2026初升高数学暑假衔接2套（人教版）第06讲 等式性质与不等式性质（学生版）

第06讲等式性质与不等式性质

1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；

2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。

一、等式的基本性质

性质文字表述性质内容注意

1对称性abba可逆

2传递性ab,bcac同向

3可加、减性abacbc可逆

4可乘性abacbc同向

ab

5可除性ab,c0同向

cc

二、不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>bb<a可逆

2传递性a>b，b⇔>ca>c同向

3可加性a>ba＋c⇒>b＋c可逆

a>b，⇔c>0ac>bc

4可乘性c的符号

a>b，c<0⇒ac<bc

5同向可加性a>b，c>da⇒＋c>b＋d同向

6正数同向可乘性a>b>0，c>⇒d>0ac>bd同向

7正数乘方性a>b>0an>bn(n∈⇒N，n≥2)同正

三、比较两个实数（或代数式）大小⇒

1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．

①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．

②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．

2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．

【注意】

（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式

大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出

其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小

的式子，要注意营养函数的有关性质。

考点一：利用不等式的性质判断命题的真假

例1．设a、b、c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）

1122ba

A．B．acbcC．D．ab

abab

【变式训练】已知abcd0，则下列结论不正确的是（）

abac

A．acbdB．acbdC．D．

cddb

考点二：比较两个数（式）的大小

例2．已知c＞1，且x＝c1－c，y＝c－c1，则x，y之间的大小关系是（）

A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．x，y的关系随c而定

【变式训练】比较大小：

（1）a2b2和2(ab1)；

b2a2

（2）和ab，其中a0,b0．

ab

考点三：求代数式的取值范围

例3．已知1x3，3y1，则x3y的取值范围是（）

A．(0,12)B．(2,10)C．(2,12)D．(0,10)

【变式训练】已知1ab4，1ab2，则3a2b的取值范围是______．

考点四：不等式的证明

例4．用综合法证明:如果ab0，那么ab

aa

【变式训练】（1）已知abc，且abc0，证明：．

acbc

（2）证明：aa2a1a3．(a3)

1．下列命题为真命题的是（）

A．若ab0，则ac2bc2B．若ab0，则a2abb2

cc

C．若ab，cd，则acbdD．若abc0，则

ab

2．已知a0，b0，设ma2b2,n2ab，则（）

A．mnB．mnC．mnD．mn

3．已知0ab2，2ab4，则3ab的范围是（）

A．4,8B．6,10C．4,10D．6,12

4．（多选）已知a,b,c,dR，则下列结论正确的为（）

A．若ab,cd，则acbdB．若ba0，c0，则(ab)c0

C．若ac2bc2，则abD．若ab,cd，则adbc

5．（多选）对于实数a,b,c，下列说法正确的是（）

1122

A．若ab0，则B．若acbc，则ab

ab

ab

C．若a0b，则aba2D．若cab，

cacb

6．（多选）若ab0，m0，则下列不等式成立的是（）

11ama

A．a2b2B．a3b3ab2a2bC．abD．

abbmb

7．（多选）已知1a2，3b5，则（）

A．ab的取值范围为4,7B．ba的取值范围为2,3

a12

C．ab的取值范围为3,10D．的取值范围为,

b35

a2b2ab

8．已知ab0，试比较与的大小.

a2b2ab

9．（1）已知x，yR，求证：x22y22xy2y1.

（2）已知2a3,1b2，求代数式ab和2a3b的取值范围．

cc

10．（1）已知ab0，c0，求证：．

ab

（2）比较3x24x3与4x25x5的大小．

1．下列说法中，错误的是（）

abab

A．若ab0,cd0，则一定有B．若，则ab

cdc2c2

ama

C．若ba0,m0，则D．若ab,cd，则acbd

bmb

2．已知abc0，则（）

1133

A．2abcB．abcbacC．D．acbc

acbc

3．下列命题中，正确的是（）

A．若ab，cd，则acbdB．若ab，则acbc

ab

C．若ab0，cd0，则D．若ab，则a2b2

cd

4．（多选）下列命题为真命题的是（）

A．若ab,cd，则acbdB．若ab,cd，则acbd

cc

C．若ab，则ac2bc2D．若ab0,c0,则

ab

5．（多选）已知6a60，15b18，则下列正确的有（）

1a7ab

A．4B．21a2b78C．12ab45D．5

3b6b

6．对于实数a、b、c，有下列命题：

①若a＞b，则ac2bc2；