压缩感知-4测量矩阵的构造

现代信号处理

(ModernSignalProcessing)信号处理课程组信息与控制工程学院

主讲教师：李松第八章压缩感知测量矩阵的构造

主要内容：1.测量矩阵的基本要求与关键性质2.随机测量矩阵的类型与特点3.结构化随机矩阵与确定性测量矩阵重点与难点：对测量矩阵的RIP性质和稀疏信号恢复能力的理解一、测量矩阵的基本要求与关键性质测量矩阵的构造在压缩感知（CS）理论中，测量矩阵需要保证稀疏信号、可压缩信号或含噪信号能够被准确或近似准确地恢复。为了实现信号的有效恢复，测量矩阵需要满足一些关键性质，如Spark、受限等距性质（RestrictedIsometryProperty,RIP）、以及与稀疏基的低相干性。一、测量矩阵的基本要求与关键性质测量矩阵的构造理想的测量矩阵应具有大的

Spark值、小的

RIP常数和低的相干性。由于稀疏变换矩阵Ψ通常是确定的正交方阵，因此测量矩阵的构造主要集中在矩阵Φ的设计上。设计目标：构造出对尽可能大的稀疏度k仍能满足k阶RIP条件的矩阵Φ一、测量矩阵的基本要求与关键性质测量矩阵的构造约束等距性质（restrictedisometryproperty，RIP）定义

令整数k=1,2,3,…，对所有的k稀疏信号，等距常数δ是满足

的最小标量。如果δₖ∈(0,1)，则称矩阵Φ∈ℝM×N满足k阶的RIP并具有等距常数δk。一、测量矩阵的基本要求与关键性质测量矩阵的构造如果δk<1，则称矩阵Φ具有k阶的RIP性质。对所有的

都成立。测量矩阵Φ的RIP性质保证了通过变换y=Φx前后信号的能量及几何结构基本保持不变，同时也保护了两个k稀疏信号在变换前后的距离，从而使得k稀疏信号的准确恢复成为可能，也保证了恢复的稳定性。一、测量矩阵的基本要求与关键性质测量矩阵的构造

浓缩测量(ConcentrationofMeasure):浓缩不等式一、测量矩阵的基本要求与关键性质测量矩阵的构造

二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造

核心优势:随机矩阵能够以极高的概率确保测量矩阵满足RIP性质。

二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造特性：与高斯随机矩阵一样，伯努利矩阵同样满足浓缩不等式，性质与高斯矩阵类似。也具有通用性。

或者二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造

二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造

二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造3.亚高斯测量矩阵:亚高斯分布:比高斯分布更广义的一类分布，其概率尾部按高斯速率衰减。高斯分布和有界分布（如伯努利分布）都是其特例。

成立，则称随机变量X服从亚高斯分布。二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造在一定的条件下，高斯分布、伯努利分布和均匀分布都可以看作是亚高斯分布。因此，亚高斯分布是一类很具有代表性的分布。亚高斯分布也满足高斯分布的一些性质，如两个亚高斯分布的和仍然属于亚高斯分布。如同高斯随机矩阵和伯努利随机矩阵的构成一样，利用亚高斯随机变量可以构造出亚高斯随机矩阵。二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造

二、随机测量矩阵的类型与特点测量矩阵的构造

将M/2移到方程的左边，得

三、结构化随机矩阵与确定性测量矩阵测量矩阵的构造高斯和伯努利随机矩阵不足：存储：全随机矩阵需要存储M×N个元素，硬件实现困难。计算：缺少快速矩阵向量乘法，限制了恢复速度。物理约束：随机性导致难以施加额外的物理约束。三、结构化随机矩阵与确定性测量矩阵测量矩阵的构造部分随机傅里叶矩阵构造方法:从一个N×N

的离散傅里叶变换（DFT）矩阵中，随机均匀地选择M行，构成一个M×N的测量矩阵。

三、结构化随机矩阵与确定性测量矩阵测量矩阵的构造

三、结构化随机矩阵与确定性测量矩阵测量矩阵的构造

三、结构化随机矩阵与确定性测量矩阵测量矩阵的构造确定性测量矩阵虽然随机矩阵可以大概率满足RIP条件，但由于其存储量大、缺乏快速算法等不足，特别是通过硬件实现时产生随机数较为困难。工程应用中，确定性结构更受欢迎，避免了硬件实现随机数生成器的困难，完全可预测，便于分析和应用。研究进展：已存在多种构造方法，如基于有限域多项式理论的方法。三、结构化随机矩阵与确定性测量矩阵测量矩阵的构造

四、总结测量矩阵的构造矩阵类型构造方法优势不足随机矩阵(高斯/伯努利/亚高斯)元素为i.i.d.随机变量。理论性能好，通用性强，满足RIP的概率高。部分随机傅里叶矩阵随机抽取DFT矩阵的行。存储和生成方便，有FFT快速算法。确定性测量矩阵基于代数理论等确