第五章 生活中的轴对称（9类题型突破）【北师】七下数学专题复习

第五章生活中的轴对称（9类题型突破）考点一生活中轴对称1．（2023秋•来凤县期末）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D考点二轴对称的性质3．（2023秋•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°4．（2023秋•阿图什市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．100° B．90° C．50° D．30°5．（2023秋•凤山县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．（2023秋•青龙县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm7．（2023秋•南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是____．8．（2023秋•信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为____．考点三翻折变换(折叠问题)9．（2023秋•荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°10．（2023秋•驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．70°11．（2023秋•芝罘区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC、AB于点D、E．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么AB的长为（）A．10cm B．12cm C．13cm D．17cm12．（2023秋•孝义市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边的点C′处．若△ABC的周长是24，△BDC′的周长是12，则AC的长为（）A．12 B．9 C．6 D．313．（2023秋•临淄区期末）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝69°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝22°，则∠2的度数为（）A．68° B．58° C．48° D．38°14．（2023秋•黄渤海新区期末）如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝94°，则∠MGE＝__94°．考点四角平分线的性质15．（2023秋•广州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm16．（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（）A．12 B．8 C．24 D．1117．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．418．（2023秋•济南期末）如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，∠APB＝90°，若△PBC的面积为5，则△ABC的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1119．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处 B．二处 C．三处 D．四处考点五线段垂直平分线的性质20．（2023秋•鹿寨县期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝48°，则∠BDC的度数为（）A．48° B．96° C．90° D．84°21．（2023秋•阿荣旗期末）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点22．（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（）A．25° B．45° C．50° D．70°23．（2023秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1024．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100° B．90° C．80° D．70°25．（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（）A．5 B．8 C．9 D．10考点六等腰三角形的性质26．（2023秋•广州期末）若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（）A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm27．（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°28．（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”29．（2023秋•泗水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝32°，则∠BAC的度数是（）A．32° B．52° C．64° D．68°30．（2023秋•雨花区期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC．（1）若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长．（2）若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数．31．（2023秋•庄浪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．32．（2023秋•安化县期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，D为BC边上一点，过点D作FD⊥BC于点D，作DE⊥AB于点E，若∠EDF＝65°，求∠AFD的度数．考点七等边三角形的性质33．（2023秋•北京期末）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，则∠BAD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°34．（2023秋•莱西市期末）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（）A．142° B．128° C．98° D．92°35．（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°36．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．37．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5 B．5 C．6 D．938．（2023秋•凉州区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：DB＝DE；（2）若CF＝4，求△ABC的周长．39．（2023秋•嘉祥县期中）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．40．（2023秋•德城区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．考点八作图-轴对称变换和利用轴对称设计图案41．（2023•岳池县模拟）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．42．（2023秋•哈密市期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标____．考点九轴对称-最短路径问题43．（2023秋•弋江区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．844．（2023秋•阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.845．（2023秋•城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58° B．64° C．61° D．74°46．（2023秋•湖北期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45° B．90° C．100° D．135°47．（2023秋•凉州区期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

第五章生活中的轴对称（9类题型突破）考点一生活中轴对称1．（2023秋•来凤县期末）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、图形是轴对称图形，符合题意；B、图形不是轴对称图形，不符合题意；C、图形不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是轴对称图形，不符合题意．故选：A．2．（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【解答】解：可以瞄准点D击球．故选：D．考点二轴对称的性质3．（2023秋•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故选：A．4．（2023秋•阿图什市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．100° B．90° C．50° D．30°【答案】A【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C＝30°，∠A＝50°，∴∠C＝∠C′＝30°．∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：A．5．（2023秋•凤山县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，故选：C．6．（2023秋•青龙县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】A【解答】解：∵点P关于OA的对称点是P1，∴P1M＝PM．∵点P关于OB的对称点是P2，∴PN＝P2N．∵△PMN的周长＝6cm，P1M＝PM，PN＝P2N，∴P1P2＝P1M+MN+P2N＝PM+PN+MN＝6cm，故选：A．7．（2023秋•南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是__3__．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是三角形ABC的对称轴，∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD＝DC，∴S△EFB＝S△EFC，∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD•AD＝×2×3＝3．故答案为3．8．（2023秋•信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为__11__．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AC＝EC，∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．故答案为：11．考点三翻折变换(折叠问题)9．（2023秋•荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【答案】B【解答】解：由翻折知，∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠D1MC，∵∠1＝32°，∴∠AMB+∠DMC＝74°，∴∠BMC＝74°+32°＝106°，故选：B．10．（2023秋•驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．70°【答案】A【解答】解：由折叠可知：∠CBD＝∠C′BD＝70°，∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE+∠A′BE＝2∠ABE＝180°﹣（∠CBD+∠C′BD）＝40°，∴∠ABE＝20°，故选：A．11．（2023秋•芝罘区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC、AB于点D、E．如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么AB的长为（）A．10cm B．12cm C．13cm D．17cm【答案】C【解答】解：∵△ADC的周长为17cm，∴AD+CD+AC＝17cm，∵AC＝5cm，∴AD+CD＝17﹣AC＝17﹣5＝12（cm），由折叠得BD＝AD，∴BC＝BD+CD＝AD+CD＝12cm，∵∠C＝90°，∴AB＝＝＝13（cm），故选：C．12．（2023秋•孝义市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边的点C′处．若△ABC的周长是24，△BDC′的周长是12，则AC的长为（）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【解答】解：由折叠得C′D＝CD，AC′＝AC，∵△BDC′的周长是12，∴BC′+BC＝BC′+BD+CD＝BC′+BD+C′D＝12，∵△ABC的周长是24，∴AC+AB+BC＝AC+AC′+BC′+BC＝2AC+BC′+BC＝24，∴2AC+12＝24，∴AC＝6，故选：C．