专项06 因式分解的常见方法【沪科】七下数学专项练习

专项06因式分解的常见方法方法一提公因式法1.因式分解:(1)4x3-6x2; (2)2a2b+5ab+b;(3)6p(p+q)-4q(p+q); (4)(x-1)2-x+1.方法二公式法2.因式分解:(1)16x2-64; (2)9x3-25xy2;(3)4x3y+4x2y2+xy3; 4)(a2+1)2-4a2;(5)x2(a-b)2-y2(b-a)2; (6)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16;(7)(a+2b)2-8a(a+2b)+16a2.方法三分组分解法3.观察下面分解因式的过程,并完成后面的问题.分解因式:am+an+bm+bn.方法一:原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法二:原式=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n).根据你发现的方法,分解下列因式:(1)mx-my+nx-ny; (2)2a+4b-3ma-6mb.方法四配方法(添项法)4.阅读材料:在代数式中,将一个多项式添上某些项,使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式,这种方法叫做配方法.如果我们能将多项式通过配方,使其成为A2-B2的形式,那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解.例如,分解因式:x4+4.解:原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x).请按照阅读材料提供的方法,解决下列问题.分解因式:(1)4x4+1;(2)x4+x2+1.方法五换元法5，阅读材料,并解决问题:分解因式:(a+b)2+2(a+b)+1.解:设a+b=t,则原式=t2+2t+1=(t+1)2=(a+b+1)2.这样的解题方法叫做“换元法”,即当复杂的多项式中,某一部分重复出现时,我们用其他字母将其替换,从而简化这个多项式.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解.(1)(m+n)2-10(m+n)+25; (2)(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1.方法六十字相乘法6，阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形,由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)·(x+q).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如:将式子x2+3x+2分解因式.这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.所以x2+3x+2=(x+1)(x+2).上述分解因式x2+3x+2的过程,也可以用十字相乘的形式表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图).请仿照上面的方法,解答下列问题.(1)分解因式:①x2+7x+12;②(x2-3)2+(x2-3)-2.(2)若x2+px+8可分解为两个一次因式的积,求整数p的所有可能值.

专项06因式分解的常见方法答案全解全析1.解析(1)原式=2x2(2x-3).(2)原式=b(2a2+5a+1).(3)原式=2(p+q)(3p-2q).(4)原式=(x-1)2-(x-1)=(x-1)(x-2).2.解析(1)原式=16(x2-4)=16(x+2)(x-2).(2)原式=x(9x2-25y2)=x(3x+5y)(3x-5y).(3)原式=xy(4x2+4xy+y2)=xy(2x+y)2.(4)原式=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2.(5)原式=x2(a-b)2-y2(a-b)2=(a-b)2(x2-y2)=(a-b)2(x+y)(x-y).(6)原式=(x2+4x+4)2=(x+2)4.(7)原式=(a+2b-4a)2=(2b-3a)2.3.解析(1)方法一:原式=(mx-my)+(nx-ny)=m(x-y)+n(x-y)=(m+n)(x-y).方法二:原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y).(2)方法一:原式=(2a+4b)-(3ma+6mb)=2(a+2b)-3m(a+2b)=(2-3m)(a+2b).方法二:原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b).4.解析(1)4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+1+2x)(2x2+1-2x).(2)x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x).5.解析(1)设m+n=t,则(m+n)2-10(m+n)+25=t2-10t+25=(t-5)2=(m+n-5)2.(2)设x2-6x=t,则(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1=(t+8)(t+10)+1=t2+18t+81=(t+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4.6.解析(1)①由十字相乘法得x2+7x+12=(x+3)(x+4).②由十字相乘法得(x2-3)2+(x2-3)-2=(x2-3-1)(x2-3+2)=(x2-4)(x2-1)