小学六年级数学上册《分数除法“和倍”问题模型建构》教案

小学六年级数学上册《分数除法“和倍”问题模型建构》教案一、教学内容分析【基础】本节课是义务教育人教版小学数学六年级上册第三单元《分数除法》中的第7课时，教学内容为“解决问题（3）”，具体指向的是“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（分数关系），求这两个数”的实际问题，通常被称为“和倍问题”或“差倍问题”在分数领域的延伸35。本节课是分数除法应用问题的深化，是在学生已经掌握了“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”以及“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的基础之上进行教学的69。此类问题含有两个未知量，且题目中给出了这两个未知量之间的两种关系：一种是反映两者倍数（分数）关系的条件，另一种是反映两者和（或差）关系的条件5。教材以学生熟悉的篮球比赛得分为情境，引出这一具有代表性的数学模型。【重要】从知识体系上看，本节课是连接分数除法与代数思想的重要桥梁。它不仅巩固了用方程解决问题的一般步骤和方法，更关键的是引导学生学会如何设一个未知数来表示另一个未知数，从而将含有两个未知量的实际问题转化为一元一次方程来求解3。这为学生后续学习较复杂的分数应用题、百分数应用题以及初中阶段的二元一次方程组奠定了坚实的基础。与传统的算术解法相比，方程解法利用题目中的等量关系进行顺向思维，降低了思维的难度，特别是对于数量关系较为隐蔽的问题，方程体现了其优越性5。因此，本节课的核心不在于单纯的计算技能训练，而在于建模思想的渗透和解决问题策略的多样化与优化。二、学情分析【基础】六年级的学生已经具备了一定的整数、小数和分数四则运算能力，并且在本单元前几课时的学习中，已经能够较为熟练地找出题目中的单位“1”，并会根据分数乘除法的意义列出数量关系式，尤其是初步掌握了列方程解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这类简单实际问题的方法6。学生的逻辑思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，他们能够理解部分数量关系，但对于同时处理两个未知量，特别是如何根据两个量之间的关系设未知数，仍存在认知困难。【难点】学生在学习本节课时可能遇到的主要障碍有：一是思维定势，习惯于用算术法“顺向”或“逆向”思考，难以接受设一个未知数并用含未知数的式子表示另一个量的代数思想；二是在复杂的文字信息中，难以准确提取并正确表述两个不同的等量关系，容易混淆哪个关系用来“设”，哪个关系用来“列”5；三是对分数倍数关系的理解可能仍停留在表面，例如，不能灵活地将“下半场得分是上半场的一半”转化为“上半场得分是下半场的2倍”这两种等价形式，从而影响设未知数的策略选择3。三、教学目标基于课程改革理念和对教材学情的分析，设定如下教学目标：1.【基础】知识与技能：使学生理解和掌握“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系，求这两个数”的分数除法应用题的解题思路和解题方法。能正确分析题目中的数量关系，会列方程解答此类实际问题。2.【重要】过程与方法：经历解决问题的全过程，通过独立思考、小组合作等方式，引导学生尝试用多种方法（特别是不同设未知数的方法）解决问题。在对比、分析、优化的过程中，体会方程思想的顺向思维特点，感受解决问题策略的多样性，初步建立“和倍问题”的数学模型29。3.【非常重要】情感态度与价值观：在探究活动中，培养学生敢于探索、勇于创新的精神，增强学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达现实世界的意识。通过篮球比赛等情境，感受数学与体育生活的紧密联系，激发学习兴趣。四、教学重难点1.【重点】能够正确分析题目中的数量关系，会列方程解答含有两个未知量的实际问题。掌握设其中一个未知量为x，并用含有x的式子表示另一个未知量的方法。2.【难点】找准两个未知量之间的两种关系，能正确选择其中一个关系设未知数，根据另一个关系列出方程。对解答结果进行合理性的检验和反思。五、教学实施过程（一）唤醒经验，引入新课教师活动：课件出示复习题，引导学生回顾用方程解决问题的一般步骤。