教学材料《工程图》-第5章 立体及其表面交线

5.1平面立体5.1.1常见平面立体的形成方式和结构特点5.1.2棱柱5.1.3棱锥返回章首第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图任何立体都可看成是由平面或曲面围成的立体。由若干平面围成的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥；由平面或曲面或者全部由曲面围成的立体称为曲面立体，如圆柱、圆锥、圆球和圆环。本节主要介绍平面立体的形成方式、结构特点及其表面取点的方法。5.1.1常见平面立体的形成方式及结构特点第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图项目棱柱棱柱体棱锥棱台立体图形成方式结构特点由顶面和底面及若干棱面组成，棱面垂直于底面，各棱线相互平行；底面形状反映立体特征，为特征平面，不同底面形成不同柱体由一个或两个底面和具有公共定点的棱面组成，各棱线交于顶点；锥状体的形状取决于底面形状5.1.2棱柱第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.棱柱的投影5.1.2棱柱第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.棱柱表面取点m'mm''nn'n''【例5-1】如图所示，在正六棱柱表面上有两点，分别为M和N，已知M点正面投影m′，求作其水平投影和侧面投影；已知N点的水平投影n，求其正面投影n′和侧面投影n″。分析：

m′可见，M点必在左前方棱面上；n可见，N点必在顶面。作图：5.1.3棱锥第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.棱锥的投影s'c'a'b's''a''c''b''absc5.1.3棱锥第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.棱锥表面取点例【5-2】如图所示，在正三棱锥表面有两点E和F,已知E点的正面投影e′，求其水平投影e和侧面投影n″；已知F点的水平投影f，求其正面投影f′和侧面投影f″。分析：作图：（1）求E点的投影

方法一：过锥顶作辅助线s''a''c''b''abscs'c'a'b'e′1ee''1′5.1.3棱锥第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.棱锥表面取点例【5-2】如图所示，在正三棱锥表面有两点E和F,已知E点的正面投影e′，求其水平投影e和侧面投影n″；已知F点的水平投影f，求其正面投影f′和侧面投影f″。作图：（1）求E点的投影方法二：作平行线s''a''c''b''abscs'c'a'b'e′e''2′3′23e5.1.3棱锥第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.棱锥表面取点例【5-2】如图所示，在正三棱锥表面有两点E和F,已知E点的正面投影e′，求其水平投影e和侧面投影n″；已知F点的水平投影f，求其正面投影f′和侧面投影f″。作图：（2）求F点的投影（投影积聚性法）

f''s''a''c''b''abscs'c'a'b'f注：F点在后棱面上，所以其正面投影不可见，用（f′）表示。(f′)5.2回转体5.2.1常见回转体的形成方式和结构特点5.2.2圆柱5.2.3圆锥返回章首第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图

本节主要介绍回转体如圆柱、圆锥、圆球和圆环的形成方式、结构特点及其表面取点的方法。5.2.4圆球5.2.5圆环5.2.1

常见回转体的形成方式及结构特点第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图项目圆柱圆锥圆球圆弧回转体立体图形成方式结构特点由上、下两个底面和一个回转面组成，回转面垂直于底面，圆柱素线与轴线平行由一个底面和一个回转面组成，各条素线交于定点由一圆母线绕过圆心且与圆在同一平面的轴线回转形成由上、下底面和圆弧回转面组成，两底面互相平行，素线为一段圆弧5.2.2圆柱第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.圆柱的投影5.2.2圆柱第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.圆柱表面取点例【5-3】如图所示，已知圆柱体表面两点M和N的正面投影,求其水平投影m、n和侧面投影m″、

n″。分析：作图：m′n′m''mn(n'')注：N点在右半圆柱面上，故其侧面投影不可见，用（n″）表示。5.2.3圆锥第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.圆锥的投影母线最左素线最前素线5.2.3圆锥第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.圆锥表面取点例【5-4】如图所示，已知圆锥表面M点正面投影m′,求其水平投影m和侧面投影m″、

n″。分析：作图：①辅助素线法②辅助圆法5.2.4圆球第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.球的投影5.2.4圆球第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.球表面取点【例5-5】如图所示，已知球面上点M和N的正面投影m′和n′，求其另两面投影。分析：作图：辅助圆法5.2.5圆环第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.环的投影5.2.5圆环第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.环面上取点【例5-6】如图所示，已知环面上点M的正面投影m′，求其水平投影m和侧面投影m″。分析：作图：辅助圆法5.3平面与立体相交

