现代数字信号处理-使用MATLAB分析与实现（新形态版）习题及答案汇 第1-4章

1-1已知系统H(z)的单位采样响应hn=δn解：H(z)=1-因果离散时间LTI系统存在稳定因果逆系统的充分必要条件是：H(z)的所有零点（极点）必须在单位圆内（最小相位系统）零点：1-z=两个零点都在单位圆内，因此系统为最小相位系统，存在因果稳定的逆系统。逆系统G(z)=G(z)=其单位采样响应为：g(n)=或写为：g(n)=1-2一个线性移不变系统的传输函数为Hz=z（1）试求实现这个系统的差分方程。（2）试证明这个系统是一个全通系统。（3）H(z)和另一个系统G(z)级联后，整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，试求其单位采样响应解：（1）H(z)=

Y(z)(1-a

y(n)-ay(n-1)=x(n-1)-因此差分方程为：

y(n)=ay(n-1)+x(n-1)-（2）

H(分子项：

e并且对任意复数

β

有

1-β取β=a*因此频率响应分子等于分母，等于1，得证。（3）H(z)G(z)=1

G(z)=

g(n)=1-3证明如下三个系统具有相同的幅频响应，并判断哪一个是最小相位系统，哪一个是最大相位系统，哪一个是混合相位系统。解:

HHH三个系统的幅频响应相同，因为它们的零极点模乘积比例相同最小相位系统：所有零点在单位圆内最大相位系统：所有零点在单位圆外混合相位系统：零点在单位圆内外都有1-4假设Hz和G（1）HzG(z)解：（1）已知Hz和G零极点分布：HzG(z)的零点是H因为H和G的所有零极点都在单位圆内，所以HzG因果稳定性：若H和G均因果稳定，则Hz因此Hz两个最小相位系统的和不一定是最小相位，因为零点会发生变化，可能出现在单位圆外。1-5一个因果线性移不变系统的传输函数为Hz=(1-2z-2)(解：

HHz1-6试用初值定理证明，如果hmn是最小相位序列，且hn解：设hmn是最小相位因果序列，则它们的z变换之间只相差一个全通函数HapH(z)=由初值定理（对因果序列）：h设最小相位系统函数为H当z∞时，lim取K>0（可通过相位适当选择使hm全通函数为H当zlim于是lim因为pk<1（若于是h(0)=取绝对值：h(0)由于c<1且hh(0)1-7表1.7.1所列的所有系统都是同态系统，已知其输入运算，试确定其输出运算。表1.7.1题1-7表序号系统变换T[x(n)]输入运算1y加法2y乘法3x加法4x卷积5x乘法6y乘法7y乘法8y加法9y乘法解：（1）输入加法：x输出：2所以输出运输也是加法。（2）T而T不相等，所以不是输入乘法。（3）x(n)=Z输出运算：加法（在频域上，两个z变换的加法）。（4）Z所以输出运算是乘法。（5）时域乘法zZ所以输出运算：复卷积（循环卷积）。（6）检查：

TT两者相等，所以输出运输也是乘法。（7）取绝对值：TT相等，所以输出运算是乘法。（8）TT所以输出运算：乘法。（9）TT与ex通常表述为：输出运算是对数域的乘法映射回原始域的运算，简称为幂运算(⨂)使得a⨂b=exp(lna∙lnb)。序号系统变换T[x(n)]输入运算输出运算1y加法加法2y乘法与第一行相同，应为加法3x加法加法4x卷积乘法5x乘法复卷积（或圆周卷积）6y乘法乘法7y乘法乘法8y加法乘法9y乘法对数域乘法（即⨂：a⨂b=exp(lna∙lnb)）1-8考虑通信系统中的信道均衡场景，接收信号y(n)=h(n)解：（1）数学模型基于二阶统计量的盲反卷积，接收信号:y其中(n)为独立信号，h(n)为未知FIR信道，v（2）LMS自适应反卷积滤波器设计滤波器输出：s其中ω(n)为均衡器系数，Y(n)=[y(n),y(n-1),...,y(n-M)]恒模准则（CMA）：代价函数：J(瞬时梯度下降（LMS型更新）：ω(n+1)=（3）迭代公式滤波：s误差：e(n)=更新：ω(n+1)=（4）步长

