第八单元 数学广角-优化教学案例

沏茶问题

教学目标1.通过解决实际生活中的问题，使学生明确合理安排事情的步骤，做事要考虑先后顺序，能同时做的事情要同时做，并能结合具体事例安排做事的过程，发展推理意识。2.经历安排做事的过程，通过比较，探究最优方案，用流程图表示出来，形成符号意识，渗透数学优化思想，建立模型意识。3.感受数学在日常生活中的广泛应用，逐步养成合理安排时间的良好习惯。教学重难点重点：掌握事情的先后顺序，合理安排时间。难点：理解能同时做的事情要同时做。教学准备课件目标落实教师活动学生活动二次备课通过简单的日常生活事例，尝试从优化的角度解决问题。一、谈话导入引导学生从日常生活中找到解决问题的策略。1.如果是你，那么你认为怎样安排这两项活动最省时间？早上起来，小明吃饭需要10分钟，收听新闻广播需要15分钟。2.想一想：下面哪些事情可以同时做。（1）洗菜和切菜。 （）（2）扫地和用洗衣机洗衣服。 （）（3）走路和唱歌。 （）（4）用电饭煲煮饭和盛饭。 （）（5）烧水和拖地。 （）（6）看电视和吃饭。 （）一、发现问题1.活动一：学生独立思考，举手回答。预设：收听新闻广播的同时吃早饭，只需15分钟。2.活动二：学生独立思考，举手回答。预设：（1）（✕）（2）（）（3）（）（4）（✕）（5）（）（6）（）组织学生分析沏茶的工序，明确沏茶的大致顺序，为后面设计方案做准备。通过自主探索、小组合作交流，运用优化思想设计出解决问题的不同策略，发展推理意识。通过小组探究、汇报交流，总结出合理安排时间的最优化方案，帮助学生建立模型意识。用流程图的表示解决问题的顺序，初步形成符号意识。二、引导合作1.出示例1情境图。从图上你能得到哪些信息？想一想，你平时沏茶都要做哪些准备呢？怎样理解“尽快”一词？引导学生了解沏茶的工序。2.引导学生设计方案。怎样才能尽快让客人喝上茶？请四人小组一起设计一个沏茶方案。思考：沏茶工序这么多哪些先做？哪些可以同时做？3.引导学生优化方案。（1）你认为哪一种能尽快让客人喝上茶？为什么方案三所用的时间较少？你发现了什么？（2）你能用流程图把做事的先后顺序表示出来吗？小结：合理安排时间要先考虑事情的先后顺序，能同时做的事情越多，所用时间就越少。注意：几件事情同时做时，计算时只加最长时间。二、探究问题1.活动一：学生尝试思考，和四人小组内同学说一说自己的想法，全班交流，集体订正。预设1：烧水8分钟，洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟。预设2：洗水壶、接水、烧水、找茶叶、找茶杯、沏茶。预设3：尽快的意思是用尽可能少的时间。2.活动二：小组讨论，设计方案，并说说这样设计的理由。预设1：先洗水壶，再接水，第三步烧水，四步洗茶杯，第五步找茶叶，第六步沏茶。1+1+8+2+1+1=14（分）预设2：①洗水壶，②接水，③烧水同时洗茶杯，④找茶叶，⑤沏茶。1+1+8+1+1=12（分）预设3：我们组也是认为先洗水壶再接水，烧水同时洗茶杯、找茶叶，最后沏茶，一共四步。1+1+8+1=11（分）3.活动三：（1）小组讨论，分组汇报。预设1：方案三。预设2：第三个方案在烧水时候同时做了洗水杯、找茶叶，三件事情同时进行，节省时间。预设3：能同时做的事情越多，所用时间就越短，节约时间。（2）预设：洗水壶→接水→烧水（同时洗茶杯、找茶叶）→沏茶。通过练习，加深对合理安排事情的运筹思想的理解。通过思考方案合不合理，更加深刻认识到科学合理安排事情的真谛。从生活中的例子进行提升，再一次感悟生活和数学的密不可分的关系。三、辅导练习1.基础练习完成课本第105页做一做第1题。辅导学生思考在最短时间内完成这些事，需要考虑什么？2.变式练习优优放假在家里学蒸鸡蛋，她前后花了23分钟。