5.3.1平面与平面立体相交5.3.2平面与曲面立体相交

返回章首第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图

本节主要介绍平面与立体相交相关问题，研究平面与立体相交就是求截交线的投影以及截断面的实形。5.3平面与立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图平面与立体相交，可以认为是用平面截切立体。截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，立体被截切后的断面称为截断面，它是由截交线围成的平面图形。

截平面截断面截交线5.3平面与立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图工程上常见截切体V形块

球轴承

十字接头

5.3平面与立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图立体被平面截切时，立体形状和截平面相对位置不同，所形成的截交线的形状也不相同。为了正确地画出截交线的投影，应掌握截交线的基本性质：

（1）截交线是截平面和立体表面交点的集合，截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面和立体表面的共有线。（2）立体是由表面围成的，所以截交线必然是由一条或多条直线或平面曲线围成的封闭平面图形。（3）求截交线的实质是求平面和立体的共有点。5.3.1平面与平面立体相交

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图研究平面与平面立体相交的实质就是求平面与平面立体各表面的交线。平面与平面立体相交所得的截交线是由直线组成的封闭多边形，多边形的边数取决于立体上与平面相交的棱线的数目。分析：作图：【例5-7】如图所示，试求六棱柱被正垂面P截切后截交线的水平投影和侧面投影。5.3.1平面与平面立体相交

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图分析：作图：【例5-8】如图所示，三棱锥被相交的水平面和正垂面所截，试求作截切后截交线的水平投影和侧面投影。5.3.2平面与曲面立体相交

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图一般情况下，平面与曲面立体相交的截交线为一封闭的平面曲线。但由于截平面与曲面立体相对位置的不同，也可能得到由直线和平面曲线组成的截交线，或者完全由直线段组成的截交线。平面与曲面立体相交，截交线上的点，分为特殊点和一般点。特殊点包括：曲面转向轮廓线上的点，极限位置点，即相对于投影体系的最高点、最低点、最前点、最后点、最左点、最右点，以及椭圆长短轴端点等。以下主要讨论平面与圆柱、圆锥、圆球以及组合回转体相交时截交线的性质及作图方法。5.3.2平面与曲面立体相交

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图截平面位置平行于轴线垂直于轴线倾斜于轴线立体图

投影图截交线两条平行直线圆椭圆1.平面与圆柱相交5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-9】求作圆柱被正垂面截切时截交线的投影。分析：作图：1.平面与圆柱相交（1）求特殊点。

（2）求中间点。

5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图随着截平面与圆柱轴线夹角α的变化，椭圆的侧面投影也会发生如下变化：1.平面与圆柱相交（1）当α<45°时，椭圆长轴与圆柱轴线相同。（2）当α=45°时，椭圆的长轴等于短轴（投影为圆）。（3）当α>45°时，椭圆的长轴垂直于圆柱轴线。α<45°α=45°α>45°5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-10】如图所示，试完成开槽圆柱的水平投影和侧面投影。

分析：作图：1.平面与圆柱相交5.3.2平面与曲面立体相交

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.平面与圆锥相交截平面位置垂直于轴线倾斜于轴线α<θ倾斜于轴线α>θ平行或倾斜于轴线α>θ过锥顶立体图投影图截交线圆椭圆抛物线双曲线两相交直线5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-11】如图所示，圆锥被正垂面截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。分析：作图：2.平面与圆锥相交①先作特殊点②再作适当数量的一般点③平滑地连接各点截交线水平面正平面②利用辅助平面法求一般点③平滑地连接各点5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-12】如图所示，圆锥被正平面截切，求作截交线的正面投影。分析：作图：2.平面与圆锥相交①求特殊点截交线5.3.2平面与曲面立体相交

