相交线与平行线讲义1

各位同学，大家好。今天我们开始进入平面几何的初步学习，首先接触的是平面内两条直线的基本位置关系：相交与平行。这部分内容是整个几何学的基础，看似简单，实则蕴含着丰富的逻辑与图形规律，希望大家能认真理解，为后续的学习打下坚实的根基。一、相交线我们生活的空间是立体的，但在初中阶段，我们主要研究平面图形。在一个平面内，两条直线的位置关系，最基本的便是要么相交，要么不相交。1.1相交线的定义相交线：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线(intersectinglines)。这个公共点叫做它们的交点(pointofintersection)。比如，我们教室的墙角线，黑板的相邻两边，都给我们相交线的直观印象。两条直线相交，形成了角，这是我们研究的重点。1.2对顶角与邻补角当两条直线相交时，会形成四个角。我们来观察一下这四个角之间有什么关系。如图（请自行在脑海中构建或绘制一个简单的相交线图形：直线AB与直线CD相交于点O，形成∠1、∠2、∠3、∠4四个角，其中∠1与∠3相对，∠2与∠4相对）。1.对顶角(verticalangles)*定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角。在图中，∠1与∠3，∠2与∠4都是对顶角。*性质：对顶角相等。这是一个非常重要的性质，我们可以通过平角的定义来简单说明：因为∠1+∠2=180°（邻补角定义），∠3+∠2=180°（同理），所以∠1=∠3（同角的补角相等）。2.邻补角(adjacentsupplementaryangles)*定义：两条直线相交后，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。在图中，∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1都是邻补角。*性质：邻补角互补，即它们的和为180°。这由邻补角的定义直接可得，因为它们构成了一个平角。辨析与思考：*互为对顶角的两个角，有公共顶点，没有公共边。*互为邻补角的两个角，有公共顶点，有一条公共边，且另一边互为反向延长线。*一个角的对顶角只有一个，但一个角的邻补角有两个。例题：如图，直线a、b相交于点O，若∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度数。解答：因为∠1与∠3是对顶角，所以∠3=∠1=50°。因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1+∠2=180°，故∠2=180°-∠1=130°。∠2与∠4是对顶角，所以∠4=∠2=130°。二、垂线在相交线中，有一种特殊的情况，即两条直线相交成直角。这就是我们要学习的垂线。2.1垂线的定义垂线(perpendicularline)：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足(footoftheperpendicular)。垂直用符号“⊥”表示，读作“垂直于”。例如，直线AB垂直于直线CD，可记作“AB⊥CD”，垂足为O。2.2垂线的性质垂线有一些非常重要的性质，这些性质在后续的几何证明和计算中有着广泛的应用。性质1（基本事实）：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。“有且只有”意味着存在性和唯一性。性质2（基本事实）：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。思考与应用：*如何过一点画已知直线的垂线？（可以使用三角板或量角器，确保所画的角是直角。）*“垂线段”和“垂线”有何区别？（垂线是直线，无限长；垂线段是线段，有长度，是垂线的一部分。）例题：如图，点P是直线l外一点，PA、PB、PC是点P到直线l的三条线段，其中PB⊥l，垂足为B。（1）线段PB的长度叫做什么？（2）比较PA、PB、PC的大小，并说明理由。解答：（1）线段PB的长度叫做点P到直线l的距离。（2）PB最短。理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。因此，PB<PA，PB<PC。三、平行线在同一平面内，除了相交的两条直线，还有不相交的情况。3.1平行线的定义平行线(parallellines)：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，读作“平行于”。例如，直线AB平行于直线CD，可记作“AB∥CD”。重要强调：*“在同一平面内”是定义的前提。如果不在同一平面内，不相交的直线不一定平行（这涉及到立体几何中的异面直线，我们现阶段暂不讨论）。*“不相交”是平行线的核心特征。3.2平行线的画法我们可以利用直尺和三角板来画平行线。基本步骤如下（以过直线外一点画已知直线的平行线为例）：1.放：将三角板的一边（一条直角边）靠紧已知直线。2.贴：用直尺紧靠三角板的另一边（另一条直角边）。3.推：沿直尺推动三角板，使三角板原来与已知直线重合的边移动到过已知点的位置。4.画：沿三角板的这条边画直线。这条直线就是过已知点且与已知直线平行的直线。3.3平行公理及其推论平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。这条公理与垂线的第一条性质类似，也强调了存在性和唯一性，但这里的点必须是“直线外一点”。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。简单说成：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号语言表示：如果a∥b，c∥b，那么a∥c。思考：*如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行吗？（在同一平面内，答案是肯定的，我们后续会学习到。）*平行公理的推论给出了一种判断两条直线平行的方法。本讲小结本讲我们初步认识了平面内两条直线的位置关系：相交与平行。*相交线：重点学习了对顶角和邻补角的定义与性质。对顶角相等，邻补角互补。*垂线：相交的特殊情况（交角为直角）。掌握垂线的定义、性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短）以及点到直线的距离。*平行线：掌握平行线的定义，了解平行线的画法，以及重要的平行公理和它的推论。这些基本概念和性质是我们进一步学习几何的基石，希望同学们能够结合图形，深入理解，熟练掌握。在后续的课程中，我们将学习如何判断两条直线是否平行，以及平行线的性质。---练习题（请自行完成，巩固所学）：1.判断题（对的打“√”，错的打“×”）：(1)对顶角相等。（）(2)相等的角是对顶角。（）(3)邻补角互补。（）(4)互补的角是邻补角。（）(5)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（）(6)在同一平面内，不相交的两条线段是平行线。（）2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOD=100°，求∠COE的度数。3.如图