她是这样安排的：打蛋（1分钟）→切葱花（2分钟）→搅蛋（2分钟）→洗锅（2分钟）→把水烧开（6分钟）→蒸鸡蛋（10分钟）。你认为优优安排得合理吗？如果不合理，那么请把你认为最合理的安排写下来，并算出所用的时间。辅导学生思考烧水6分钟同时能干哪些事情？3.提升练习优优早上起来洗脸、刷牙、叠被子需要8分钟，做保健操需要6分钟，洗杯子、冲奶粉需要2分钟，烧开水需要15分钟，请你安排一下做这几件事情的顺序，使优优尽快地喝上牛奶，总共需要多少分钟？辅导学生思考烧水15分钟同时能干哪些事情？三、解决问题1.基础练习预设：找杯子倒开水→等开水变温（同时找感冒药和量体温）。1+6=7（分）2.变式练习预设：优优安排得不合理。应这样安排：洗锅（2分钟）→把水烧开（6分钟）［同时打蛋（1分钟），搅蛋（2分钟），切葱花（2分钟）］→蒸鸡蛋（10分钟）。时间：2+6+10=18（分）3.提升练习预设：15+2=17（分）加深对沏茶问题理解和应用。四、引导反思引导学生回顾总结本节课所学内容、方法和素养的提升。四、提升问题预设1：合理安排事情可以节约时间。预设2：几件事情同时做时，可以节约时间，计算时只加最长时间。板书设计沏茶问题洗水壶→接水→烧水（同时洗茶杯、找茶叶）→沏茶1+1+8+1=11（分钟）同时进行节省时间烙饼问题

教学目标1.通过简单的事例，使学生理解3张饼的最佳烙饼方法，发展推理意识。2.在解决问题的过程中，可以用图示直观法呈现烙饼的具体操作过程，学生经历从解决问题多种策略中寻找解决问题最优方案的过程，理解优化思想，形成符号意识，建立模型意识。3.使学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决生活中的简单问题，培养学生的应用意识。教学重难点重点：使学生能从解决问题的多种方案中寻找出最优方案，初步体会优化的思想，形成优化的意识。难点：寻找出解决问题的最优方案，形成优化的意识，提高解决实际问题的能力。教学准备课件、圆片目标落实教师活动学生活动二次备课借助洗衣机洗衣服生活常识，建立同时干可以节约时间、节约能源的思想。一、情境导入1.妈妈用洗衣机帮你洗校服，洗一件需要20分钟，洗上衣和裤子需要多长时间？2.（追问）为什么想到两件一起洗？引导学生初步理解同时干，可以节约时间的方法。小结：衣服一起洗，节约时间、节约资源，看来洗衣服也是可以讲究方法的。今天我们就来研究讲究方法的烙饼问题。（板书：烙饼问题）一、发现问题1.活动一：独立思考，四人小组讨论交流自己的想法，全班汇报。预设1：一件一件洗，40分钟。预设2：两件一起洗，20分钟。2.活动二：预设：平时洗衣机洗衣服都是好多件一起洗，节约水，节约时间。通过读题理解烙饼规则，清楚烙1张饼和2张饼的过程，为后面烙多张饼打下基础。通过动手操作，理解烙双数饼的过程，初步体会同时烙就能节约时间。初步发展推理意识和建立模型意识。二、引导合作1.引导学生了解烙饼规则。出示课本105页例2。（1）从图中你得到哪些信息？（2）两面都要烙，每面烙3分钟是什么意思？你能用手势表示出来吗？烙一张饼需要多长时间？（3）一次只能放两张饼是什么意思？你能用手势表示出来吗？烙2张饼需要多长时间？（学生汇报同时课件展示）2×3=6（分）2.探究烙双数张饼法。引导学生理解烙双数张饼的过程。（1）4张饼怎么烙？用多长时间？小组合作，用手中的圆片试着烙一烙。（2）6张饼怎么烙？8张、10张饼怎么烙？你发现了什么？二、探究问题1.活动一：（1）学生阅读后，以小组为单位讨论后并汇报。预设2：得烙3张饼，因为爸爸、妈妈和我各1张。预设3：要尽快吃饼，所以用的时间要最短。（2）独立思考，同桌之间用手势表示一下一张饼怎么烙，全班交流，集体订正。预设1：一个饼要正反面烙，每一面都烙3分钟。（3）独立思考，同位之间用手势表示一下两张饼怎么烙，全班交流，集体订正。预设1：一个锅可以同时烙两张饼。