河南省2026届高三数学上学期2月期末测评试题【含答案】

河南省2025-2026学年高三数学上学期期末试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．163．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（

）A． B． C． D．4．已知的定义域为，且对任意都成立，当时，，则（

）A． B． C． D．5．已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（

）A．4 B． C．16 D．86．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法：第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验；第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校331043乙校38745合计711788第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异，第4步，计算．计算得到，第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（

）A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.0017．已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．内含 D．外切8．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设，，，则下列说法正确的有（

）A．若且，则 B．C． D．10．如图所示，在五面体中，与均为正三角形，四边形、四边形、四边形均为等腰梯形，平面∥平面，，，为中点，则下列选项正确的是（

）A．五面体不一定是棱台B．若，则C．若，则五面体的体积为D．若，则五面体外接球的表面积为11．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（

）A．B．当时，面积的最大值为16C．当时，双曲线的离心率为D．当时，双曲线的渐近线方程为三、填空题12．在二项式的展开式中，各项系数的和是___________.13．过点作曲线的切线，则切线方程为______．14．已知函数，则不等式的解集为______．四、解答题15．已知函数．(1)求函数的单调递增区间和值域；(2)当时，函数的图像与直线有两个交点，求实数的取值范围．16．如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，平面，平面平面．

(1)证明：；(2)若，点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值．17．（1）证明：当时，；（2）已知数列的通项公式为，证明：．18．已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上一点到焦点的最小值为1．直线：与抛物线交于，两点，设（是常数），且，都有（其中为坐标原点）．(1)求抛物线的方程；(2)求值；(3)若，求．19．某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为（），已知王同学第1天选择的是在餐厅用餐．(1)求；(2)求（）；(3)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前5天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望．参考答案1．A【详解】由，得；解方程，得或，所以；已知，则，所以.故选：A2．B【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题知，解得，从而.故选：B3．D【详解】已知，又因为，所以，又由余弦定理，又因为，所以，故选：D.4．C【详解】因为对任意都成立，所以，则函数的图象关于直线对称，且当时，，又因为，所以.故选：C．5．D【详解】因为，是圆上的两个动点，所以，所以.因为，所以.故选：D.6．C【详解】由题，列出新的列联表如下：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校330100430乙校38070450合计710170880代入卡方公式：，其中，所以，，所以认为“学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握，故AB错误.且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误.故选：C.7．B【详解】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、，所以，又，因此，又以为直径的圆的半径，圆心为，以为直径的圆的半径，圆心为，即，所以以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为内切.故选：B8．B【详解】因为，所以，将其解集（部分）在数轴上表示如下：若，存在，使得成立，则区间的长度大于等于相邻两个解集之间的长度，即，即，又，所以，所以的最大值为.故选：B.9．ABD【详解】对A，因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以选项A正确；对B，设，则，，即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确；对C，若，则，所以，所以选项C错误；对D，设，则，，所以.所以选项D正确．故选：ABD．10．BC【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，又因为四边形为等腰梯形，所以，同理，即.对于选项A，因为四边形为等腰梯形，且，所以延长一定相交，设交点为，则，又因为平面，所以平面，同理平面，又因为平面平面，所以点，即，交于点，所以五面体一定是棱台，所以选项A错误；对于选项B，因为为中点，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以.因为交于点，所以将三棱台还原成三棱锥，如图1所示，由题意可得，，又因为为正三角形，所以点在底面的射影为的中心，所以三棱锥是正三棱锥.因为，即，所以，因为是正三棱锥，所以，即，所以，所以选项B正确；对于选项C，因为，所以点分别是的中点，又因为，所以，如图2，过点作平面，垂足为，设平面，连接，因为为的中心，则，所以，则，则)，所以选项C正确；对于选项D，因为五面体是正三棱台，所以外接球的球心一定在线段上或者在的延长线上，如图3所示，连接，设，则，又因为，由得：，解得，则，所以五面体外接球的表面积为，所以选项D错误.故选：BC.11．ACD【详解】因为双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，所以，渐近线为.假设过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，则为点到渐近线即的距离，即，A正确；当时，，所以.所以的面积为.在直角三角形中，，所以.所以，所以，所以.由于，当且仅当时等号成立，此时的面积取最大值为8，B错误；因为，所以点是的中点，因为，所以.又点在双曲线上，所以，化简得.所以解得双曲线的离心率为，C正确；设，由点在到渐近线的垂线段上，直线的斜率为，所以直线的方程为，，设，所以设，所以，解得，而.所以，则.在中，由余弦定理得，利用关系式，即，化简得，将的表达式代入，得到关于的方程，化简后可解得，故渐近线方程为，D正确.

故选：ACD.12．【详解】在中，令可得，所以各项系数之和为，故答案为：.13．【详解】设切点，，则切线斜率为，则切线方程为，将代入得，解得，所以切线方程为，即.故答案为：.14．【详解】当时，，所以，所以在上单调递增，所以；当时，，因为在上单调递减，在定义域内单调递增，所以在上单调递减，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以；所以在R上单调递增.令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，所以在R上单调递增，且，故不等式可化为，所以，所以不等式的解集为.故答案为：15．(1)单调递增区间为；值域为(2)【详解】（1）由函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为，因为，可得，可得，所以函数的值域为.（2）由，可得，令，则函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，且当时，，当时，，当时，，要使得函数的图像与直线有两个交点，则满足，所以实数的取值范围为．16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）过点作交于，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为平面，平面，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.（2）由（1）可知平面，因为点到平面的距离为，所以.以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则.所以.设平面与平面的法向量分别为.所以，即，，令，则.所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.

17．（1）答案见解析；（2）答案见解析；【详解】（1）令，则，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，所以，即；将中的都换成得，，即，即.综上，当时，.（2）令，则，将中的都换成得：，所以，所以在上单调递增，因为，所以，则，即，即，所以，即；将中的换成得：，当且仅当时取等号；因为，所以，即，即，所以．综上有．18．(1)；(2)；(3).【详解】（1）因为抛物线，所以焦点，当点在抛物线的顶点时，与焦点距离最近，所以，即，所以抛物线的方程为：.（2）联立，得，，设，则，因为，所以，又因为，所以，即，又因为，所以，即，所以，化简得：，因为对都成立，所以，解得.（3）（3）由（2）知，易知当时，不满