2025-2026学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年新疆乌鲁木齐市实验学校高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知z=1+i,计算=（）A.-i B.i C.-1 D.12.已知，，若，则λ=（）A. B. C.-1 D.33.若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β

C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A.2π B.3π C.6π D.9π5.已知数据x1，x2，…，x20的极差为4，方差为2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x20+5的极差和方差分别是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，186.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

下列说法中，错误的是（）A.服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低

B.未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高

C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94

D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.57.在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，A2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，A3表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A.A2和A1为对立事件 B.A1与A2为相互独立事件

C.A1与A3为相互独立事件 D.A1与A2为互斥事件8.已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（）A. B.1 C.2 D.3二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.复数z=3-4i的共轭复数的模

B.若复数（m2+3m-4）+（m-1）i是纯虚数，则得m=1或m=-4

C.若复数z=3-4i对应的向量为，1+i对应的向量为，则向量对应的复数为-2+5i

D.若复数z=3-4i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q=1910.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是（）A.若A＞B，则sinA＞sinB

B.若a：b：c=4：5：6，则△ABC是钝角三角形

C.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

D.若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A.AB与PF所成角为

B.该二十四等边体的体积为

C.该二十四等边体外接球的表面积为8π

D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O′A′=4，O′C′=1，则原图形周长是

.

​​​​​​​

13.样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为

.14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转角得到点P，则点P的坐标为

，向量在向量上的投影向量为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinC=cosB，a2+b2-c2=.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为3+，求c.16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1.

（1）作出过B1C与A1B平行的平面α，并证明；

（2）证明：BC1⊥平面A1DCB1；

（3）求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.17.(本小题15分)

（1）已知A（2，3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标；

（2）若是夹角为60°的两个单位向量，求：（i）的值；（ii）函数的最小值；

（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明.

①余弦定理；

②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；

③三角形的三条中线交于一点.

注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.18.(本小题17分)

学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数xi（i=1，2，⋯，50）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：[45，55），[55，65），…，[85，95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.

（1）求m的值；

（2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数；（保留一位小数）

（3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65，85）内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75，85）内的概率.19.(本小题17分)

某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖.记事件A为“两枚骰子点数相同”，事件B为“两枚骰子点数相连”，事件C为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”.

（1）以事件A，B，C发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件；

（2）若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】BCD

12.【答案】14

13.【答案】11．

14.【答案】（4，1）（1，-2）

15.【答案】解：（1）因为+-=ab，所以由余弦定理得C===，

而C(0,)，因此C=.

又因为C=B，所以=B，即=B，解得B=，

而B(0,)，因此B=.

（2）由（1）知：B=，C=，因此A=-B-C=--=.

因为ABC的面积为3+，所以abC=3+，即ab=3+，解得.

又因为由正弦定理得，，所以，

即，

即，解得（舍去）.

16.【答案】平面B1D1C为所求平面α．证明：如图所示，连接B1D1，CD1，在正方体中，A1D1∥BC且A1D1=BC，则四边形A1D1CB是平行四边形，A1B∥D1C，因为B1C⊂平面B1D1C，A1B⊄平面B1D1C，所以A1B∥平面B1D1C

证明：如图所示，在正方体中，侧面BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C．又因为A1B1⊥平面BCC1B1，且BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．因为B1C∩A1B1=B1，且B1C，A1B1⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1

30°

17.【答案】解：（1）设P（x,y），则，，

因为点P在线段AB的延长线上，且，

所以，所以，解得，

所以P（8，-15）；

（2）（i）因为，为单位向量，所以，，

所以=

==；

（ii）因为=

==

=，

所以当时，函数的最小值为；

（3）证明：若选①：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，

证明：如图，设，

由三角形法则有，所以，

即c2=a2+b2-2abcosC，

同理可得a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB；

若选②：在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，

证明：．

根据条件作出图形，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以，，

由，可得，

由，可得，

所以，

即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；

若选③：在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，

证明：AD，CE，BF相交于一点，

由题意作出图形，

设，，

则，，，

设AD，CE相交于一点G1，，，

则，，

又，

所以，解得，，

所以，

再设AD，BF相交于一点G2，同理可证得，

即G1，G2重合，即AD，CE，BF相交于一点，

所以三角形的三条中线交于一点．

18.【答案】0.024；

平均数为75；中位数约为76.7；

．

19.【答案】解：（1）根据题意，设两枚骰子的点数分别为x,y,用（x,y）表示投掷结果，则所有可能的结果有36种，

即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），

（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），

（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），

（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），

（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．

事件，

事件B={（1，2），（2，1），（2，3），（3，2）（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）}，，

C={