第03讲空间向量基本定理(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版+解析)

第03讲空间向量基本定理【人教A版2019】·模块一空间向量基本定理·模块二空间向量的正交分解·模块三用空间向量基本定理解决相关的几何问题·模块四课后作业模块一模块一空间向量基本定理1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．【考点1空间向量基底的判断】【例1.1】（2023·全国·高三对口高考）已知a,b,A．a,a−2C．2a+2b【例1.2】（2023·高二校考课时练习）已知{a,b,c}是空间的一组基底，则可以与向量A．a B．b C．a+2b 【变式1.1】（2023秋·广东江门·高二统考期末）若a,b,A．a+c，a，a−c B．cC．a+b，a−b，c D．a【变式1.2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，BC=5，则空间的一个单位正交基底可以为（

A．AB,12C．AB,12【考点2用空间基底表示向量】【例2.1】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设A．14a+C．−14a【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CMCB=13，PN=ND，设AB=a，AD=b，A．a+13C．a−13【变式2.1】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA

A．QP=310C．QP=310【变式2.2】（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=14A．CP=34C．CP=14【考点3由空间向量基本定理求参数】【例3.1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）在三棱锥P−ABC中，M是平面ABC上一点，且3PM=2PA+tPBA．1 B．3 C．17 D．【例3.2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA，OB，OC表示向量，设OG=xOA+yOB+zOC，则A．x=13，y=13，z=1C．x=13，y=16，z=13【变式3.1】（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1C1CA．1 B．56 C．23 【变式3.2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA，A．2 B．3 C．4 D．5模块二模块二空间向量的正交分解1．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【考点1正交分解】【例1.1】（2023春·高二课时练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【例1.2】（2023春·高二课时练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,−12,3 B．−3【变式1.1】（2022·高二课时练习）已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知向量a→，b→，c→是空间的一组单位正交基底，向量a→+b→，a→−b→，c→是空间的另一组基底，若向量p→在基底a→，b→，c→下的坐标为（2，1，3），p在基底a→+b→，模块三模块三用空间向量基本定理解决相关的几何问题1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【考点1利用空间向量基本定理解决几何问题】【例1.1】（2023春·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=(1)判断MA,(2)判断点M是否在平面ABC内.【例1.2】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a，AC=(1)用AB=a，AC=b，AD=(2)求EF与GH的夹角.【变式1.1】（2023·高一单元测试）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B,B(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【变式1.2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a，CB=b，CC(1)用a，b，c表示向量A1(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥模块四模块四课后作业1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）若a,b,A．a,a+C．a+b,2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知a,b,c是空间的一个基底，则下列说法A．若xa+yB．a,b,C．一定存在x，y，使得aD．a+3．（2023春·高二课时练习）若a,b,A．a+c,C．a,a+4．（2023秋·河北秦皇岛·高二校考期末）已知向量a→,b→,c→是空间的一个单位正交基底，向量a→+b→A．12,52,1 B．525．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）O、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（

）A．OA、OB、OC共线 B．OA、OB共线C．OB、OC共线 D．O、A、B、C四点共面6．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且NENM=13，用向量OA,

A．OE=16C．OE=167．（2023春·安徽池州·高二联考阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，A．−34 B．34 C．48．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+yAD+zA．32 B．1 C．529．（2023·高二单元测试）如图，平行六面体ABCD−A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3A．57 B．65 C．67 D．1010．（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD是平行四边形，点E在平面ACCA．V28 B．V21 C．3V2811．（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OA12．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，D为BC的中点，设OA=a，OB=b，OC=c，试用试用基底

13．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．(1)OQ=(2)PA=x14．（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3是空间的一组基，且OP（1）OA,OB,（2）判断P，A，B，C四点是否共面．15．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求DB(2)求向量DB1与AB第03讲空间向量基本定理【人教A版2019】·模块一空间向量基本定理·模块二空间向量的正交分解·模块三用空间向量基本定理解决相关的几何问题·模块四课后作业模块一模块一空间向量基本定理1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．【考点1空间向量基底的判断】【例1.1】（2023·全国·高三对口高考）已知a,b,A．a,a−2C．2a+2b【解题思路】利用基底的性质进行求解.【解答过程】因为a−2b=3因为a+因为2a+2b与a因为a+c+故选：B.【例1.2】（2023·高二校考课时练习）已知{a,b,c}是空间的一组基底，则可以与向量A．a B．b C．a+2b 【解题思路】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可.【解答过程】∵p=a+b，q=∵a+2b=32∵{a,b,c∴a+2c与p,q不共面，故故选：D.【变式1.1】（2023秋·广东江门·高二统考期末）若a,b,A．a+c，a，a−c B．cC．a+b，a−b，c D．a【解题思路】根据基底的性质，结合共面向量的性质逐一判断即可.【解答过程】假设a+c，a，a−c是共面向量，则存在x,y使a=x假设c，c+b，c−b是共面向量，则存在x,y使c=x假设a+b，a−b，c是共面向量，则存在x,y使因为a,假设a+b−c，a+b+c，所以有1=−x+yx+y=0故选：C.【变式1.2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，BC=5，则空间的一个单位正交基底可以为（

