2025-2026学年江苏省常州市新北区北郊高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省常州市新北区北郊高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(m,1)，b=(1,2)，若a//b，则mA.−1 B.1 C.−12 2.(1−3i)2A.−8+6i B.−8−6i C.8+6i D.8−6i3.在△ABC中，已知A=7π12，B=π6，AC=2，则ABA.22 B.2 C.24.甲、乙两名同学做同一道数学题(甲乙做对与否互不影响)，甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是(

)A.两人都做对的概率是0.56 B.恰好有一人做对的概率是0.38

C.两人都做错的概率是0.16 D.至少有一人做对的概率是0.945.若一组数据5，1，a，6，1，7，4，5的第75百分位数是6，则a=(

)A.3 B.4 C.6 D.76.已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为(

)A.2π B.1π C.7.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是(

)A.P(A)=14 B.事件A与事件B互斥

C.事件A与事件B相互独立 8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1AA.2305

B.4309二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知正方体ABCD−A1B1A.BC1与AD所成的角为30°

B.BC1与D1C是异面直线

C.BC110.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=3c⋅cosA，a=4，则下列说法正确的是(

)A.tanA=2tanC B.b2=3(a2−c2)11.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1，aA.1 B.2 C.7+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，A13.已知x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为92，在此基础上加入新数据8，则x1，x2，x3，x4，8的平均数为14.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°，以A1为球心，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)用分层抽样的方法从[70,80)和[90,100]两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名进行交流分享的学生成绩均在区间[70,80)的概率．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点．

(1)求证：AG⊥平面PBC；

(2)求证：PE//平面AFG．17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b=a+1，c=a+2．

(1)若4sinAsinC=3−3cos2A，求cosC；

(2)若△ABC为钝角三角形，且a为正整数，求△ABC的面积．18.(本小题17分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设D为A1C的中点，AA119.(本小题17分)

我们知道，复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示，复数a+bi与复平面内的点z(a,b)是一一对应的，与平面向量OZ=(a,b)也是一一对应的.一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式，简称三角形式．

由复数的三角形式可得出，若OZ1=r1(cosθ1+isinθ1)，OZ2=r2(cosθ2+isinθ2)，则r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，其几何意义是把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】2813.【答案】438

14.【答案】215.【答案】a=0.030

平均数为74分，中位数75

1216.【答案】证明：(1)因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥AB，

PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，

所以PA⊥BC，AB∩PA=A，AB、PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，AG⊂平面PAB，

所以BC⊥AG，

又PA=AB，G为PB中点，

所以AG⊥PB，

BC、PB⊂平面PBC，BC∩PB=B，

所以AG⊥平面PBC；

(2)连结BE交AF于点H，连结GH，

因为四边形ABCD为平行四边形，E、F分别为AD，BC中点，

所以△AHE≌△FHB，

所以BH=HE，即H为BE中点，

又因为G为BP中点，

所以GH//PE，GH⊂平面AFG，PE⊄平面AFG，

所以PE/​/平面AFG．

17.【答案】cosC=18

18.【答案】2

(ⅰ)取A1B的中点E，连接