第4章 刚体转动

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刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体．(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组．)刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：4.1刚体的定轴转动2

刚体平动质点运动

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．

特点：各点运动状态一样，如：等都相同．3转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

4刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成5沿逆时针方向转动一刚体转动的角速度和角加速度角位移

角坐标沿顺时针方向转动<0q0>q角速度P’(t+dt).OxP(t)r.6

在刚体做定轴转动时，其转动方向可以用角速度的正、负来表示.

的方向可由右手定则确定.7角加速度

刚体绕定轴转动时，如其角速度发生改变，则其就具有了角加速度.8(1)

每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(3)

刚体的任一质点均相同，但不同；定轴转动的特点

(2)

运动描述仅需一个角坐标．9二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的角加速度

=常量时，刚体做匀变速转动．10三角量与线量的关系11

例1在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后其转速随时间变化关系为：式中．求：(1)t=6s时电动机的转速．(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．12(2)

电动机在6s内转过的圈数为解(1)

将t=6s

代入(3)

电动机转动的角加速度为13例2一条缆索绕过一定滑轮拉动一物体,滑轮半径为0.5m,如果物体从静止开始以

匀加速上升，求：(1)滑轮的角加速度；(2)开始上升后,t=5秒时滑轮的角速度；(3)在这5秒内滑轮转过的圈数；(4)开始上升后,t=1秒时滑轮边缘上一点的

加速度的大小(不打滑)。14解(1)轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等，则(2)t=5秒时滑轮的角速度为(3)在这5秒内滑轮转过的角度为则转过的圈数为15开始上升后，设t=1秒时滑轮边缘上一点的加速度为

，它可分解为切向加速度

和法向加速度

，16P*O:力臂

对转轴z

的力矩

一力矩

用来描述力对刚体的转动作用．4.2力矩转动定律17O讨论

（1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩18O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和

（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．O质量元受外力，内力,由牛顿第二定律二转动定律质量元的切向运动方程为两边各乘以ri

，得又因，故上式为对所有质元，由上式可得合外力矩M转动惯量J这样有刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比——转动定律.讨论（1）（2）（3）

=常量22三转动惯量J

的意义：转动惯性的量度.

转动惯量的单位：kg·m2对刚体上质元连续分布有23

质量离散分布

J的计算方法

质量连续分布

：质量元

：体积元24刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置有关．（1）与刚体的体密度

有关．（2）与刚体的几何形状(及体密度

的分布)有关．说明25四

平行轴定理

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO26飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？27(2)为瞬时关系．(3)转动中与平动中地位相同．(1)

,与方向相同．说明

转动定律应用28

解:设细长的线密度为λ，质量元dm对定轴的转动惯量

例1有一质量为m，杆长l的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.ordmdrrOO’所以有29ordmdrrOO’AA’

利用平行轴定理，可求得通过细棒端点且与棒垂直的轴线AA’的转动惯量30几种刚体的转动惯量31转动惯量小实验32

例2如图所示，有一半径为R、质量为

的均质圆盘，可绕通过盘心

垂直盘面的水平轴转动。圆盘上绕有轻而细的绳，绳的一端固定在圆盘上，另一端系质量为

的物体。所有摩擦不计，求物体下落时的加速度、绳中的张力及圆盘的角加速度。33隔离物体，受力分析如图所示34稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例3一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ35

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得m,lOmgθ36由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，m,lOmgθ解得：有37

讨论

一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受重力为P,滑轮的角加速度为α1，若将物体去掉而以与P相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度α2

将(A)

不变(B)

变小(C)

变大(D)

无法判断Pα1α2RR38解选（C）Pα1α2T’PTRR39

力的时间累积效应：冲量、动量、动量定理．

力矩的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理．4.3角动量角动量守恒定律质点相对某参考点运动的共同特征掠面速度O行星绕太阳公转时，掠面速度守恒水平面上一端固定的橡皮筋其另一端小物体对固定点的掠面速度守恒.OO作均速直线运动的质点对O点的掠面速度定恒.421质点的角动量

质量为的质点以速度在空间运动，某时对

O

的位矢为，质点对参考点O的角动量一质点的角动量定理和角动量守恒定律大小

的方向符合右手法则角动量单位：kg·m2·s-1

※质点以作半径为

的圆周运动，相对圆心角动量在生活中的应用视频442

质点的角动量定理45

作用于质点的合外力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O

的角动量随时间的变化率.对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量——质点的角动量定理.冲量矩46

恒矢量3

质点的角动量守恒定律

当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一常矢量——质点的角动量守恒定律.当注：合力矩可能有两种情况：一种是合力

另一种是合力

虽不为零，但合力通过参考点O，致使合力矩为零.47

例1

一半径为R

的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m

的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A

(该点在通过环心O

的水平面上)，然后从A点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点B

时对环心O

的角动量和角速度．48

解小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理49考虑到得由题设条件积分上式得50二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1刚体定轴转动的角动量O51对定轴转动的刚体，2

刚体定轴转动的角动量定理质点mi受合力矩Mi(包括Miex、Miin

)合外力矩52非刚体定轴转动的角动量定理

对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从

变为

，积分可得：

当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量——定轴转动的角动量定理.533

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若=常量

如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变

——角动量守恒定律.54

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.讨论

在冲击等问题中常量55

许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水角动量守恒视频跳水视频56自然界中存在多种守恒定律

动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等57

例2一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m、转动惯量为

的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以1.00m/s的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大？58解设转台相对地的角速度为

，人相对转台的角速度为

。由相对角速度的关系，人相对地面的角速度为由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有式中负号表示转台对地的转动方向与人对地面的转动方向相反。59

例3一杂技演员M由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh60设跷板是匀质的，长度为l，质量为

，跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．解碰撞前M落在

A点的速度碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度61M、N和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh62解得演员N以u起跳，达到的高度：63力的空间累积效应：

力的功、动能、动能定理．力矩的空