1.5.1全称量词与存在量词课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

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课时1全称量词与存在量词第一章

集合与常用逻辑用语理解全称量词与存在量词的意义，熟悉常见的全称量词和存在量词了解含有量词的命题的含义，学习目标并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.创设情境

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有的不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”组内讨论：（1）文中理发师说的“我讲给所有的不给自己刮脸的人刮脸”，对“所有的”这一词语，你能想到其他词语代替吗？（2）上述词语都有什么含义？答：（1）“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“凡是”等.（2）表示某个范围内的整体或全部.问题探究

思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?（1）x＞3；（2）2x+1是整数；（3）对所有的x∈R,x＞3；

（4）对任意一个x∈Z,2x+1是整数.关系：(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定;是是不是不是(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.知识点1全称量词与全称量词命题知识梳理

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.概念生成

表示：用符号“∀”表示

含有全称量词的命题，叫全称量词命题.常见的全称量词还有“一切”、“每一个”、“任给”“全部的”、“凡是”、“只要是”等.例如，命题“对任意的n∈Z，2n+1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题．

通常，将含有变量x的语句用p(x)

，q(x)

，r(x)

，…表示,变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“对任意的n∈Z，2n+1是奇数”可记为“∀n∈Z，2n+1是奇数”∀x∈M，p(x)

全称量词命题符号记法：判断全称量词命题真假的思维过程全称量词命题经证明为真或与性质、定理等真命题相符可举出反例真命题假命题例1

判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）∀x∈R,|x|+1≥1.（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．（2）∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1，所以，全称量词命题“∀x∈R,|x|+1≥1”是真命题；解：（1）2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题；例题分析（3）

是无理数，但

=2为有理数，所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．总结归纳判断全称量词命题真假的方法：如果对集合M中每一个x,p(x)都成立，那么“∀x∈M,p(x)”为真命题；如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)不成立，那么“∀x∈M,p(x)”为假命题.1.判断下列全称量词命题的真假：①任何实数都有算术平方根；练一练②∀x∈{y|y是无理数},x3是无理数.-4是实数，但是-4没有算术平方根，所以命题为假；

是无理数，但

是有理数，所以命题为假.2.用符号“∀”表示下列全称量词命题:(1)自然数的平方大于或等于零;(2)所有的二次函数的图象的开口都向上.

解:(1)∀n∈N，n2≥0.(2)∀二次函数，它的图象的开口都向上.

思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?（1）2x+1=3；（2）x能被2和3整除；（3）存在一个x∈R,使2x+1=3；

（4）至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.知识点2存在量词与存在量词命题关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;是是不是不是(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.问题探究

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.概念生成

表示：用符号“∃”表示

含有存在量词的命题，叫存在量词命题.常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”“有的”、“对部分”等.例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题．知识梳理

存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立

”可用符号简记为“至少有一个x∈Z，x能被2和3整除”可记为“∃x∈Z，x能被2和3整除”∃

x∈M，p(x)

存在量词命题符号记法：判断存在量词命题真假的思维过程存在量词命题

真命题假命题例2

判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形．（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题.解：（1）由于∆=22-4×3=﹣8＜0,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在；所以,存在量词命题(1)是假命题.例题分析（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．判断存在量词命题真假的方法：如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)成立，那么“∃x∈M,p(x)”为真命题；如果对集合M中每一个x,p(x)都不成立，那么“∃x∈M,p(x)”为假命题.总结归纳1.判断下列存在量词命题的真假：①存在一个四边形的内角和是180°；练一练②存在一个无理数x,x2是有理数.所有四边形内角和为360°，所以命题为假；2.用符号“∃”表示下列存在量词命题:(1)存在一个实数对(x，y)，使2x+3y+3<0成立;(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除;(3)某个四边形不是平行四边形.解:

(1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x+3y+3<0.(2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形.

全称量词命题与存在量词命题的区别全称量词命题存在量词命题量词

量词符号表示

命题含有

的命题叫全称量词命题含有

的命题叫存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”简记为：

“存在M中的元素x，p(x)成立”简记为：

所有的、任意一个、一切、每一个、任给存在一个、至少有一个、有些、有的、有一个

全称量词

存在量词

归纳总结课堂检测

2.设命题p:∀x∈{x|-2≤x≤-1}，x2-a≥0;命题q:∃x∈R，使x2+2ax-(a-2)=0.(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围;(2)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围.解(1)令y=x2-a，x∈{x|-2≤x≤-1}，根据题意，当-2≤x≤-1时，1≤x2≤4，

∴a≤1.

∴实数a的取值范围为{a|a≤1}.2.设命题p:∀x∈{x|-2≤x≤-1}，x2-a≥0;命题q:∃x∈R，使x2+2ax-(a-2)=0.(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围;(2)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围.(2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数a满足a≤1.当命题q为真命题，即方程有实数根时，则有Δ=4a2-4(2-a)≥0，解得a≤-2或