寒假作业14 角中的动态问题（22道经典题型）-七年级数学寒假作业

完成时间：________月________日天气：寒假作业14角中的动态问题积累运用一、常用解题方法动角问题作为压轴题，难度系数比较大，一般解题方法：①化动为静，分类画图；②转化为常见角度计算题型.二、旋转动角问题一般采用三步解题技巧：①找：根据题意找到目标角度；②表：表示出目标角度.常见类型如下：1)角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2)角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角-速度×时间；3)角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角-速度×时间变大：目标角=速度×时间-起始角③列：根据题意列方程求解.三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)．三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度．基础过关练1．将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）A． B．∠BAE−C．∠BAE+∠DAC=180° D．∠2．已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE平分．如图，OC与OD在直线AB的同侧，我们探究一下∠COE与∠DOB的数量关系：

(1)填表，当∠COE取不同度数时，请计算出∠DOB∠20°35°56°26'……∠……(2)猜想，若∠COE=α，求∠DOB的度数（用含有α的式子表达），并说明理由．3．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分∠BOC，OF平分∠DOB(1)如图2，当∠AOC=70°①求∠BOC和∠DOB②求∠EOF(2)在直角三角尺旋转过程中，设∠AOC=α，若0°<α<180°，则①求∠BOC和∠DOB的度数（用含α的代数式表示）；②∠EOF4．已知直线MN，O是MN上的一个定点．点A是直线MN下方的一个动点，作射线OA及∠AON的角平分线OB，点C与点A在直线MN的两侧，点D在线段CO的延长线上．(1)若∠AON=100°，∠COM=125°，在下图中补全图形，并求出∠BOD

(2)射线OE是∠AOC①如下图，当∠DON>∠AON时，用等式表示∠BOE与∠DOM

②当∠DON≠∠AON，且∠COM+∠BOE=140°时，直接写出∠BOE

5．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=70°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．(1)在图1中，∠COM=(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2．若∠NOC=15∠MOA(3)在旋转过程中，若三角板在直线AB的上方，则∠MOC与∠NOB6．如图1，已知线段AB=40 cm，CD=4 cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、

(1)若AC=10 cm，则EF=__________．(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由．(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF=65°，∠COD=25°，求∠AOB能力提升练7．如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒3°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过________秒，OC与OD的夹角是30°．

8．一副三角板AOB与COD如图摆放，且∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分，OM平分．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β=__________度．

9．已知∠AOB=90°，过顶点O作射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC

(1)如图，若OC在∠AOB①当OC平分∠AOB时，∠EOC的度数为②当∠BOC=13∠AOB(2)嘉嘉说∶“若OC在∠AOB内旋转，因为∠AOC和∠BOC的度数不能确定，所以∠EOD的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，∠EOD的度数能算到，且∠EOD(3)若射线OC从OB出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于180°），请直接写出∠EOD10．已知数轴上两点之间的距离可以用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算．如图，数轴m与数轴n交于原点O，且所夹锐角是60°．点A，B在数轴m上，点C，D在数轴n上．已知点P是数轴m上的一个动点，点Q是数轴n上的一个动点，点A，B表示的数分别是−1,5，点C，D表示的数分别是10,−2．若点P表示的数为x，点Q表示的数为y．请完成下列问题：

(1)当点P运动到与点A，B的距离相等时，x=______；当点Q运动到与点C，D的距离相等时，y=______；(2)当点P运动到与点A的距离是它到点B的距离的2倍，点Q运动到与点C的距离是它到点D的距离的2倍时，试求出x，y的值；(3)在（2）的条件下，若数轴n以每秒的速度绕点O逆时针旋转，请直接写出第α0<α<60秒时，∠POQ的度数．（用含α的式子表示）11．已知：∠AOC=(1)如图1，若a=90°．①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，理由是_______________________________．②那么∠COD+∠AOB=_________°．(2)如图2，∠AOC与∠BOD重合，若a=60°，将∠BOD绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．①当t=______秒时，OB平分∠AOC②试说明：当t为何值时，∠AOB=12．已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD

(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD13．已知，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−(2)如图2，当∠COD从图1所示的位置开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当∠COD旋转多少秒时，．

14．如图1，已知∠AOB=150°，∠COD=30°，∠COD绕点O在∠AOB的内部转动，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD

(1)如图2，当OD与OA重合时，求∠MON(2)请判断∠MON的大小是否随∠COD(3)当∠BON=7∠DOM时，求∠AOM15．将一副三角板如图1放置（∠AOB=90°，∠A=45°，∠OCD=90°，∠COD=30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB=2∠DOM，∠NOA=2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．(1)如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON=(2)如图2，若旋转角为α（0°<α<90°），∠MON(3)如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON16．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，90°．①若∠ECD=30°，则∠ACB=______；若∠ACB=160°，则∠ECD=②猜想∠ACB与∠ECD(2)如图2，这是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点重合在一起，则∠GAC与∠DAF(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α，β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与∠BOC的数量关系．拓展培优练17．已知：如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（

）A．整个运动过程中，不存在∠AOB=90°B．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间tC．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠D．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t18．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC(1)如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC=________(2)如图2，若，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC<∠①∠COD=______________________②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0<n<90）得到∠C'OD'，当OA恰好是∠C'OD'的三分线时，n的值为______________．19．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB=3

(1)如图1所示，若，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；(2)如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC−∠AOC=∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM(3)如图3所示，，射线OP，射线分别从OC，OB出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，OP和分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和∠COQ的数量关系；②若∠AOB=150°，当时，求t的值．20．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边形ABCD为一正方形纸板（∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠D均为直角）(1)【操作发现】如图①，小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了∠DAF的平分线AQ，交正方形的边于点P．则此时∠PAB的度数为______；∠PAB与∠DAE(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记∠DAE的度数为α，其他条件不变，请帮小丽同学探究：∠PAB与∠DAE(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了∠DAF的平分线AQ，请直接写出∠QAB与∠DAE21．综合与实践【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学们自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”．(1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求的度数．(2)【问题探究】如图③，，射线与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，与射线OB重合时停止．问旋转几秒后，是OB的“友好线”．(3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM，ON分别与射线OA，OB重合，射线OM绕点O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线ON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．22．如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发，以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速度逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．(1)当t=1时，∠MON=____________________°；(2)当t为何值时，OC恰好是∠MON(3)在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．

寒假作业14角中的动态问题参考答案基础过关练1．将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）A． B．∠BAE−C．∠BAE+∠DAC=180° D．∠【答案】C【解析】A.∵∠CAE+∠DAC=90°，而∠DAC和∠DAB∴不一定成立，不符合题意；B.∵∠BAE−∠DAC=∠CAE+∠BAD，而∠CAE+∴∠BAE−C.∠BAE+∠DAC=∠BAD+∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAE=180°，即∠BAE+D.由题意得∠DAC+∠BAD=90°，而∠DAC=2∠故选C．2．已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE平分．如图，OC与OD在直线AB的同侧，我们探究一下∠COE与∠DOB的数量关系：

(1)填表，当∠COE取不同度数时，请计算出∠DOB∠20°35°56°26'……∠……(2)猜想，若∠COE=α，求∠DOB的度数（用含有α的式子表达），并说明理由．【解析】（1）解：因为∠COD=90°所以∠DOE=90°−因为OE平分，所以∠AOD=2∴∠当∠COE=20°时，∠DOB=2当∠COE=35°时，∠DOB=2当∠COE=56°26'时，∠DOB=2故答案为：40°，70°，112°52'；（2）解：因为∠COD=90°所以∠DOE=90°−因为OE平分，所以∠AOD=2∴∠DOB=180°−3．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分∠BOC，OF平分∠DOB(1)如图2，当∠AOC=70°①求∠BOC和∠DOB②求∠EOF(2)在直角三角尺旋转过程中，设∠AOC=α，若0°<α<180°，则①求∠BOC和∠DOB的度数（用含α的代数式表示）；②∠EOF【解析】（1）①∠BOC=180°−∵由题意得，△COD∴∠∴∠②平分∠BOC，∴∠∵OF平分∠DOB∴∠∴∠EOF=（2）①当0°<α≤90°时，∠BOC=180°−∵△∴∠∴∠当90°<α<180°时，∠BOC=180°−∵△∴∠∴∠②当0°<α≤90°时，平分∠BOC，∴∠∵OF平分∠DOB∴∠∴∠EOF=∴∠EOF当90°<α<180°时，平分∠BOC，∴∠∵OF平分∠DOB∴∠∴∠EOF=∴∠EOF4．已知直线MN，O是MN上的一个定点．点A是直线MN下方的一个动点，作射线OA及∠AON的角平分线OB，点C与点A在直线MN的两侧，点D在线段CO的延长线上．(1)若∠AON=100°，∠COM=125°，在下图中补全图形，并求出∠BOD