预设2：烙两张饼可以用两只手的正面、两只手的反面表示。两张饼同时烙最节约时间，烙2次也就是2个3，需要3×2=6（分）。2.活动二：（1）独立思考，用手中的圆片试试，四人小组沟通交流说说自己的想法，全班汇报，集体纠错。预设1：可以两张两张地烙，烙两张需要烙2次，烙四张需要烙4次也就是4个3，4×3=12（分）。预设2：我们小组用圆片也推导出烙4次，正1正2、反1反2、正3正4、反3反4，烙4次，4×3=12（分）。（2）独立思考，举手回答。预设2：8张饼可以2张2张烙，烙8次，8×3=24（分）。预设3：10张饼2张2张烙，烙10次，10×3=30（分）。预设4：我发现烙双数张饼，2张2张烙最节约时间。通过动手操作、小组合作探究，比较烙3张饼的两种方法，用图示直观呈现烙饼的具体操作过程，有助于理解“烙3张饼”的最优方案，帮助学生建立符号意识，进一步发展推理意识。解决烙三张饼的问题后，拓展到研究烙单数张饼，使学生发现规律，更进一步建立模型思想。3.探究烙3张饼法。引导学生通过对比达到方法优化的目的。（1）如果烙3张饼，那么怎样最节约时间？小组合作用手中的圆片试着烙一烙。（追问）还可以怎样烙？引导学生思考：要尽快地吃上饼，每次能烙2张饼，能不能保证锅里总有2张饼在烙呢？应怎样安排？（学生汇报时，教师结合课件直观展示，让学生明白3张饼烙法的操作过程）方法一：先烙2张，再烙1张：方法二：保证锅中每次都有2张饼：（2）优化烙法。第二种方法为什么最节约时间？它节省时间的奥秘在哪呢？你能帮例题中的妈妈解决难题了吗？小结：每次烙2张饼，锅不空余最省时间。（3）同桌合作，动手用学具试一试，并试着口述过程。4.探究烙单数饼法。引导学生理解烙单数饼的过程。（1）假如烙5张饼，怎样最节省时间？小组讨论。（2）烙7张、9张、11张呢？怎样最节约时间？你发现什么？3.活动三：（1）独立思考，用手中圆片试试，再和小组内同学交流自己的烙法，全班反馈，集体纠错。预设1：方法一：一个锅里烙2张饼，正反面烙2次，接着再烙1张饼，正反面烙2次，共烙4次，4×3=12（分）。预设2：方法二：我们组用小圆片操作，先烙正1正2，再烙正3反1，第三次烙反2反3，这样烙3次，3×3=9（分）。（2）独立思考，全班汇报。预设1：先烙2张饼，再烙1张饼，锅有空余，这样浪费一次时间。预设2：每次烙饼都保证2张饼，不让锅空闲，这样最节约时间。预设3：例题中的最节约时间，就是烙3次，3×3=9（分）。4.活动四：（1）用手中的圆片烙一烙，并和小组内同学沟通交流一下，全班反馈。（2）独立思考，全班反馈。列举2~11张饼的操作过程，进而总结出烙饼的一般规律，提高学生解决问题的能力。5.引导用表格记录下同学们操作的结论。你发现什么？烙饼张数烙饼次数需要时间22次6分钟33次9分钟44次12分钟55次15分钟66次18分钟77次21分钟88次24分钟99次27分钟1010次30分钟1111次33分钟小结：（1）保证每次都在锅里放两张饼，这样既没有浪费资源，又节省了时间。（2）（3）如果烙饼的张数是单数，那么可以先两张两张地烙，直到最后3张，按“烙3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。（4）几张饼就烙几次，饼数×3就是所用最短时间。预设1：烙7张，先烙2张，再烙2张，最后烙3张，一共烙7次，7×3=21（分）。预设2：烙9张，先每2张一组烙，最后3张一组烙，一共烙9次，9×3=27（分）。预设3：11张也是每2张一组烙，最后3张一组烙，一共烙11次，11×3=33（分）。预设4：我发现单数张饼先每2张一组烙，最后3张一组烙，这样最节省时间。5.活动五：仔细观察，独立思考，小组内交流自己的想法，全班汇报，集体纠错。预设1：饼的个数是双数，就每2张一组烙。饼的个数是单数，先每2张一组烙，最后3张一组烙。