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图3.平面与球相交截平面位置截平面平行或垂直于轴线截平面倾斜于轴线截交线的投影圆椭圆直观图投影图5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-13】如图所示，求正垂面与圆球相交时其截交线的水平投影。分析：作图：3.平面与球相交①先作特殊点②再作适当数量的一般点③平滑地连接各点5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图半圆头螺钉头部的立体图及其三面投影应用举例3.平面与球相交5.3.2平面与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-14】如图所示为一连杆头的立体及三视图，求其截交线的正面投影。分析：作图：4.平面与组合回转体相交

球面圆锥面圆柱面组合回转体是由若干基本回转体组合而成的。作图时首先要分析其各组成部分的曲面性质，然后按照它的几何特性确定截交线的形状，再分别作出其各面投影。5.4两立体表面交线

5.4.1相贯线的基本概念、基本形式与特性

5.4.2平面立体与曲面立体相交返回章首第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图

在机器零件上常出现两立体相交的情况，两立体表面的交线称为相贯线。本节主要介绍立体相交相关问题。5.4.3曲面立体与曲面立体相交5.4.4相贯线的简化画法和特殊情况5.4.1相贯线的基本概念、基本形式与特性

第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图在机器零件上常出现两立体相交的情况，两立体表面的交线称为相贯线。相贯线不仅出现在两立体外表面相交的情况，有时还经常见到由于在立体上穿孔而形成的孔口交线、或孔与孔的孔壁交线。相贯线具有下列性质：（1）相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线；（2）相贯线在一般情况下为空间曲线或折线，特殊情况下为平面曲线或直线。因此，求相贯线的基本问题是求两立体表面的共有点。两立体相交可分为两平面立体相交、平面立体与曲面立体相交、两曲面立体相交三种情况。

5.4.2平面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图平面立体与曲面立体的相贯线即为平面立体的相关平面与曲面立体表面各交线的组合。求交线的实质就是求各棱面与回转面的截交线。平面立体的棱线与曲面立体表面的交点称为贯穿点，它们是各段截交线之间的连接点。贯穿点四棱柱圆柱相贯线5.4.2平面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图分析：作图：【例5-15】如图所示为一假想的直三棱柱与圆锥相交，求其相贯线的水平投影和侧面投影。5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图机械零件多由两个以上的立体组合而成，结合时表面常出现交线，称为相贯线，两相交立体称为相贯体。

