2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．“一个点和一条直线确定一个平面”是，命题．（填“真”、“假”）.2．在空间直角坐标系中，点，3，关于平面的对称点的坐标是．3．直线的倾斜角为．4．如图，已知长方体的棱长，，则点到棱的距离是．5．已知是三角形所在平面外一点，且，则点在平面上的射影是三角形的心．6．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为．7．已知，，三点不共线，点不在平面内，，若，，，四点共面，则的最大值为．8．已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点，在底面圆周上，则面积的最大值为．9．如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为．10．如图，已知三棱柱的体积为4，，，分别为侧棱，，上的点，且，则．11．下列选项中，正确的是．①若两条不同直线，的方向向量为，，则；②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为△的重心；③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底；④若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使．12．已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是．二、选择题13．过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B． C． D．14．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则15．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球体积为（）A． B． C． D．16．在正方体中，点，分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（）A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确三、解答题17．如图，长方体中，，，点为的中点，（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离．18．已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值；（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．19．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是．（1）求石凳的体积；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？20．如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，．（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值．21．如图，在四面体中，△是正三角形，△是直角三角形，，并且，点在棱上．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的正切值为，求的值；（3）点、分别是线段、上的动点，求△周长的最小值．

参考答案一、填空题1．假．2．，3，．3．．4．5．5．外．6．．7．．8．6．9．．10．．11．①②④．12．，．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题18．解：（1）若，则直线，即，，两直线垂直，符合题意；若，则，解得．综上所述，或0．（2）由在直线上，则，解得，故显然直线的斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，令，可得，再令，可得，在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，所以，解得或，所以直线的方程为或．19．解：（1）正方体的体积为，石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，故一个