(2)射线OE是∠AOC①如下图，当∠DON>∠AON时，用等式表示∠BOE与∠DOM

②当∠DON≠∠AON，且∠COM+∠BOE=140°时，直接写出∠BOE

【解析】（1）解：补全图形如图所示，

∵∠AON=100°，OB是∠AON∴∠AOB=∵∠COM=125°∴∠DON=∴∠DOA=∴∠BOD=25°+50°=75°（2）解：①∠DOM=2设∠AOB=α，∠DOM=

∵OB是∠AON∴∠BON=∵OE是∠AOC∴∠AOE=∴∠BOE=∴∠DOM=2②设∠BOE=x，∠AOB=y

∵∠COM+∴∠COM=140°−x∴∠CON=180°−∠COM=40°+x，OB是∠AON∴∠BON=∠AOB=y，∠EON=y−x∵OE是∠AOC∴∠AOE=∠EOC，即x+y=40°+x+y−x，解得x=40°，∴∠BOE=40°5．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=70°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．(1)在图1中，∠COM=(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2．若∠NOC=15∠MOA(3)在旋转过程中，若三角板在直线AB的上方，则∠MOC与∠NOB【解析】（1）解：根据题意可得，∠BOM=90°∵∠BOM=∠BOC+∠COM=90°，且∠BOC=70°∴∠COM=故答案为：20°．（2）解：∵∠MON=90°∴∠AOM+∵∠BON=∵∠NOC=∴∠MOA=5∴5∠NOC+(70°−∠NOC)=90°，解得，∠NOC=5°∴∠BON=∴∠BON的度数为65°．（3）解：∠MOC−在旋转过程中，若三角板在直线AB的上方，∠MON=90°，∠BOC=70°①如图所示，ON在∠BOC∵∠MOC+∠CON=90°，则∠CON=90°−∠CON+∠BON=70°，则∠CON=70°−∴90°−∠∴∠MOC−②如图所示，ON在∠BOC∴∠MOC=∠MON+∠NOC=90°+∠NOC，则∠CON=∠BON=∠BOC+∠CON=70°+∠CON，则∠CON=∴∠MOC−90°=∴∠MOC−综上所述，∠MOC−故答案为：∠MOC−6．如图1，已知线段AB=40 cm，CD=4 cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、

(1)若AC=10 cm，则EF=__________．(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由．(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF=65°，∠COD=25°，求∠AOB【解析】（1）解：∵AB=40 cm，CD=4 cm，∴BD=AB−AC−CD=40−10−4=26∵点E、F分别是AC、BD的中点，∴CE=12AC=5∴EF=CE+CD+DF=5+4+13=22故答案为：22；（2）解：线段EF的长度不会发生变化；理由如下：∵点E、F分别是AC、BD的中点，∴EC=12AC∴EF=EC+CD+DF=1（3）解：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD∴∠AOC=2∠EOC，∠BOD=2∴∠=2=2(=2=2×65°−25°=105°．能力提升练7．如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒3°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过________秒，OC与OD的夹角是30°．

【答案】15或30【解析】设t秒后，OC与OD的夹角是30°，①如图1，

，∴∠AOC=3t°，∵∠AOB=90°∴∠AOC+∠COD+∠BOD=90°，即有3t°+30°+t°=90°解得：t=15，②如图2，

∴∠AOC=3t°，∵∠AOB=90°∴∠AOC−∠COD+∠BOD=90°，即有3t°−30°+t°=90°解得：t=30，综上可知：t=15或30，OC与OD的夹角是30°，故答案为：15或30．8．一副三角板AOB与COD如图摆放，且∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分，OM平分．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β=__________度．

【答案】105【解析】如图1：

∵∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°∴∠COB=∠AOD=∵ON平分，OM平分，∴∠NOB=∠MOD=∵∠NOM=即∠NOM=22.5°+∴α=52.5°；如图2：

∵∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°∴∠COB=∠AOD=∵ON平分，OM平分，∴∠NOB=∠MOD=∵∠NOM=即∠NOM=22.5°−∴β=52.5°；∴α+β=52.5°+52.5°=105°；故答案为：105．9．已知∠AOB=90°，过顶点O作射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC

(1)如图，若OC在∠AOB①当OC平分∠AOB时，∠EOC的度数为②当∠BOC=13∠AOB(2)嘉嘉说∶“若OC在∠AOB内旋转，因为∠AOC和∠BOC的度数不能确定，所以∠EOD的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，∠EOD的度数能算到，且∠EOD(3)若射线OC从OB出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于180°），请直接写出∠EOD【解析】（1）①∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∵OE平分∠AOC∴∠EOC=故答案为：22.5°；②∵∠BOC=13∠AOB∴．∴∠AOC=∵OE平分∠AOC∴∠EOC=（2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下：∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC∴∠EOC=12∠AOC∴==；（3）设旋转角为α，①当0°<α≤90°时，如图，

∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC∴．∵∠EOD=∠EOC−∠DOC，∠AOB=∴∠EOD=②当90°<α<180°时，OC在OB的下方，如图，

∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC∴．∵，∠AOC+∠∴∠EOD=10．已知数轴上两点之间的距离可以用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算．如图，数轴m与数轴n交于原点O，且所夹锐角是60°．点A，B在数轴m上，点C，D在数轴n上．已知点P是数轴m上的一个动点，点Q是数轴n上的一个动点，点A，B表示的数分别是−1,5，点C，D表示的数分别是10,−2．若点P表示的数为x，点Q表示的数为y．请完成下列问题：

(1)当点P运动到与点A，B的距离相等时，x=______；当点Q运动到与点C，D的距离相等时，y=______；(2)当点P运动到与点A的距离是它到点B的距离的2倍，点Q运动到与点C的距离是它到点D的距离的2倍时，试求出x，y的值；(3)在（2）的条件下，若数轴n以每秒的速度绕点O逆时针旋转，请直接写出第α0<α<60秒时，∠POQ的度数．（用含α的式子表示）【解析】（1）解：由题意，得：5−x=x−−1，解得：；10−y=y−−2，解得y=4故答案为：2,4;（2）当点P在B点左侧时：x−−1=25−x当点P在B点右侧时：x−−1=2x−5综上：x=3或11；当点Q在点D上方时：2y−−2=10−y当点Q在点D下方时：2−2−y=10−y，解得：综上：y=2或−14；（3）设第α秒时，数轴n转到了如图所示的位置，点P1x=3,P2x=11，点转到Q

由图可知：∠P∠P综上：∠POQ=60°+2α°或11．已知：∠AOC=(1)如图1，若a=90°．①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么∠COD+∠AOB=_________°．(2)如图2，∠AOC与∠BOD重合，若a=60°，将∠BOD绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．①当t=______秒时，OB平分∠AOC②试说明：当t为何值时，∠AOB=【解析】（1）解：①∵∠AOC=∴∠AOD+∠AOB=90°，∠BOC+∴∠AOD=故答案为：∠AOD=②∵∠AOC=∴===90°+90°=180°．故答案为：180；（2）解：①根据题意，得∠BOC=即5t=1解得t=6．故答案为：6；②当OB在∠AOC∵∠AOB=∴60−5t=1解得t=36当OB在∠AOC的外∵∠AOB=∴5t−60=1解得t=20，综上，t为365或20时，12．已知∠AOB=120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD

(1)如图1，若∠AOD=90°，比较∠AOC和∠BOD(2)作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC=α①如图2，当0°<α<60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD【解析】（1）解：∠AOC=∵∠COD=60°，∠AOD=90°∴∠又∵∠AOB=120°∴∠∴∠（2）①∵OC恰好平分∠AOE∴∠∴∠∵OE为∠AOD∴∠∴∠∵∠∴3α=60°∴α=20°∴∠②分情况讨论：当0°<α<60°时，

∵∠BOD=∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD∴∠∴∠∴∠当60°<α<120°时，

∵∠BOD=∵∠AOD=α+60°，OE为∠AOD∴∠∴∠∴∠综上所述，∠COE=13．已知，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−(2)如图2，当∠COD从图1所示的位置开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当∠COD旋转多少秒时，．【解析】（1）解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD所以∠AOE=12所以；（2）解：∠AOE−根据题意，得：∠BOC=2t°，则∠AOC=∠AOB+2t因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD所以∠AOE=12∠AOC=60°+t°所以；（3）解：根据题意，得，所以2t+12=20+t，解得t=8，所以当∠COD旋转8s时，．14．如图1，已知∠AOB=150°，∠COD=30°，∠COD绕点O在∠AOB的内部转动，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD

(1)如图2，当OD与OA重合时，求∠MON(2)请判断∠MON的大小是否随∠COD(3)当∠BON=7∠DOM时，求∠AOM【解析】（1）解：如图所示，∠AOB=150°，OD与OA重合，∠COD=30°，ON平分∠DOB