课件展示：（1）学校航模小组有24人，美术小组的人数比航模小组多。美术小组有多少人？（2）学校美术小组有30人，美术小组的人数比航模小组多。航模小组有多少人？学生活动：学生独立完成，并汇报交流。预设学生回答：第一题单位“1”已知，用乘法；第二题单位“1”未知，用方程或除法。教师追问：回顾刚才的解题过程，我们用方程解决问题最关键的一步是什么？预设：找准单位“1”，找出等量关系式。教师小结：看来，找准等量关系是解决问题的“金钥匙”。今天，我们继续运用这把金钥匙来开启更复杂的分数问题之门。（板书课题：解决问题（3）——构建“和倍”模型）【设计意图：通过两道对比题，帮助学生回顾分数乘除法问题的基本结构，特别是唤醒学生用方程解决问题的已有经验，为新知学习做好方法和知识上的铺垫9。】（二）创设情境，探究新知1.阅读与理解——提取信息，明确问题教师活动：课件出示教材第39页例6情境图3。六年级举行篮球比赛，我们班全场得了42分。下半场得分只有上半场的一半。求上半场和下半场各得多少分？学生活动：认真读题，同桌之间互相说说知道了什么，要求什么。全班交流：预设1：已知信息是“全场得分42分”和“下半场得分只有上半场的一半”。要求的是上半场和下半场的具体得分。预设2：我发现这里有两个未知数，上半场和下半场的得分都不知道。【非常重要】教师引导：你观察得非常仔细！这个问题和之前解决的问题有什么不同？预设：之前的问题一般只有一个未知量，而这道题有两个未知量。教师小结：对，这就是我们今天要研究的含有两个未知数的实际问题。（板书：两个未知数）2.分析与解答——探究策略，构建模型（1）分析关键句，寻找等量关系【基础】教师引导：题目中哪句话最关键？它告诉我们什么数量关系？预设1：“下半场得分只有上半场的一半”。这句话告诉我们下半场得分和上半场得分的关系。教师追问：你能用数学关系式表示这个关系吗？（板书：下半场得分=上半场得分×）预设2：反过来想，上半场得分也是下半场得分的2倍。（板书：上半场得分=下半场得分×2）【重要】教师引导：除了这两个量之间的关系，还有一个关于他们总和的关系吗？预设：有，“全场得了42分”。（板书：上半场得分+下半场得分=42）教师强调：大家看，我们找到了两组不同的关系，一组是表示两个量之间倍数关系，另一组是表示两个量之间和的关系。这就是解决这个问题的关键3。（2）合作探究，尝试列方程教师提出核心任务：现在请同学们以小组为单位，尝试用列方程的方法来解决这个问题。讨论一下，你准备设哪个量为未知数x？另一个量怎么表示？根据哪个等量关系来列方程？学生活动：小组合作，尝试列方程解答。教师巡视，收集典型解法。（3）展示交流，体会策略多样化请不同思路的小组上台板演并讲解。【热点】解法一：解：设上半场得分为x分，则下半场得分为x分。x+x=42(1+)x=42x=42x=42÷x=28下半场得分：x=×28=14（分）或者4228=14（分）答：上半场得28分，下半场得14分。学生讲解：我们是根据“下半场得分是上半场的”这个关系，设上半场为x分，那么下半场就是x分。再根据“上半场+下半场=42分”这个等量关系列出方程。【热点】解法二：解：设下半场得分为x分，则上半场得分为2x分。x+2x=423x=42x=14上半场得分：2x=2×14=28（分）答：上半场得28分，下半场得14分。学生讲解：我们把这句话理解为“上半场是下半场的2倍”，所以设下半场为x分，那么上半场就是2x分。同样根据总分的等量关系列出方程。（4）对比优化，感悟建模思想教师组织对比讨论：请大家观察这两种解法，有什么相同点和不同点？预设1：相同点是都用方程解答，都是根据“上半场得分+下半场得分=42”这个关系列方程。预设2：不同点是设的未知数不一样，表示另一个量的方法也不一样。【非常重要】教师深入追问：为什么可以这样设？你们发现了什么？预设：因为题目中给了两个量之间的关系，所以我们可以根据这个关系，用同一个未知数把两个量都表示出来。教师精讲：同学们说得太好了！这就是解决这类问题的关键。当我们遇到含有两个未知数的问题时，要根据它们之间的倍数（分数）关系，设其中一个量为x，那么另一个量就可以用含有x的式子表示出来。然后根据它们的和（或差）关系列出方程。这种思路就像搭积木，用关系把未知量联系起来，再用方程表达出来。（板书：设一个未知量，表示另一个未知量；根据和差关系列方程）1.回顾与反思——检验结果，深化理解【重要】教师引导：我们的解答正确吗？怎样检验？预设1：检查结果是不是符合题目条件。28+14=42（分），总分对了。