1.规律探寻问题

规律探寻问题作者：谢祥

杨金增(四川省成都市金牛区教育研究培训中心)

1.复习目标（1）探寻数式变化规律。能从具体的问题情境中，抽象出数量关系，探寻数量变化规律，并用数学符号表示其数量关系。（2）探寻图形变化规律和探寻循环变化规律。从具体的简单的画图或计算出发，通过观察、比较、归纳图形变化或数据变化趋势，数形结合，计算相关的几何量，把图形变化规律、循环变化规律的探寻转化为数式变化规律的探寻，并用数学符号表示其数量关系。（3）积累探寻规律的经验，渗透数形结合、由特殊到一般、转化与化归等数学思想方法，有意识地培养数学抽象、数学计算、逻辑推理等核心素养。（4）能感受探寻规律的方法美，代数表达式（规律）的简洁美,统一美,并能逐步感悟数学思想方法的和谐美。2026/7/242.1探寻“数式变化”规律例１．从下往上有8步阶梯，每次可以跨一步或者两步，则走完这8步阶梯，不同的方法有

种。2026/7/24

分析“退”回到简单问题，去探寻规律

问题1：如果阶梯数减少到只有一步或两步，分别有多少种不同方法？

问题2：如果阶梯数为3步，有几种不同方法？它的方法数与前面两步阶梯的方法数有何关系？2.典型例题的教学过程

解：如果有3步阶梯，则可以分两种情况到第3步，一种是从前面“第二步”走上来的，方法数即为2，另一类是从前面“第一步”直接跨到“第三步”，方法数即为1。所以走完3步阶梯的不同方法数为3。依次类推,发现“递推”规律是，从第3步阶梯开始，走到后面阶梯的方法数，总是走到前面相邻两步阶梯的方法数之和。走完八步阶梯的不同方法数,应为“分别走完前面6步、7步的方法数之和”。按此规律，由“阶梯步数”对应的“不同方法数”数列为:1,2,3,5,8,13,21,34，所以走完8步阶梯的不同方法有34种。2026/7/24追问：1.从下往上有10步阶梯，每次可以跨一步或者两步阶梯，则走完这10步阶梯，不同的方法有

种。2..从下往上有8步阶梯，每次可以跨一步或者两步或者三步，则走完这8步阶梯，不同的方法有

种。2026/7/24解：变式1，阶梯步数增多到10步，仍然“递推”，找到有不同方法有89种。变式2，将上阶梯的方法（规则）改为“可以跨一步或者两步或者三步”，同样走完这八步阶梯，方法数数列为1，2，4，7，13，24，44，81，不同方法有81种。规律为“前3个数为1，2，4，从第4个数据开始，后一个数是它前面3个数之和。点拨：事实上，“递推”方法推广到任意步数一例两变式，归纳与类比，由特殊到一般，感悟探寻规律的方法之美，数学抽象、逻辑推理的思维之美。2026/7/242.2.探寻“图形数变化”规律

例２：我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）2026/7/24A．33B．301

C．386

D．571分析：由特殊图形出发，进行分解或者组合（如三角形数加倍为平行四边形数），转化为易于计算的图形数，探寻第n个图形数与n之间的关系。本例首先引导学生观察三角形数，由上往下数，点数依次多1，归纳得出第n个三角形数为1+2+3+。。。+n=,正方形数每边点数相等，第n个正方形数为n2，据此得出三角形数和正方形数的计算方法。2026/7/241+2+3+…+n=

解：2026/7/242.3.探寻“图形变化”规律例3：如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=

．2026/7/24分析

“

以正三角形的高作为下一个正三角形的边”，每次变化使得正三角形的边长变小，且位置发生300旋转(旋转中心A没有变)，小正三角形在大正三角形上截出一个小直角三角形，继续下去，这串小直角三角形像旋转的且逐渐变小的漂亮锯齿,本例就是探寻这串锯齿的面积变化规律.探寻规律的入手点，可以让学生计算第一个小直角三角形的面积，即

设问“这串小直角三角形的形状有什么关系？面积（数量）有何关系？”,观察发现，这些小阴影三角形都是含600的特殊直角三角形，它们相似.2026/7/24

解：这些小阴影三角形都是含60°的特殊直角三角形，它们相似。2026/7/242.4.探寻“循环变化”规律2026/7/24分析2026/7/24正确理解题意是个难点。难在理解运算规则，当n为大于1的奇数时，当n为大于1的偶数是，，突破难点也没有捷径，老老实实按运算规则操作几个，即可发现循环，探寻到“循环节”。解：2026/7/24追问2026/7/24解：2026/7/24

例5.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（）。

2026/7/24分析

本例涉及图形旋转、旋转中心、旋转角、对应点的坐标等几何变换知识。示例中，单位正方形在坐标系中绕其中一个顶点（作旋转中心）逆时针旋转，每次旋转角为45°，每次旋转使正方形其它三个顶点都变化位置，示例考查的是顶点B的坐标变化规律（OB是正方形的对角线）。解题的关键是从特殊推广到一般，找到变化的“周期”。

如果将正方形沿X轴正方向翻转，每次以正方形落在x轴右端端点为中心翻转90°……研究正方形中某个顶点的位置变化规律,这样的变式问题也是很有探寻价值的.2026/7/24解：根据图形可知，点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标。发现规律“8次共旋转360°，完成一个循环”。2026/7/24点拨“循环排列变化规律”的探寻方法：（1）按题意计算或者画图；（2）在代数式计算中或变化的图形中找不变的“量”——即循环节；（3）建立对应关系，即“所研究问题”的位置（或顺序）与“循环节中的位置（或顺序）”之间的对应关系；（4）将问题转化为数式变化规律探寻。2026/7/243.课堂总结“数式变化规律”是基础也是重点、“图形变化规律”、“循环变化规律”是“数式变化规律”的具体化，最终都需要转化为探寻“数式变化规律”。

“探寻规律”的策略灵活多变，但有一个通法就是“