预设2：几张饼就烙几次，饼数×3就是所用最短时间。运用画表格的方法，清楚表示出2人同时玩最节省时间，帮助理解题意。解决刷漆的问题，要思考晾的过程如何不空闲，只有合理利用时间才能节约时间，深化提高推理意识。应用烙饼方法解决更复杂的煎鱼问题，提高学生解决问题能力，拓展思维，发展应用意识。三、辅导练习1.基础练习完成课本第105页做一做第2题。辅导学生思考怎样安排才能让时间最少？学生独立思考，自主解答，然后小组间相互订正，交流讨论。2.变式练习一名装修工人要给3块同样的木板刷油漆，每块木板只刷一面，每面要求刷两遍油漆。刷一遍需3分钟，晾4分钟后可以刷第2遍。要把这3块木板全部刷完，至少需要多长时间？辅导学生读懂题意，刷完一块木板，晾的时间，接着刷另一块木板，这样用的时间最少。刷完3块木板第一遍，接着再按刚才顺序刷第二遍，刷一块木板用时3分钟，刷6遍也就是6个3，18分钟。3.提升练习劳动课上，同学们学煎鱼。鱼的两面都要煎，锅里一次最多可以放4条鱼，每煎一面需要5分钟。煎6条鱼至少要多少分钟？辅导学生读懂题意，可以第一次先煎正1、正2、正3、正4，第二次煎反1、反2、正5、正6，第三次煎反3、反4、反5、反6，这样煎鱼用时最少，一共煎三次，煎一面需要5分钟。3个5也就是15分钟。三、解决问题1.基础练习预设1：尽量让两人同时跳，这样省时间。预设2：可以用表格形式表示：小东爸爸妈妈第一次√√第二次√√第三次√√3×1=3（分）2.变式练习预设：6×3=18（分）3.提升练习预设：3×5=15（分）加深对烙饼问题的理解和应用。四、引导反思引导学生回顾总结本节课所学内容、方法和素养的提升。四、提升问题预设1：烙饼问题要保证每次都在锅里放两张饼，这样既没有浪费资源，又节省了时间。预设2：如果烙饼的张数是双数，两张两张地烙就可以了。如果烙饼的张数是单数，那么可以先两张两张地烙，直到最后3张，按“烙3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。预设3：合理利用时间才能节约时间。板书设计烙饼问题烙2张饼：第一次：正1正2，第二次：反1反2。2×3=6（分）烙3张饼：第一次：正1正2，第二次：正3反1，第三次：反2反3，3×3=9（分）最省时间：每次都烙两张饼，锅不空余。策略问题

教学目标1.学生通过简单的事例，能初步体会对策论方法在解决实际问题中的应用，发展推理意识。2.在活动中让学生认识到解决问题策略的多样性，能够运用列表的形式表示出来，形成寻找解决问题“最优策略”的意识，建立符号意识，提高学生解决问题的能力。3.感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，形成应用意识。教学重难点重点：在解决问题中理解“最优策略”。难点：在实际生活中有效地运用“最优策略”。教学准备课件、扑克牌目标落实教师活动学生活动二次备课从扑克牌游戏入手，调动学生情绪，在玩中初步感受策略的作用。一、游戏导入出示两组扑克牌，分别是3、5、7和4、6、8。你们玩过用扑克牌比大小吗？游戏规则：双方每次各出一张牌比大小，由学生先出第一张牌，比大小采用三局两胜制。一、发现问题活动：仔细阅读游戏规则，举手参与。预设1：我选4、6、8。预设2：我选3、5、7。引导学生从游戏入手，调动积极。（由学生选择一组，然后和老师进行比赛）为什么老师总能赢呢？这就是老师应用了数学中的对策问题，今天我们就来学习有关“对策问题”。（板书：对策问题）通过课件播放视频，学生分析“田忌赛马”的故事，引导学生从数学角度来理解解决问题的策略，初步发展推理意识。通过独立思考、小组交流，把6种方法通过列表的形式展现出来，掌二、引导合作古时候的人们就懂得运用对策使自己取胜了，“田忌赛马”的故事就蕴涵了这样的问题。1.课件播放“田忌赛马”故事。