预设2：14÷28=，下半场确实是上半场的一半，也对了。教师补充：检验是解决问题不可或缺的一步。我们不仅要检验得数的正确性，更要检验这些得数是否符合题目中所有的数量关系。回过头看看，刚才两种解法中，是不是还有一种检验方式？比如用解法一的结果代入解法二的关系里进行验证，也是可以的。教师小结：回顾整个解题过程，我们从理解题意、分析关系、列式解答到最后检验反思，每一步都有条不紊。特别是当遇到较复杂的分数问题时，顺着题目的意思列方程，往往能化难为易5。（三）分层练习，应用模型1.基础演练场——巩固双基（1）课本第42页“练习九”第1题3：某电视机厂去年全年生产电视机108万台，其中上半年产量是下半年的。这个电视机厂去年上半年和下半年的产量分别是多少万台？要求：学生独立完成，先找出关键句，写出等量关系式，再列方程解答。集体订正时，重点让学生说说自己设哪个量为x，根据什么列方程。【设计意图：模仿例题结构，及时巩固新学的解题模型，实现知识的迁移。】2.变式训练营——深化模型（2）课件出示改编题：某电视机厂去年上半年生产电视机48万台，是下半年产量的。这个电视机厂去年全年的产量是多少万台？引导对比：这道题和上一题有什么不同？还能用刚才的方法解决吗？独立完成，并同桌交流。预设：这道题虽然也是两个量，但已知了上半年的具体数量，求的是总和。可以直接用算术法或方程法先求出下半年的产量，再相加。【设计意图：通过变式，打破学生思维定势，让学生明白模型的核心在于关系，而非表象，避免生搬硬套。】3.拓展挑战台——发展思维（3）【难点】课件出示：学校图书馆的科普书和故事书一共有630本，其中科普书的本数比故事书多。科普书和故事书各有多少本？小组讨论：这道题的条件发生了什么变化？预设：不再是“谁是谁的几分之几”，而是“比谁多几分之几”。教师点拨：这其实是我们之前学过的“比一个数多几分之几”的变式。你能把“科普书比故事书多”这句话转化成“科普书是故事书的几分之几”吗？预设：科普书是故事书的(1+)，即。引导完成解题过程。【设计意图：将新旧知识进行勾连，让学生看到“和倍”问题与“已知比一个数多几分之几”问题的内在联系，进一步拓展模型的适用范围9。】（四）课堂总结，畅谈收获教师引导学生回顾本节课的学习历程：1.【基础】今天我们学习了什么类型的分数应用题？2.【重要】我们是怎样解决这类含有两个未知数的实际问题的？关键步骤有哪些？3.【核心】你对方程解题有什么新的体会？学生畅所欲言。教师总结：同学们，今天我们共同探索了“和倍”问题的奥秘。我们学会了在遇到两个未知量时，要勇敢地设其中一个为x，利用它们之间的关系表示出另一个，再根据和差关系列出方程。这个过程中，我们不仅收获了知识，更重要的是掌握了“变两个为一个”的数学思想。希望同学们在未来的学习中，能继续用好方程这个“顺向思维”的法宝，攻克更多的数学堡垒。（五）布置作业，巩固延伸1.基础作业：课本第42页练习九第2题、第3题3。2.实践作业：请你根据“六（1）班男生和女生一共有45人”这一条件，自己补充一个含有分数关系的条件，并改编成一道我们今天学习的应用题，然后解答出来。【设计意图：基础作业保证全体学生达到基本要求；实践作业鼓励学生逆向思维，自主构建模型，培养学生的应用意识和创新能力。】六、板书设计解决问题（3）——构建“和倍”模型关键信息：下半场得分=上半场得分×上半场得分=下半场得分×2上半场得分+下半场得分=42方法一：方法二：解：设上半场得x分，解：设下半场得x分，则下半场得x分。则上半场得2x分。x+x=42x+2x=42(1+)x=423x=42x=42÷x=14x=28上半场：2x=2×14=28下半场：28×=14（或4228=14）答：上半场得28分，下半场得14分。【核心模型】：1.设：根据倍数（分数）关系，设其中一个未知量为x，并表示另一个。2.列：根据和（差）关系，列出方程。七、教学反思（设计意图：此部分为教后预设性反思，旨在体现教学设计的前瞻性）本节课的设计力求突破传统应用题教学的模式，将重心从“解”转移到“建”，即帮助学生建构解决“和倍”问题的数学模型。在实际教学预想中，有几个关键点值得关注：首先，情境的引入要服务于模型的建构。篮球比赛的情境贴近学生生活，能有效激发兴趣，但更重要的是其中蕴含的数量关系具有典型性，便于学生从中抽象出数学本质3。其次，要给予学生充分的自主探究空间。在“分析与解答”环节，不急于评判两种方法的优劣，而是让学生在交流、碰撞中，自然而然地感悟到方程法的顺向思维优势以及设未知数的灵活性。当学生提出两种不同的设未知