13．（2023秋•临淄区期末）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝69°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝22°，则∠2的度数为（）A．68° B．58° C．48° D．38°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠CED+∠CDE+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠CED+∠CDE．∵∠A＝69°，∠B＝76°，∴∠A+∠B＝∠CED+∠CDE＝145°．∵四边形ABED的内角和为360°，∴∠A+∠B+∠2+∠CED+∠CDE+∠1＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣145°﹣145°＝70°．∵∠1＝22°，∴∠2＝70°﹣∠1＝48°．故选：C．14．（2023秋•黄渤海新区期末）如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝94°，则∠MGE＝__94°．【答案】94．【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝94°，∴∠B+∠C＝180°﹣94°＝86°，∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝86°，∴∠MGE＝180°﹣86°＝94°，故答案为：94．考点四角平分线的性质15．（2023秋•广州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，即点D到AB的距离DE是4cm．故选：C．16．（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（）A．12 B．8 C．24 D．11【答案】A【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，CD＝3，∴CD＝DE＝3，∴故选：A．17．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故选：C．18．（2023秋•济南期末）如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，∠APB＝90°，若△PBC的面积为5，则△ABC的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵∠APB＝90°，∴∠BPD＝90°，∵BP＝BP，∴△ABP≌△DBP（ASA），∴AP＝DP，∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△CDP，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝2S△DBP+2S△CDP＝2S△PBC＝10．故选：C．19．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处 B．二处 C．三处 D．四处【答案】D【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．考点五线段垂直平分线的性质20．（2023秋•鹿寨县期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝48°，则∠BDC的度数为（）A．48° B．96° C．90° D．84°【答案】B【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝48°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝96°，故选：B．21．（2023秋•阿荣旗期末）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点【答案】C【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：C．22．（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（）A．25° B．45° C．50° D．70°【答案】B【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝25°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣25°×2＝70°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝25°，∴∠ACF＝70°﹣25°＝45°，故选：B．23．（2023秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．24．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故选：A．25．（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周长为16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故选：A．考点六等腰三角形的性质26．（2023秋•广州期末）若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（）A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm【答案】A【解答】解：①4cm是底边时，腰长为×（16﹣4）＝6，能组成三角形，②4cm是腰长时，底边为16﹣2×4＝8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．故选：A．27．（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°【答案】D【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，综上所述，顶角等于40°或140°．故选：D．28．（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．29．（2023秋•泗水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝32°，则∠BAC的度数是（）A．32° B．52° C．64° D．68°【答案】B【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBD＝64°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝52°，故选：B．30．（2023秋•雨花区期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC．（1）若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长．（2）若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数．【答案】（1）AD＝10；（2）∠ACE＝35°．【解答】解：（1）AD是△ABC的中线，AB＝AC．∴AD⊥BC，∵△ABC的面积是20，且BC＝4，∴BC•AD＝20，∴×4×AD＝20，∴AD＝10；（2）∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝35°．31．（2023秋•庄浪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝40°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠ABN＝∠A＝40°，∴∠ANB＝100°，∴∠MNA＝50°；（2）①∵AN＝BN，∴BN+CN＝AN+CN＝AC，∵AB＝AC＝8cm，∴BN+CN＝8cm，∵△NBC的周长是14cm．∴BC＝14﹣8＝6cm．32．（2023秋•安化县期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，D为BC边上一点，过点D作FD⊥BC于点D，作DE⊥AB于点E，若∠EDF＝65°，求∠AFD的度数．【答案】140°．【解答】解：∵FD⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝90°，∠DFB＝90°∵∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，且∠EDF＝65°，∴∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（65°+90°）＝25°∴∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣25°＝65°，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B＝65°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（65°+65°）＝50°，∴∠CFD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣40°＝140°．考点七等边三角形的性质33．（2023秋•北京期末）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，则∠BAD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】D【解答】解：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，∴．故选：D．34．（2023秋•莱西市期末）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（）A．142° B．128° C．98° D．92°【答案】C【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：∵∠1＝38°，∴∠ADE＝∠1＝38°，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠AEF为△ADE的一个外角，∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠AEF＝98°．故选：C．35．（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．36．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．37．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5 B．5 C．6 D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故选：C．38．（2023秋•凉州区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：DB＝DE；（2）若CF＝4，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）△ABC的周长为48．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴∠ACB＝60°，，∵CE＝CD，∴，∴∠CBD＝∠E＝30°．∴DB＝DE；（2）解：∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∵CF＝4，∴DC＝2CF＝8．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48．39．（2023秋•嘉祥县期中）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，，∴△CMP≌△CNP（SSS），∴∠MPB＝∠NPB，∵PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∴PB⊥MN，BM＝BN，∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm，∴当伞收紧时，点P与点A重合，∴AC＝CN+PN＝120cm，当∠CPN＝60°时，∵CN＝PN，∴△CPN是等边三角形，∴PC＝PN＝60cm，∴AP＝AC﹣PC＝60cm．40．（2023秋•德城区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．【答案】（1）证明见解答；（2）14．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，∵EB＝AE，∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，∴2EB＝BC，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，∴BD＝BE，∴2BD＝BC；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．考点八作图-轴对称变换和利用轴对称设计图案41．（2023•岳池县模拟）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．【答案】见解析过程．【解答】解：答案不唯一，如图所示：42．（2023秋•哈密市期末）如图，△ABC三个顶