引导学生分析“田忌赛马”的故事。你知道孙膑用了什么对策让田忌转败为胜的吗？齐王田忌本场胜者第一场上等马下等马齐王第二场中等马上等马田忌第三场下等马中等马田忌小结：虽然同等级的马中，田忌的马不如齐王的马，如果拿同级别马进行比赛田忌一定会输，但是田忌采取的策略却让他赢了。2.自主探索，合作求知。引导学生汇报交流，验证田忌赛马最优策略的唯一性。（1）田忌可以采用的策略有多少种？田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？三、探究问题1.活动一：学生认真阅读，独立思考，和四人小组内同学说一说自己的想法，全班交流，集体订正。预设：第一场田忌用下等马对齐王的上等马，第二场田忌用上等马对齐王的中等马，第三场田忌用中等马对齐王的下等马，结果田忌输了一场，赢了两场，胜了齐王。2.活动二：（1）独立思考，小组合作交流自己的想法，全班汇报，集体纠错。握“最优策略”即用最弱的马牵制对方最强的马，建立符号意识，进一步发展提高推理意识。通过联系实际生活，体会“最优策略”的实用和重要性，形成应用意识。（表格验证，介绍填表方法。）小结：田忌可以采用策略有6种，但是只有一种策略可以获胜。（2）田忌获胜，要有什么条件？小结：用最弱的马牵制对方最强的马，但必须后出，也就是以弱胜强，他所使用的方法是“最优策略”。3.回顾游戏。思考之前玩的扑克牌游戏，老师为什么总赢？小结：在与对方进行比赛时，把解决问题的所有可能性都一一找出来，选择一个利多弊少的“最优策略”，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。预设1：第一场第二场第三场获胜方齐王上等马中等马下等马田忌1上等马中等马下等马齐王田忌2上等马下等马中等马齐王田忌3中等马上等马下等马齐王田忌4中等马下等马上等马齐王田忌5下等马上等马中等马田忌田忌6下等马中等马上等马齐王预设2：共有6种策略，只有这一种策略能转败为胜。（2）小组合作，填写表格，全班汇报，集体纠错。预设：6种策略，只有让齐王先出。用“齐上对田下，齐中对田上，齐下对田中”这一种策略才能赢。3.活动三：独立思考，小组讨论，全班汇报，集体纠错。预设：老师运用了“最优策略”，用最小的牌牵制对方最大的牌，还得后出。比如同学要大的牌4、6、8，老师要较小的牌3、5、7，同学出4老师出5，老师赢；同学出6老师出7，老师赢；同学出8老师出5，同学赢；三局两胜老师赢。解决生活中类似的问题，体会“最优策略”实际应用。加大难度，通过解决生活中比赛问题，进一步体会以弱胜强的策略。三、辅导练习1.基础练习完成课本第106页做一做。辅导学生先弄清游戏规则，再同桌两人合作完成，并思考：如果一人拿9、7、5三张，一人拿8、6、3三张，那么拿8、6、3这三张的人有可能获胜吗？该按怎样的顺序出牌才能获胜？2.变式练习体育老师给每名学生20次投篮的机会。下面是男生一队和男生二队的投篮比赛成绩。（采用五局三胜制）男生一队小朔小强小晓小勇小志161412108男生二队小文小千小帅毛毛小军14131195如果比赛中每个人都发挥正常，那么男生二队怎样对阵才能获胜？请在下面的表格中帮他们设计出获胜方案。（填姓名）男生一队男生二队获胜队第一场第二场第三场第四场第五场辅导学生明白游戏规则五局三胜，采用“最优策略”。第一局一队最强的对二队最弱的，一队赢；第二局一队和二队平局，其他三局一队弱的对二队强的，二队赢；这样五局三胜，二队就赢了。（答案不唯一）三、解决问题1.基础练习预设：可能获胜。可以列表表示：对方小红本场胜者第一次93对方第二次78小红第三次56小红2.变式练习预设：列表格表示：男生一队男生二队获胜队第一场小朔小军男生一队第二场小强小文平局第三场小晓小千男生二队第四场小勇小帅男生二队第五场小志毛毛男生二队灵活应用“最优策略”从生活中发现数学的应用价值，进一步形成应用意识。