八年级数学下册 23.2 平行四边形（第2课时）（原卷版）

第第页23.2平行四边形（第2课时）平行四边形的判定1.定义判定（即由定义得到的判定）定义判定：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.2.平行四边形的判定定理1引入：“平行四边形的对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.这个逆命题是真命题，由此得到平行四边形的一个判定定理：定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理证明如图23-2-13,已知：在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求证：四边形ABCD是一个平行四边形.如图23-2-14,连接AC.在△ABC和△CDA中，因为AB=CD,BC=AD,AC=CA,所以△ABC≌△CDA.由此推出∠1=∠2,∠3=∠4.所以AB//CD,BC//AD.由平行四边形的定义，得四边形ABCD是一个平行四边形.问题：如果将平行四边形的判定定理1中的“两组对边”改成“一组对边”,这一组对边还需要满足什么条件，才可以保证这个四边形一定是平行四边形呢?为什么?易知“平行四边形的任意一组对边平行且相等”,可以证明其逆命题也是真命题.由此，又得到平行四边形的一个判定定理：定理2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理证明如图23-2-15,已知：在四边形ABCD中，AB//CD,且AB=CD.求证：四边形ABCD是一个平行四边形.如图23-2-16,连接AC.在△ABC和△CDA中，因为AB//CD,所以∠1=∠2.又因为AB=CD,AC=CA,所以△ABC≌△CDA.由此推出BC=DA.由平行四边形的判定定理1,得四边形ABCD是一个平行四边形.问题：“平行四边形的对角线互相平分”,它的逆命题是真命题还是假命题?这个逆命题是真命题.由此，又得到平行四边形的一个判定定理：定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理证明如图23-2-19,已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO.求证：四边形ABCD是一个平行四边形.在△AOB和△COD中，因为AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO,所以△AOB≌△COD.由此推出AB=CD,∠ABO=∠CDO,所以AB//CD.由平行四边形的判定定理2,得四边形ABCD是一个平行四边形.判定方法5两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定方法证明如图23-2-18,已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D.求证：四边形ABCD是一个平行四边形.在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°(多边形的内角和定理).又∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°.∴AD//BC,AB//CD.∴四边形ABCD是一个平行四边形.综上所述，平行四边形共有5种判定方法。题型1：平行四边形的判定的辨析1．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等2．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．两组对边分别相等的四边形B．两条对角线互相平分的四边形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形D．一组对边平行且相等的四边形3．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（

）A． B．C． D．4．如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，题型2：添加一个条件成为平行四边形Ⅰ5．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（）A． B． C． D．6．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（

）A． B． C． D．7．如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件（写出一个即可），则四边形是平行四边形．8．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是，使四边形是平行四边形．题型3：添加一个条件成为平行四边形Ⅱ9．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：使四边形ABCD是平行四边形10．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是（写出一种情况即可）．11．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（

）A． B． C． D．题型4：求平行四边形的个数问题12．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有个；

13．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有个平行四边形．

14．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（）个平行四边形．A．7 B．8 C．9 D．10题型5：格点问题15．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（

）A．个 B．个 C．个 D．个16．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（）A．① B．② C．③ D．④17．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（

）个A． B． C． D．无数题型6：平行四边形的判定与性质18．在四边形中，，，若，那么度，度．19．如图，，，，，则四边形的周长为．20．如图，梯形中，，，，，则．题型7：平行四边形的判定与性质的应用21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为10，则平移距离为．22．如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是．23．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为．题型8：动点，方程问题24．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了秒．25．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当时，以为顶点的四边形是平行四边形．26．如图所示，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为．题型9：解答证明题27．如图，在四边形中，，求证：四边形为平行四边形．28．如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形．29．已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形．30．如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形．31．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，在格点上找一点D，使四边形是平行四边形，请画出这个四边形．32．如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形．33．如图，四边形是平行四边形，点在边上，且．(1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形；34．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，求证：四边形是平行四边形．35．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，．(1)求证：四边形是平行四边形：(2)当时，，，求的长．36．如图，在四边形中，，交于点O，，，，，动点P从点A出发，沿射线方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动，当运动到点D时停止运动，设运动的时间为．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当运动到以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值．37．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，过点作于点，连接．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，求四边形的面积．38．综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形；(2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：；(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长．一、单选题1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（

）A． B．C． D．2．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．3．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点．若，则（

）

A． B． C． D．4．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（

）．A．4个 B．5个 C．6个 D．7个5．如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是（

）

A．4.5 B．5 C．6 D．6.56．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（

）A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥二、填空题7．“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是．8．一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是．9．如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件．使四边形是平行四边形．10．在四边形中，，，，则．11．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是（填序号）．12．如图，在中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作,交DE的延长线于F，连BF,CD，若，，，则．三、解答题13．求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．已知：如图，．求证：．

14．如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形．15．已知：如图，等边三角形与等边三角形的一边重合．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若的边长为，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离．16．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．(1)求证：互相平分；(2)若，求四边形的周长和面积．17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．(1)判断四边形的形状；(2)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使；(3)在图2中的上画点，使．18．如图，在平行四边形中，点为