μ

的影响收敛速度：时间常数τ∝1(μ稳定性：需满足0<μ<2稳态失调：失调量Mdis1-9已知卷积同态系统的输入x(n)解：卷积同态系统的一般结构为：y(n)=其中D*L为线性系统(对复倒谱序列进行处理)。D*-1当x(n)=δX(z)=1复倒谱x(n)=0(对所有n于是：D若L是线性系统，那么L[0]=0。因此:y(n)=而逆特征系统D*-1对零序列的作用：频域Y(z)=0，取指数得y(n)=1-10什么是倒谱？什么是复倒谱？复倒谱有哪些主要性质？（1）倒谱对信号x(n)的幅度谱取对数，再求傅里叶逆变换得到的序列，称为实倒谱(通常简称为倒谱)定义(实倒谱)：c特点：只保留幅度信息，丢失相位信息。（2）复倒谱对信号x(n)的z变换取复对数，再进行逆z变换(或傅里叶逆变换)得到的序列，保留幅度与相位信息。定义：x其中logX(（3）复倒谱有哪些主要性质卷积性质：若x(n)=h(n)*s(n)，则x(n)=能量集中性：最小相位信号的复倒谱集中在n≥0，最大相位信号的复倒谱集中在指数/冲击序列关系：若x(n)稳定性：复倒谱x(n)当|n|对称性：对实信号，复倒谐满足x(n)=x递推计算：可通过递推公式从x(n)直接计算复倒谱，适用于最小相位信号(无需求解复对数相位展开2-1设一个随机信号为，其中为常数，A是随机变量，符合均值方差为的高斯分布，求均值和自相关函数，判断该信号是否为宽平稳的。解：均值：E[x(n)]=0自相关函数：r平稳性判断：该信号不是宽平稳信号，因为自相关函数与2-2对于平稳随机信号和，如果，证明解：由定义推导：r因此：r2-3若随机信号向量满足如下的高斯分布： 证明： 证明期望：E证明协方差矩阵：E2-4设离散时间过程按下式产生：，其中是方差为的白噪声过程。另一个过程是和噪声之和，即，是方差为的白噪声，且与不相关。试求：（1）的功率谱；（2）的功率谱。解：系统函数：H(1)

x(n)

的功率谱：P(2)

z(n)

的功率谱：P2-5设给定一个线性移不变系统，其系统函数为，它受零均值的指数相关噪声的激励产生随机过程。已知的自相关序列为，试求（1）的功率谱；（2）的自相关序列；（3）和之间的互相关；（4）互功率谱，它是互相关的Z变换。解：（1）P首先求

Px​(z)：P因此：P化简得：P（2）rr（3）r具体计算：r最终r（4）P代入得：P2-6考虑随机过程，其中是均值为零、方差为的高斯白噪声，试针对如下情况，求的自相关序列和功率谱：（1）A是均值为0，方差为的高斯随机变量，和是常量；（2）是在区间上均匀分布的随机变量，A和是常量；（3）是在区间上均匀分布的随机变量，A和是常量。解：已知：x（1）自相关序列：rEr该信号非平稳，自相关函数依赖于时间（2）此时信号平稳。自相关序列：r功率谱：P（3）自相关序列：r=E因此：r功率谱：P2-7确定如下的自相关阵是否合法？若不合法，请说明原因。（1）（2）（3）（4）（5）解：(1)R(2)R(3)R(4)R(5)R原因：对角元2-8随机过程，其中、为常数，为均匀分布于之间的随机变量，即 （1）求随机过程的自相关函数；（2）判断是否是平稳过程。解：已知：X自相关函数R利用三角恒等式：cosα-β=ωR第一项与

