河北省2026届高三数学下学期5月学情调研试题【含答案】

河北省2026届高三数学下学期5月份学情调研试卷一、选择题1．已知集合，，则(

)A. B. C. D.2．设，则(

)A. B. C. D.3．若，，则(

)A. B. C. D.4．已知平面向量a，b，c满足，，，若，则(

)A. B. C. D.5．在简单经济模型中，当需求量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在需求量为m时的点弹性为.现在某简单经济模型中，当需求量为3时的点弹性为1，则当需求量为6时的点弹性为(

)A. B. C.1 D.26．已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则(

)A.甲是乙的必要不充分条件B.甲是乙的充分不必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件7．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为(

)A.7 B.10 C.13 D.168．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为(

)A.2 B.4 C.8 D.16二、多项选择题9．已知样本点，，…，的回归直线l的方程为，相关系数为r，样本均值分别为.现令，.设新样本点的回归直线为，则(

)附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.A.过点B.的斜率为C.u与v的相关系数为D.的截距为10．已知三棱台的上下底面相似比为.在中，，，侧棱，且与底面所成的角为.则(

)A.直线与直线相互垂直B.直线与直线相互垂直C.侧面与底面相互垂直D.侧面与侧面相互垂直11．已知随机变量且，设，则(

)A.对任意n，p，恒成立B.设，对任意n，p，恒成立C存在n，p，使得方程在区间内有解D存在n，p，使得函数在区间内单调三、填空题12．记抛物线与x轴的交点为T，与y轴的交点为A，B，若，为等腰直角三角形，则____________.13．已知奇函数满足：当时，，则_______________.14．在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为______四、解答题15．某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下：

收支情况良好收支情况较差M类家庭8020N类家庭7525这里家庭种类与恩格尔系数相关.(1)用频率㣟讨概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率；(2)根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关.附：，.0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面.(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.17．记为等比数列的前n项和，已知.(1)求的公比；(2)求的前n项和.18．设函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当，时.(i)求的值域；(ii)证明：.19．椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，，，分别与交于相异P，Q两点，且.已知当时，.(1)求的方程；(2)证明：直线过定点；(3)求线段中点的轨迹方程.参考答案1．答案：B解析：由题意可得，故，故.故选B.2．答案：D解析：由题意可得，故.故选D.3．答案：B解析：由题意可得，可得.故选B.4．答案：A解析：显然，，得，显然，得.故选A.5．答案：C解析：显然，，解得，于是，故.故选C.6．答案：A解析：设，由是偶函数得，得，由是奇函数得，得，显然甲是乙的必要不充分条件.故选A.7．答案：D解析：前三张牌成等差数列有：1，2，3；1，3，5；2，3，4；3，4，5；3，2，1；4，3，2；5，4，3；5，3，1.共8种可能，剩余两张随机排列，故共有种可能，综上，共有16种可能.故选D8．答案：C解析：设，由条件得，得，可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为，由定义与位置知，，当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，的周长.故选C.9．答案：ACD解析：由已知样本均值性质可得新样本均值分别为与，因为回归直线必过样本中心点，所以新回归直线过点，故A正确；因为且，代入公式可得新回归直线方程的斜率，故B错误；代入公式可得新样本的相关系数，故C正确，由截距公式可得新回归直线的截距，故D正确.故选ACD.10．答案：ABD解析：将直线，以及延长交于点P，由上下底面相似比为，得，，分别为、与的中点.因为，所以，在中，由得到.取的中点M，连接与，则且.在等腰中，且，因为，平面，所以平面，又平面，所以，即，故A正确；因为平面，所以平面平面，交线为，过点P作于O，则平面，从而，在中由余弦定理得到，即，解得，此时，所以，又，且，所以平面，因此，又，得到平面，又平面，所以，即直线直线，故B正确；侧面所在平面即平面，二面角的平面角为，在直角中，由得到该平面角为，两平面不垂直，故C错误；要证侧面与侧面垂直，即证平面与平面垂直，由平面且平面得到两平面相互垂直，故D正确.故选ABD.11．答案：ACD解析：因为，所以，代入已知可得，由二项式定理可得，则，代入可得，又因为二项分布的数学期望，所以恒成立，故A正确；，代入可得，因为二项分布的方差，若恒成立，则恒成立，因为且，等式两边同除以可得，化简可得，此等式不可能对任意满足且的n，p恒成立，故B错误；令，则，，取，，此时，代入，易知，则，由零点存在定理，存在使得，即存在n，p使得方程在内有解，故C正确；，取，，此时，当时，恒成立，此时导函数恒小于零，函数在区间内单调递减，满足题意，故D正确.故选ACD.12．答案：3解析：显然，由得，注意到由对称性必有，故，于是，，而，故.故答案为3.13．答案：4052解析：显然，注意到时，于是052.故答案为4052.14．答案：解析：显然，记，则，，可知，由等腰三角形性质得，由余弦定理得，，而，由θ为捝角得，故的内切圆半径.故答案为.15．答案：(1)(2)见解析解析：(1)记事件A：收支情况良好，事件B：家庭种类为M，(2)零假设为：收支情况与家庭种类无关，，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即可知收支情况与家庭种类无关.16．答案：(1)证明见解析(2)1或2解析：(1)由，，，平面，平面得平面，由平面得，由平面平面，平面平面，平面得平面.(2)以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，，则，，，，，，，记平面的法向量为，即，可取，记直线与平面所成角为θ，，即，，于是或2.17．答案：(1)(2)解析：(1)由等比数列性质得，于是，若，则，这与各项均不为0矛盾，于是，，两式相减得，故的公比.(2)由，令则.此时，，故的前n项和.18．答案：(1)(2)(i)；(ii)证明见解析解析：(1)，，而，故曲线在处的切线方程为.(2)(i)设，由于其是偶函数，故只需考虑其在时的情况.，设，，单调递增，于是，故在上单调递增，而，，可知在上单调递增，结合偶函数的性质可得在上的值域为.(ii)由奇偶性知只要证明时，即可.当时，，考虑，，单调递增，此时，于是，即，故只要证在时成立即可.设，，设，单调递减，，单调递减，，故，综上.19．答案：(1)，即(2)证明见解析(3)，其中且解析：(1)由题意知，椭圆的右顶点为，可得.此时椭圆方程为.已知，当时，代入可得.此时直线方程为.将直线的方程代入得.设点Q的坐标为，因为直线与椭圆交于A，Q两点，且，由韦达定理可得.解得.将代入直线方程得.由两点间距离公式可得.由题意已知，即，则，.因为，故.解得.经检验，此时，，满足条件，故的方程为，即.(2)假设直线垂直于x轴，设其方程为且.此时P，Q两点关于x轴对称，设，且，则，.从而，这与题设条件矛盾，因此直线不可能垂直于x轴.设直线的方程为，设，。将直线方程代入得.因为直线与椭圆交于相异两点，故判别式.由韦达定理得，.由于，且直线，的斜率分别为，，则，即.分子部分为.分母部分为.若，即，直线的方程变为，这意味着直线经过点，与P，Q是不同于A的交点矛盾，故.将分子分母代回可得.由题意知，建立等式.解得，即.代回得，则当时，必有.即直线恒过定点.(3)设，，线段的中点为.由(2)可知，直线过定点.因为P，Q在椭圆上，代入得与.两式相减并分解因式可得.因为为中点，所以，，代入化简得。由题意，交点P，Q相异，则（否则直线垂直于x轴已在(2)排除），由上式可得直线的斜率k满足.又过且过中点，