3.提升练习盒子里有20个球，贝贝和优优玩拿球游戏，两人轮流拿走1个或2个球，谁拿到最后1个球谁获胜。如果贝贝先拿，那么她怎样拿能确保获胜？辅导学生理解贝贝先拿2个球，以后保证两人每次拿的球总数是3，最后贝贝就赢。3.提升练习预设：贝贝先拿，可以先拿2个，以后如果优优拿1个，贝贝就拿2个，只要保证两人总数是3，最后贝贝就能赢。加深对策略问题的理解和应用。四、引导反思引导学生回顾总结本节课所学内容、方法和素养的提升。四、提升问题预设1：最优策略即是用最弱的牵制最强的，还得后出。预设2：与对方进行比赛时，把解决问题的所有可能性都一一找出来，选择一个利多弊少的“最优策略”，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。板书设计策略问题第一场第二场第三场获胜方齐王上等马中等马下等马田忌1上等马中等马下等马齐王田忌2上等马下等马中等马齐王田忌3中等马上等马下等马齐王田忌4中等马下等马上等马齐王田忌5下等马上等马中等马田忌田忌6下等马中等马上等马齐王最优策略：以弱胜强评价测试一、填一填。(23分)1.据报道,受台风的严重影响,某地区造成的直接经济损失达993700000元,将该数改写成以“万”作单位的数是()万元,省略亿位后面的尾数约是()亿元。2.香港特别行政区的总面积约是1106000000平方米,这个数读作(),写成用“万”作单位的数是()平方米,省略亿位后面的尾数约是()亿平方米。3.6□5÷65,要使商是两位数,□里最小应填();要使商是一位数,□里最大应填()。4.一个十位数,最高位是7,百万位和百位都是5,其他各个数位上都是0,这个数写作(),这个数最高位是()位。5.5:00时的时针与分针的夹角的度数是();10:00时的时针与分针的夹角的度数是()。6.小明跳绳,3分钟跳了120下,照这样的速度,5分钟能跳()下。7.如右图,∠1=30°,∠2=(),∠3=()。8.两个数的积是240,如果一个因数不变,另一个因数除以10,那么积是()。9.A除以B的商是25,如果A除以5,B乘5,那么商应是()。10.花落谁家?36548793654897 2690010000027万6公顷6平方千米 80000平方米9平方千米480÷12480÷30 18×50050×18011.用平底锅一次最多能煎3条鱼,鱼的两面都要煎,煎一面要2分钟,煎6条鱼最少要()分钟。二、火眼金睛判对错。(正确的画“√”,错误的画“×”)(6分)1.如果四边形有一个角是直角,那么它一定是长方形。()2.平行四边形是特殊的长方形,不容易变形。()3.钝角一定比直角大,比直角大的角一定是钝角。()4.两个数相除,被除数乘10,除数除以10,商不变。()5.平行线间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离。()6.一个数的近似数是7万,这个数最大是74000,最小是65000。()三、选一选。(10分)1.下面数的近似数是78万的是()。A.785000 B.773000 C.776000 D.7670002.两个数相除的商是100,如果被除数和除数都除以5,那么商是()。A.100 B.20 C.500 D.503.两个完全一样的梯形一定可以拼成一个()。A.平行四边形 B.长方形 C.梯形 D.正方形4.A地与B地间的距离为120千米,货车要行驶2小时,货车的速度是()。A.60千米/分 B.60千米/时C.240千米/时 D.240千米/分5.图图放学回家,妈妈说:“晚餐我给你做你最爱吃的红烧鱼。不过你要帮妈妈设计一下,怎样安排时间才能尽早开饭。”(杀鱼、洗鱼8分钟,烧鱼10分钟,淘米2分钟,蒸米饭15分钟,灶台上有两个火头)至少需要