Θ

无关：a第二项：E===因此：R令

τ=t2​−t1​：R(2)平稳性判断均值：=均值依赖于

t，不是常数。因此：不平稳（均值随时间变化）2-9已知非平稳随机过程的自相关函数，求其功率谱密度。解：由于自相关函数只依赖于t，不依赖于t′，该过程为非平稳过程。对于非平稳过程，功率谱密度定义为自相关函数关于τ=t′−t

的傅里叶变换（时变功率谱）：S代入

R(t,t+τ)=21​(t+cosω0​t)（与

τ

无关）：S-因此：S2-10某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生： （1）计算数学期望和自相关函数；（2）该随机过程是否平稳？解：已知：X数学期望自相关函数R=因为sint1​sint2​+cost1​cost2​=cos(t1​−t2​)。令τ=t2​−t1​，则t1​−t2​=−τ，cos(−τ)=cosτ：R平稳性判断mXt=3-1设随机过程xn=i=1Kaicosωin+φi+w(n)，其中，a解：对于单个余弦项，其自相关为E[由于φiR对RxS3-2已知x(n)满足AR(2)模型xn+a1xn-1+a2解：自相关函数满足Yule-Walker方程：R根据观测数据x(0),…,x(N-1)估计出Rx(0),Rxa3-3二阶AR(2)过程xnx其中，w(n)为均值为0方差为0.5的白噪声。（1）写出该随机过程的Yule-Walker方程；（2）求xn解：（1）Yule-Walker方程根据AR(2)模型的差分方程，可知a1=0,aRRR(2)+0⋅R(1)+0.78R(0)=0解得R(0)=RR（2）Var3-4设平稳随机过程xn是由零均值方差为1的白噪声w(n)激励系统函数为HS试求系统函数Hz解：设H(z)最小相位，σwS=有一极点处于单位圆外。为了获得最小相位，需把单位圆外的极点用其倒数代替，这样S设z=eSxS取全部极零点在单位圆内H(z)，则H(z)=3-5已知平稳随机信号xn的自相关函数值R0=1,R1=0.5,R2=0.5,R3=0.25。现用3阶全极点模型（AR(3)模型）估计它的功率谱，设模型参数b0解：初始化，σ0p=1：aσp=2：aaσp=3：aaa由于b(0)≠1，则AR(3)系统差分方程为k=03k=0当m=0，R(0)+代入可得b(0)2σw2=213-6已知某自回归过程的5个观测值为{1,-1,0,-1,1}。（1）利用L-D算法设计一个3阶AR模型，确定模型的参数；（2）利用Burg算法求一阶和二阶反射系数，并画出二阶预测误差滤波器的格型结构图；（3）求该自回归过程的功率谱估计。解：（1）自相关函数R=利用L-D算法可以递推求出3阶AR模型的参数为aAR(3)模型为x(n)=-0.5（2）初始条件：f0n=b0k1阶前、后项预测误差：fb当p=2时k二阶预测误差滤波器的格型结构图为（3）AR(3)模型的功率谱：S(ω)=代入L-D结果，得S(ω)=3-7已知序列xn={4.684,7.247,8.428,8.650,8.640,8.392,7.321}由模型xn=1.7xn-1-0.72xn-2解：xn有非零均值，均值μ≈(4.684+7.247+8.428+8.650+8.640+8.392+7.321)/7≈7.623，对xy初始化fσ当p=1时kσ前后向误差fb代入，可得fb当p=2时kaa2σ与真实σw注意，这里估计的a1,a3-8一个自回归过程的5个观测值为x（1）用L-D算法设计一个二阶线性预测器，计算各阶线性预测系数、预测误差功率，以及x0和x4的预测值x0（2）用Burg算法计算一阶和二阶反射系数、预测误差功率，以及预测值x0和x4（3）对用上面两种算法求得的预测误差功率、预测值进行比较，看看哪种算法预测更准确些。