圆柱与圆柱相交

圆柱与圆环相交

圆柱与圆锥相交

圆柱与圆球相交

5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图两曲面立体相交，其相贯线的一般性质如下：（3）相贯线的形状取决于曲面的形状、大小以及两曲面之间的相对位置。一般情况下为空间曲线，特殊情况下可以由平面曲线或直线组成。（1）相贯线是两曲面立体表面的共有线，也是两曲面立体表面的分界线。相贯线上的所有点都是两曲面立体表面的共有点。（2）由于立体的表面是封闭的，因此相贯线在一般情况下是封闭的线条。当两立体的表面处在同一平面上时，两表面在此平面部位上没有共有线，即相贯线不封闭。（3）两立体内表面相交。两曲面立体相交主要有三种情况：（1）两立体外表面相交；（2）两立体内表面和外表面相交；5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图相交形式外表面与外表面相交外表面与内表面相交内表面与内表面相交立体图投影图两曲面立体相交，且其投影均具有重影性时，可利用重影性直接求出其相贯线。5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图【例5-16】如图所示，一铅垂圆柱和一水平圆柱相交，且其轴线在同一正平面内垂直正交，求其相贯线的投影。分析：作图：1.表面投影重影性法①先作特殊点②再作一般点③连线并判别可见性辅助平面法是利用三面共点原理，作一系列截平面截切两相贯体表面，每截切一次即得两条截交线，这两条截交线即为三面（截平面、两相贯体表面）的共有点，同时也是相贯线上的点，当得出一系列共有点后，依次顺序连线即得相贯线的投影。辅助平面法适用于所有表面相交的情况，是求相贯线的通用方法。实际作图时，要使选择的辅助平面与相交两立体表面的交线是简单、易画的几何图形。辅助平面一般取投影面的平行面。【例5-17】如图所示，水平圆柱与半球相贯，已知相贯线的侧面投影，求作其正面投影和水平投影。5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图分析：作图：2.辅助平面法①先作特殊点②再作一般点③连线并判别可见性【例5-18】如图所示为一弯管的外形，它是由一圆柱与圆环相交而成，求作其外表面交线的投影。5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图分析：作图：2.辅助平面法①先作特殊点②再作一般点③连线并判别可见性辅助球面法是应用球面作为辅助面。其基本原理为：当两回转面相交时，以其轴线的交点为球心作一球面，则球面与两回转面的交线分别为圆由于两圆均在同一球面上，因此两圆的交点即为两回转面的共有点。若回转面的轴线平行于某一投影面时，则该圆在该投影面上的投影为一垂直于轴线的线段，该线段就是球面与回转面投影轮廓线的交点的连线。5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图3.辅助球面法利用辅助球面法求相贯线，要求相贯体必须满足以下条件：（1）参加相贯的立体都是回转体。（2）两回转体轴线相交。（3）两回转体轴线所决定的平面，及两回转体的公共对称面平行于某一投影面，从而保证球面与两回转面的交线在平行于轴线的投影面上的投影均为垂直于轴线的直线段。【例5-19】如图所示为一圆柱和圆锥斜交，求其相贯线的正面投影和水平投影。5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图分析：作图：3.辅助球面法5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图4.相贯线的变化趋势相贯立体立体尺寸的变化圆柱与圆柱（轴线正交）投影图相贯线形状上下对称的两条空间曲线相交的两平面曲线—椭圆左右对称的两条空间曲线圆柱与圆锥（轴线正交）投影图相贯线形状左右对称的两条空间曲线相交的两平面曲线—椭圆上下不同的两条空间曲线5.4.3曲面立体与曲面立体相交第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图4.相贯线的变化趋势相贯立体相对位置的变化圆柱与圆柱(轴线垂直交叉)投影图相贯线形状左右、上下均对称的空间曲线左右对称的空间曲线且在切点处交于一点左右对称的空间曲线5.4.4相贯线的简化画法和特殊情况第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图1.相贯线的简化画法相贯线的简化画法外表面与外表面相交外表面与内表面相交内表面与内表面相交5.4.4相贯线的简化画法和特殊情况第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.相贯线的特殊情况（1）相贯线为平面曲线①当两个同轴回转体相交时，相贯线一定是垂直于轴线的圆。当回转体轴线平行于某一投影面时，这个圆在该投影面上的投影为垂直于轴线的直线。圆柱与球同轴相交

圆锥与球同轴相交

5.4.4相贯线的简化画法和特殊情况第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.相贯线的特殊情况（1）相贯线为平面曲线②当轴线相交的两圆柱（或圆柱与圆锥）公切于同一球面时，相贯线一定是平面曲线，即两个相交的椭圆。圆柱与圆柱等径正交（公切—圆球）

圆柱与圆锥正交（公切—圆球）

5.4.4相贯线的简化画法和特殊情况第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.相贯线的特殊情况（1）相贯线为平面曲线②当轴线相交的两圆柱（或圆柱与圆锥）公切于同一球面时，相贯线一定是平面曲线，即两个相交的椭圆。圆柱与圆柱等径斜交（公切—圆球）圆柱与圆锥斜交（公切—圆球）5.4.4相贯线的简化画法和特殊情况第5章立体及其表面交线北理工——画法几何及机械制图2.相贯线的特殊情况（2）相贯线为直线当相交两圆柱的轴线平行时，相贯线为直线；当两圆锥共顶时，相贯线也是直线。相交两圆柱的轴线平行

两圆锥共顶

【本章小结】第6章组合体的视图北理工——画法几何及机械制图本章主要介绍了立体的投影、立体表面截交线、相贯线投影的作图方法，需要重点掌握立体表面的截交线和相贯线的作图方法。平面立体：棱柱、棱锥、棱台平面立体形成：平面图形沿一组平行棱线或相交与一点的一组棱线拉伸而形成。平面立体投影：一投影反映顶面或底面的实形；另两投影为侧棱面的投影，为四边形、三角形和梯形的组合多边形组合。平面立体表面求点：棱柱表面取点（