∴∠AOC=30°∵OM平分∠AOC∴∠∵ON平分∠AOB∴∠∴∠（2）解：∠MON不会随∠COD∵OM平分∠AOC∴∠∵ON平分∠DOB∴∠∴∠∴∠MON不会随（3）解：∵∠AOD=由（2）可知，∠AOM=75°−12∴或∠DOM=∵∠∴12∠BOC+15°=7解得∠BOC=75°或∠BOC=110°∴∠AOM=75°−12×∠BOC=75°−∴∠AOM的度数为37.5°或20°．15．将一副三角板如图1放置（∠AOB=90°，∠A=45°，∠OCD=90°，∠COD=30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB=2(1)如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON=(2)如图2，若旋转角为α（0°<α<90°），∠MON(3)如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON【解析】（1）解：∵点O、A、C在一条直线上，∴∠AON+∵∠NOA=2∴∠NOC=60°∵∠COD=30°，∠∴∠BOD=180°−90°−30°=60°∴∠BOM+∵∠MOB=2∴∠DOM=20°∴∠MON=故答案为：110°；（2）解：∠MON的度数不发生改变，且∠∵旋转角为α，∴∠BOD=60°+α，∠∵∠MOB=2∠DOM∴∠DOM=∠NOC=∴∠=60°−=110°；（3）解：当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，∠AOC=30°+∠∵∠MOB=2∠DOM∴∠DOM=∠NOA=∴∠DON=∴∠MON=16．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，90°．①若∠ECD=30°，则∠ACB=______；若∠ACB=160°②猜想∠ACB与∠(2)如图2，这是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点重合在一起，则∠GAC与∠(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α，β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与∠【解析】（1）①∵∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠故答案为：150°，20°；②猜想得∠ACB+∠ECD=180°（或∠理由：∵∠∴∠ACB=∠ACD+∴∠ACB+故答案为：∠（2）∠GAC+理由如下：由于∠GAC=故∠GAC+∠故答案为：∠（3）∠AOD+理由：∵∠AOD=∴，即，∴∠AOD+故答案为：∠拓展培优练17．已知：如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（

）A．整个运动过程中，不存在∠AOB=90°B．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间tC．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠D．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t【答案】C【解析】由题意知∠MOA=2t°，∠NOA=180°−2t°；当0≤t≤45时，令∠AOB=∠NOA−∠NOB=90°∴存在∠AOB=90°故A错误，不符合题意；令∠AOB=∠NOA−∠NOB=60°令∠AOB=∠NOB−∠NOA=60°∴当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t故B、D错误，不符合题意；当t=36时，∠MOA=72°，∴∠AOB=∵∠AOB=∴射线OB恰好平分∠MOA故C正确，符合题意.故选C．18．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC(1)如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC=________(2)如图2，若，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC<∠①∠COD=______________________②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0<n<90）得到∠C'OD'，当OA恰好是∠C'OD'的三分线时，n的值为______________．【解析】（1）∵∠AOB=2，，故答案为：；（2）①如图2，是∠AOB的一条三分线，且∠BOC<∠，，；故答案为：40°；②分两种情况：如图，当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'>∠AO∴∠∴∠DO∴∠当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'<∠AO∴∠∴∠综上所述，n=1603或19．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB=3

(1)如图1所示，若，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；(2)如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC−∠AOC=∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM(3)如图3所示，，射线OP，射线分别从OC，OB出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，OP和分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和∠COQ的数量关系；②若∠AOB=150°，当时，求t的值．【解析】（1）解：∵，∴∠AOC=∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB∴，∴∠AOM=20°，∴∠MON=（2）解：∵∠AOB=90°，∴∠AOC=30°∴∠BOC=60°∵∠BOC−∴∠COD=60°−30°=30°∵OM平分∠COD∴∠COM=∴∠BOM=（3）解：①∵∠AOB=3∴，∴∠BOC=由题意得：∠COP=t×1°=t°，∴，，∴∠COQ=2②由①知∠COP=t°，，∵∠POQ=∴，∵∠AOB=150°，，∴23把x=150代入得：，解得t=20，∴若∠AOB=150°，当时，t=20．20．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边形ABCD为一正方形纸板（∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠D均为直角）(1)【操作发现】如图①，小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了∠DAF的平分线AQ，交正方形的边于点P．则此时∠PAB的度数为______；∠PAB与∠DAE(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记∠DAE的度数为α，其他条件不变，请帮小丽同学探究：∠PAB与∠DAE(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了∠DAF的平分线AQ，请直接写出∠QAB与∠DAE【解析】（1）解：如图①，∵四边形ABCD为正方形，∴∠，∵AQ平分∠DAF∴∠∴∠故答案为：45°，∠PAB=（2）解：∠PAB与∠DAE理由如下：如