解：（1）AR模型假设零均值过程，否则Yule-Walker方程不成立。因此，首先对xn去均值，得到去均值后yR可得RRR利用L-D算法，当p=1时σ当p=2时ka对y(n)，二阶y对于y(0)，需要y(-1),y(-2)，假设为0，所以y(0)=0，对于y(4)，预测值y4=-横向结构预测误差滤波器e（2）Burg算法对去均值后数据y(n)，初始f0kkσσyxx二阶格型结构预测误差滤波器的框图（3）在预测精度上，Burg预测x(4)更接近真实值5，误差更小。在预测误差功率上，Burg的σ22远小于L-D，说明模型拟合更好。3-9随机过程xnx其中，a和ω0是常数且a>0，φ是相互独立并在[0,2π]服从均匀分布的随机相位，w(n)为均值为0方差为σw2R试用Pisarenko谐波分解法确定正弦波的频率ω0、幅度a和白噪声的方差σ解：已知Rx(0)=3,RxR因此RRR求解可得ω3-10设随机信号x(n)是由加性白噪声和两个复正弦信号组成，其三阶自相关矩阵R（1）确定噪声的平均功率；（2）求信号子空间和噪声子空间；（3）判断信号子空间和噪声子空间是否正交；（4）用Pisarenko谐波分解法估计信号频率；（5）用MUSIC方法估计信号频率。解：（1）Rσ（2）信号子空间ES=span{v1噪声子空间EN=span{（3）因为v1Tv3=（4）f(z)=令f(z)=0，可得z=±j，因此ω1=（5）P令-12-14-1维纳滤波器的输出是否一定是“更清晰”的信号？为什么？‌‌解析：‌不一定‌。维纳滤波器输出的是‌在均方误差意义下最优的线性估计‌，但并不保证“视觉上更清晰”或“细节更丰富”。‌原因包括‌：若噪声估计偏高，会过度平滑，丢失细节（如边缘模糊）；若信号功率谱估计不准，可能增强噪声而非抑制；它是线性滤波，无法恢复非线性失真或超分辨信息。因此，维纳滤波器是“统计最优”，不一定是“感知最优”。‌4-2请说明维纳滤波器与低通滤波器在去噪应用中的本质区别。‌‌解析：‌对比项维纳滤波器低通滤波器设计依据基于信号与噪声的‌功率谱统计特性‌基于‌人为设定的截止频率‌自适应性自适应频段增益（信号强则通过，噪声强则抑制）固定增益，所有高频一律衰减信息利用利用信号与噪声的先验统计信息仅利用频率分布的直观假设效果在已知统计特性时更优，保留更多有效信号简单但易损失有用高频成分‌4-3为什么维纳滤波器被称为“最优线性滤波器”？这里的“最优”指什么？‌‌解析：‌维纳滤波器被称为“最优线性滤波器”，是因为在所有‌线性时不变系统‌中，它能‌最小化输出信号与原始理想信号之间的均方误差（MSE）‌。这里的“最优”是指：（1）在限定类别内最优‌：仅限于线性系统；‌（2）在统计意义下最优‌：基于最小均方误差准则；‌（3）有解析解‌：可通过傅里叶变换直接求得，无需迭代。它不是全局最优（非线性滤波器可能更好），但在线性框架下是理论最优解。‌4-4卡尔曼滤波器的核心思想是什么？‌‌解析‌：卡尔曼滤波器的核心思想是‌融合预测与观测‌，通过系统模型预测状态，并利用观测数据修正预测，从而在不确定性中找到最优估计。它基于线性高斯系统假设，通过预测步和更新步交替进行，实现状态估计的最优性。‌4-5卡尔曼增益K的作用是什么？‌‌解析‌：卡尔曼增益K的作用是‌决定预测值和测量值在更新中的权重‌。4-6已知观测信号，其中为为AR(1)过程：，为白噪声，方差，为白噪声，方差。求一阶维纳滤波器系数。