2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．已知的终边过点，则的值是．2．已知复数满足，则．3．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为．4．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是．5．已知向量满足，则．6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有条．7．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是．（填写正确的序号）①，0，；②，1，；③，0，；④，1，．8．已知在上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为．9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，，则的最小值为．10．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围为．11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且△是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为．12．已知三棱锥中，，，若二面角的余弦值是，则二面角的余弦值为．二、选择题13．若，是正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．15．在直三棱柱中，，，，是棱上的一点，则△的周长的最小值为（）A． B． C． D．16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个是严格增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的大小．18．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，，求点到平面的距离．19．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值；（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．20．（18分）如图在四面体中，△是边长为2的等边三角形，△为直角三角形，其中为直角顶点，，、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．（1）求证：平面；（2）试探究当二面角的大小从增加到的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；（3）设，且△是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？21．（18分）已知是定义域为的函数，集合，若对任意，，，均有，则称是关联．（1）判断函数、是否是，关联，并说明理由；（2）若是关联，当，时，，求解不等式的解集；（3）判断“是关联”是“是，关联”的什么条件，并说明理由．

参考答案一、填空题1．．2．2．3．．4．．5．1．6．3．7．②④．8．，，．9．．10．．11．．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题19．解：（1）如图所示，，又，所以，即三棱柱的高，又棱柱底面积，所以三棱柱容器的体积，即所求函数关系式为，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值为32，即，且的最大值为；（2）减掉的三个四边形材料面积之和为，则，解得：，因为正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为，又该正三棱柱的高为若金属球体的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，所以球的半径，该金属球体的最大体积．20．解：（1）证明：四边形为平行四边形，．而面，面，面．而面，面面，，而面，面，面；（2），在平面上的投影满足，即在平面上的投影在线段的中垂线上，如图所示，将△补成边长为2的正三角形，当二面角为角时，即点在平面上，此时为，当二面角为角时，此时为中点，故在平面上的投影所扫过的平面区域为△，而，故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为；（3），，且△为等腰三角形，，取中点，由题意得：，，，满足，根据勾股定理可知，平面，，而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半，连接、，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，，，设点到平面的距离为，，，，，整理得，解得舍去）．21．解：（1）函数是，关联，理由如下：任取，，若，，则，，，即，，所以函数是，关联；函数不是，关联，理由如下：若，，则，又因为，是，的真子集，所以函数不是，关联；（2）因为是关联，所以，则，即，当，时，；因为，即，解得或，所以不等式的解集为或；当，时，，，，由，得，解得，所以不等式的解集为；当，，，时，，所以当时，或当时，，此时不等式无解；综上，不等式的解集为或；（3）“是关联“是“是，关联“的必要不