2025-2026学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷一、填空题1．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为．2．直线与的夹角的大小为．3．椭圆的离心率为．4．已知双曲线，则它的焦距为．5．函数的导函数．6．已知直线与直线相互平行，则实数的值是．7．曲线在处的切线方程是．8．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为．9．将化简为椭圆标准方程的形式，结果为．10．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是．11．已知、，，则直线与圆：的位置关系是．12．若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有．①；②；③；④二、选择题13．已知曲线表示圆，则的取值范围是（）A． B． C． D．，，14．“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．曲线的图象（）A．关于轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称16．设为曲线上的任意一点，记到的准线的距离为．若关于点集和，，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是（）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立三、解答题17．已知△三个顶点的坐标分别为、、，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的中线所在直线的方程．18．已知．（1）求函数的单调减区间；（2）求函数在，上的最大值和最小值．19．已知圆．（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．20．（18分）已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，△面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点．①求直线的方程；②记，的面积分别为，，求的最大值．21．（18分）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数．（1）求函数在点，的切线方程；（2）已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？（3）若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由．

参考答案一、填空题1．．2．．3．4．．5．．6．．7．．8．．9．．10．．11．相切．12．②③④．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）因为，，所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．（2）因为，，所以的中点为，不妨记，又，所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．18．解：（1）的定义域为，且，令，可得，函数的单调递减区间为；（2）令，可得或，则的单调递增区间为，，在区间，上，，随的变换情况如下表：函数在，上的最大值为59，最小值为．19．解：（1）将圆的方程化成标准形式为，其中圆心为，半径为5，设点关于直线的对称点为，则，解得，，圆的标准方程为．（2）直线可变形为，该直线恒过点，当该直线与直线垂直时，其与圆相交的弦长最短，由（1）知，点为，直线的斜率，，，直线方程为，此时圆心到直线的距离，弦长，故当时，直线与圆相交的弦长最短，最短弦长为．20．解：（1）由题意可得，且，解得，，所以椭圆的方程为．（2）①设，，，，则直线的方程为，因为直线与直线垂直，所以直线的方程为，又因为，所以，所以，所以点的横坐标为，同理可得点的横坐标为，所以直线的方程为．②设直线，联立，得，所以，同理，可得，联立解得，同理，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．21．解：（1）因为，所以，所以，，所以所求切线方程为，即；（2）由题可知，又，所以，即，当且时，，当时，，当时，；（3）导函数为偶函数，且为周期函