河北省石家庄市2026届高三数学下学期第一次模拟考试【含答案】

河北石家庄市2026届高三第一次模拟考试数学试卷一、单选题1．已知集合，，则=（

）A． B．C． D．2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（

）A．667 B．668C．669 D．6753．为虚数单位，则复数（

）A． B． C． D．4．在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（

）A． B．C． D．5．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（

）A． B． C．3 D．56．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（

）A． B． C． D．8．已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（

）A． B．5 C．2 D．二、多选题9．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（

）A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为10．已知，，，则（

）A．的最小值为4 B．的最小值为C．的最小值为3 D．的最小值为11．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（

）A．方程，表示的曲线在第二和第四象限；B．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；C．曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；D．曲线上有个整点（横､纵坐标均为整数的点）.三、填空题12．的展开式中的系数为______（用数字作答）.13．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______.四、解答题15．如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为．

(1)证明：；(2)若，求与平面所成角的正弦值．16．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份12345带货金额万元350440580700880(1)计算变量的相关系数（结果精确到0.01）.(2)求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.参考数据：，参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距.17．已知数列满足，且．(1)若，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．18．已知函数，直线是曲线在点处的切线.(1)当时，求直线的方程；(2)求证：函数有唯一零点；(3)记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围.19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；(3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．参考答案1．A【详解】，∴故选：A2．D解：依题意由，解得.故选：D3．A【详解】.故选：A.4．C【详解】由题意可知：，，联立方程组，消去可得：.故选：C.5．A【详解】由题意，根据正态分布的对称性故选：A6．A【详解】圆的圆心为，半径为，若直线与圆相交，则，即，两边同时平方化简可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A7．B【详解】向量，都是单位向量，则，，即，，又因为，所以，故选：B8．B【详解】由题意得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，设，则有，解得，代入双曲线方程，得，又，所以，化简可得：，，所以，解得或(,舍).故选：B9．ABD【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A正确；圆柱的表面积为，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确；圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误；圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以，D正确.故选：.10．BCD【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则A错误；,，，，,当时，的最小值为，则B正确；因为，且，所以，所以，,当且仅当时，等号成立，则C正确；,当且仅当时，等号成立，则D正确；故选：BCD.11．AB【详解】A项：因为，所以、异号，在第二和第四象限，故A正确；B项：因为，当且仅当时等号成立，所以，，即，，故B正确；C项：以为圆心、为半径的圆的面积为，显然曲线构成的四叶玫瑰线面积小于圆的面积，故C错误；D项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过，所以可将、、、、、代入曲线的方程中，通过验证可知，仅有点在曲线上，故结合曲线的对称性可知，曲线仅经过整点，故D错误，故选：AB.12．56【详解】，令，解得，所以.故的展开式中的系数为56.故答案为：5613．【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，14．9【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为，第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：4白，取法数为：，1红3白，取法数为：，2红2白，取法数为：，3红1白：取法数为：，所以第四次取出的是白球的总情形数为：，则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为：，当时，.故答案为：．15．(1)证明见解析(2)．【详解】（1）取的中点，连接，由是中点，得，依题意，，则，由是等边三角形，得，又平面，因此平面，而平面，所以.（2）不妨设，则，连接，在中，，则，即，又平面，因此平面，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，设平面的法向量为，由，令，得，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.16．(1)0.99(2)，986万元.【详解】（1）（2）因为，所以，所以变量之间的线性回归方程为，当时，（万元）.所以预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可得，所以，所以前项和18．(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）由，可得，.又因为时，.因为直线是曲线在点处的切线，所以直线的方程为，所以，直线的方程为，即.（2）由（1）可知，令可得，列表可得单调递减极小值单调递增当，，此时函数无零点当时，单调递增，又，，所以根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.（3）由（1）可知直线的方程为，因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，，所以令，当时，有.设，则.又，所以，由（2）知，且当，且.所以当或时，；当或时，.列表可得单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增当时，，不满足，当时，，即成立综上可知，.19．(1)(2)时，四边形的面积最大值为(3)答案见解析【详解】（1）由题意可得，即.由得，，则将代入，化简得.故曲线的方程为.

（2）由，消得，解得，由已知直线交曲线于，不妨设,，所以，同理.由题意知，所以四边形的面积..∵，∴，当且仅当时等号成立，此时.∴当时，四边形的面积最大值为.（3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，

下面证明：设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，故曲线关于直线对称，同理可证曲线关于原