是数学的一种和谐之美。4（三）【系统建构】找倍数的拓展与特征归纳【设计意图：倍数的练习重点在于与因数特征的对比，通过对比加深对“无限”与“有限”的理解。同时，设计限制范围的倍数练习，让学生体会在特定条件下，无限也可以转化为有限，培养辩证思维。】（1）【基础】限时挑战，引出无限师：刚才我们研究了因数，现在我们来研究倍数。不计算，凭感觉猜一猜，如果老师让大家写出100以内3的倍数，与写出3的所有倍数，这两种写法有什么不同？生：3的倍数有无数个，写不完；100以内3的倍数是有限的，可以写完。师：说得太好了！这就是倍数最大的特点——无限性。那谁来挑战，写出50以内7的倍数？学生独立完成，并汇报。（7,14,21,28,35,42,49）（2）【重要】方法回顾师：你是用什么方法找的？生：用7依次乘1,2,3,4……但是不能超过50。师追问：为什么用乘法？不用除法？生：因为找倍数就是找这个数的几倍是多少，用乘法最简单，最有序。17（3）【难点】特征对比，构建知识网师：请大家回顾刚才的过程，结合我们之前学过的因数的特征，小组合作完成下面的对比表格（只列要点，不画表）。【师生共同梳理板书】关于倍数：最小倍数是：它本身最大倍数：没有倍数的个数：无限的12师强调：一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。比如18，它的最大因数是18，最小倍数也是18。这说明它自己是连接因数与倍数的一座桥梁。（四）【综合应用】游戏激趣与生活建模【设计意图：利用学生的学号作为学习资源，将枯燥的练习转化为生动的互动游戏，使抽象的“因数”、“倍数”、“质数”、“合数”等概念在游戏中得到综合运用。随后引入生活情境，帮助学生建立用概念解释生活的数学模型，实现知识的迁移。】（1）【趣味实践】“找朋友”游戏（根据学号）游戏规则：请全班同学起立，每个人胸前贴好自己的学号。第一轮：请学号是“8的因数”的同学坐下。（学号1,2,4,8坐下）第二轮：请学号是“5的倍数”的同学坐下。（学号5,10,15,20……坐下，教师引导学生注意学号最大的限制）第三轮（高难度）：请学号是“既是24的因数，又是3的倍数”的同学，起立并大声报出自己的学号。（学号3,6,12,24）9师采访其中一位学生（如学号12）：你为什么站起来？说说你的理由。生：因为12是24的因数（24÷12=2），同时12也是3的倍数（12÷3=4），所以我满足两个条件。（2）【生活建模】生活中的数学情境一：五（1）班有48名同学参加团体操表演，如果排成长方形队形，可以有几种排法？（每排人数和排数都要大于1）【重要分析】师：要解决这个问题，我们需要知道什么？生：需要知道48的因数有哪些。师：为什么？生：因为排数×每排人数=总人数48，所以排数和每排人数都是48的因数。要找有几种排法，就是找48的因数有几对。学生找出48的所有因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。师引导：因为排数和人数都要大于1，所以要排除1和48这一种。那么一共有多少对？（2和24；3和16；4和12；6和8。共4种。）1情境二：妈妈买回来一些苹果，3个3个地数多2个，4个4个地数也多2个。已知苹果总数在2030个之间，请问妈妈买了多少个苹果？【难点突破策略】小组讨论，教师提示：师：如果先拿走这多出来的2个，剩下的苹果数会怎么样？生：剩下的苹果数就既是3的倍数，又是4的倍数。师：也就是3和4共同的倍数。在2030之间，3和4共同的倍数是谁？也就是谁既是3的倍数又是4的倍数？生：24！因为24是3的倍数（3×8=24），也是4的倍数（4×6=24）。师：那总数就是24+2=26个。我们验证一下：26÷3=8（组）……2个；26÷4=6（组）……2个。完全符合条件。（五）【拓展提升】开放探究与思维挑战【设计意图：满足不同层次学生的需求，通过开放性问题和经典数学谜题，激发学生的探究欲望，将课堂学习延伸到课外，培养数学兴趣和逻辑推理能力。】（1）【高阶思维】猜数游戏师：老师心中想了一个数，它既是72的因数，又是9的倍数；它还是一个奇数。你知道这个数可能是多少吗？（学生独立思考，尝试列举）引导思路：先找出9的倍数（9,18,27,36,45,54,63,72……），再从中筛选哪些是72的因数（9,18,36,72），最后挑出其中的奇数（9）。所以答案是9。师：如果去掉“奇数”这个条件，答案可以是哪些？（9,18,36,72）（2）【数学文化】介绍哥德巴赫猜想师：同学们，因数和倍数不仅是小学数学的知识，更是整个数论的基础。其中有一个非常著名的难题，叫做“哥德巴赫猜想”。它说：任何大于2的偶数，都可以写成两个质数（只有因数1和它本身的数）的和。比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7……这个猜想看似简单，却难倒了全世界的数学家几百年，至今还没有完全证明。我国著名的数学家陈景润爷爷，在这个领域取得了世界领先的成果。希望大家能保持这份探究的好奇心，说不定未来的数学家就在我们班！5（六）【课堂小结】自主反思与网络构建（1）【构建】畅谈收获师：通过今天的练习，你对因数与倍数有了哪些新的认识？你学到了哪些解决问题的“法宝”？生1：我学会了找因数要有序，用乘法一对一对找。生2：我知道了因数和倍数是相互依存的，不能分开说。生3：我发现了一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的。生4：我学会了用因数和倍数的知识解决生活中的排队问题和分东西的问题。（2）【升华】总结提升师总结：同学们，数学学习就像今天这样，从表面的概念理解，到内在的规律探寻，再到生活中的灵活运用。我们不仅巩固了“有序思考”的方法，更发现了数中隐藏的奇妙规律。希望同学们在今后的学习中，也能像今天一样，不仅知其然，更要知其所以然，用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界。七、分层作业设计（一）【基础必做】完成练习册相关习题，重点练习用配对法找一个数的因数和用列举法找一个