解析：AR(1)过程自相关：观测信号自相关：维纳-霍夫方程：即：解方程组（用矩阵求逆或代入）：第一式乘1.36，第二式乘0.6：→→相减（第一式减第二式）：→代入第一式：→→最终结果：4-7已知离散时间系统中，期望信号d(n)与输入信号x(n)满足以下关系：输入信号x(n)=s(n)+v(n)，其中s(n)为有用信号，v(n)为加性白噪声；有用信号s(n)的自相关函数rss噪声v(n)与s(n采用长度为N=2的FIR维纳滤波器，即滤波器输出y(n)=w0试求：输入信号x(n)的自相关函数rxx期望信号d(n)与输入信号x(n)的互相关函数rdx最优滤波器系数w0*和解析：维纳滤波器的最优系数满足维纳-霍夫方程：Rxx其中：Rxxw*rStep1：计算输入信号的自相关函数r由于x(n)=s(n)+v(n)，且v(n)分别计算k=0和k=1的值：当k=0时：rss(0)=0.8故r当k=1时：rss(1)=故rxx（注：自相关函数为偶函数，rxxStep2：计算互相关函数r题目中期望信号d(n)本质是“恢复有用信号s(n)”，因此d(n)=s(n)（默认维纳滤波的目标是最小化E[互相关函数定义为rdx(kr由于v(n)与srdx分别计算k=0和k=1的值：rdx0=rStep3：构建维纳-霍夫方程并求解最优系数对于N=2的FIR滤波器，自相关矩阵RxxR互相关向量维纳-霍夫方程为：1.2将方程展开为线性方程组：1.2w0.8w求解该方程组：式1×1.2：1.44w式2×0.8：0.64w式3-式4：0.8将w0*=0.7最终结果:输入自相关函数：rxx互相关函数：rdx最优滤波器系数：w4-8假设一个目标沿直线匀速运动，仅通过传感器测量其位置（无速度直接观测）。系统模型如下：状态向量：其中为位置，为速度。状态转移矩阵（采样周期秒）：观测矩阵：过程噪声协方差：观测噪声方差：初始状态估计：实际观测序列（位置测量值）：请计算第1步（k=1）的预测与更新结果，即和。解析：Step1:预测(k=1)先计算中间乘积：再乘：加Q:Step2:更新(k=1)计算卡尔曼增益：先算:加R：计算状态更新：计算协方差更新：最终答案(k=1):4-9假设无人机使用GPS（测位置）和IMU（测速度）进行融合定位。状态向量：系统模型（采样周期T=0.1s）：观测模型（同时观测位置和速度）：初始估计：真实观测值(k=1)：请计算第1步的卡尔曼增益和更新后的状态估计。解析：Step1:预测先算：再乘：加Q：Step2:更新由于H=I，卡尔曼增益简化为：先算+:求逆（矩阵公式）：设行列式：逆矩阵：]计算逐项计算：第一行第一列：第一行第二列：第二行第一列：第二行第二列：所以：更新状态：最终答案：4-10通过MATLAB的wiener2函数，实现维纳滤波器对添加了高斯噪声的经典图像的复原。解析：MATLAB代码示例‌：%读取图像并添加高斯噪声original_img=imread('cameraman.tif');noisy_img=imnoise(original_img,'gaussian',0,0.01);%使用wiener2进行维纳滤波（局部自适应）filtered_img=wiener2(noisy_img,[55]);%[55]为邻域窗口大小%显示结果对比figure;subplot(1,3,1),imshow(original_img),title('原图');subplot(1,3,2),imshow(noisy_img),title('加噪图像');subplot(1,3,3),imshow(filtered_img),title('维纳滤波结果');演示结果如下：6.MATLAB中实现卡尔曼滤波的代码通常包括状态预测、协方差预测、卡尔曼增益计算、状态更新和协方差更新等步骤。试写一个简单的MATLAB代码示例，演示如何实现卡尔曼滤波。解析：MATLAB代码示例：%初始化参数A=1;%状态转移矩阵B=0;%控制输入