A．AB,12C．AB,12【解题思路】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【解答过程】因为SA⊥平面ABC，AB、AC都在面ABC内，所以SA⊥AB，SA⊥AC.因为AB⊥AC，AB=1，BC=5，所以AC=2，又SA所以空间的一个单位正交基底可以为AB,故选：A.【考点2用空间基底表示向量】【例2.1】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设A．14a+C．−14a【解题思路】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【解答过程】

如图所示，CM=故选：C.【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CMCB=13，PN=ND，设AB=a，AD=b，A．a+13C．a−13【解题思路】由图形可得MN=MC+CD+DN，根据比例关系可得【解答过程】MN即MN故选：D．【变式2.1】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA

A．QP=310C．QP=310【解题思路】利用空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】因为P是CA所以AP=又因为点Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故选：C.【变式2.2】（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=14A．CP=34C．CP=14【解题思路】根据向量加减法和数乘运算，结合图形关系直接求解即可.【解答过程】∵MN=12ON∴CP=CA故选：A.【考点3由空间向量基本定理求参数】【例3.1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）在三棱锥P−ABC中，M是平面ABC上一点，且3PM=2PA+tPBA．1 B．3 C．17 D．【解题思路】根据空间向量的基本定理PM=27【解答过程】因为3PM所以7PM=2PA因为M是平面ABC上一点，所以27+t故选：A.【例3.2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA，OB，OC表示向量，设OG=xOA+yOB+zOC，则A．x=13，y=13，z=1C．x=13，y=16，z=13【解题思路】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．【解答过程】∵M、N分别是对边OA、BC∴OM=1∴OG=OM=1=1因此x=16故选：D.【变式3.1】（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1C1CA．1 B．56 C．23 【解题思路】由题意AB,【解答过程】由题意，知AB，BC，BB1不共面，四边形BB∴AB∵AC1=AB∴x=2y=3z=1，∴x=1，y=12，∴x+y+z=11故选：D.【变式3.2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA，A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】以PA,PB,PC为空间一组基底，结合D,【解答过程】连接AG并延长，交BC于点H，以PA,由于G是△ABC的重心，点M在PG上，且PM所以PM==1连接DM，因为D,所以存在实数x,y，使得即PM−PM=1−由①②以及空间向量的基本定理可知：1−x41−所以1m故选：C.模块二模块二空间向量的正交分解1．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【考点1正交分解】【例1.1】（2023春·高二课时练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【解题思路】根据向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4得到p=12【解答过程】因为向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4，所以p=8a+6故选：C.【例1.2】（2023春·高二课时练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,−12,3 B．−3【解题思路】设p=xa+b【解答过程】解：设p=x=x+y所以x+y=1x−y=2z=3，解得所以向量p在基底a+b,故选：A.【变式1.1】（2022·高二课时练习）已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2【解题思路】设p=【解答过程】设p=即有a+2因为a,所以有x+y=1x−y=2所以p=故答案为：32【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知向量a→，b→，c→是空间的一组单位正交基底，向量a→+b→，a→−b→，c→是空间的另一组基底，若向量p→在基底a→，b→，c→下的坐标为（2，1，3），p在基底a→+b→，【解题思路】化简得到p=【解答过程】根据题意知：p=2a+故x−y=1,z=3；故答案为：1；3.模块三模块三用空间向量基本定理解决相关的几何问题1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【考点1利用空间向量基本定理解决几何问题】【例1.1】（2023春·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=(1)判断MA,(2)判断点M是否在平面ABC内.【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可.【解答过程】（1）由题知OA+∴OA−即MA=∴MA,（2）由（1）知，MA,MB,∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.【例1.2】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a，AC=(1)用AB=a，AC=b，AD=(2)求EF与GH的夹角.【解题思路】（1）根据给定条件，利用空间向量基底表示EF，再利用向量数量积的运算律求出EF的长作答.（2）用空间向量基底表示GH，再求出EF与GH的数量积即可作答.【解答过程】（1）因E,F分别为棱BC,AD的中点，而AB=a，AC=所以EF=因正四面体ABCD的棱长为1，则a⋅所以|EF（2）依题意，GH=因正四面体ABCD的棱长为1，有c⋅因此EF⋅所以EF⊥GH，即EF与GH的夹角为【变式1.1】（2023·高一单元测试）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B,B(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【解答过程】（1）解：MN==−=1∴MN=（2）解：∵AB=AC=AA∵∠BAC=90°,∴a∴a∴|MN|2∴|MN即MN的长为53【变式1.2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a，CB=b，CC(1)用a，b，c表示向量A1(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥【解题思路】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；（2）设C1M=λC1B1，(λ∈[0,1])，用a，b，c【解答过程】（1）解：因为N是AB中点，所以AN=所以A=−C（2）解：假设存在点M，使AM⊥A1N，设C显然λC1B因为AM⊥A1N即(c∴−∵CA=CB=CC1=1，a∴即12解得λ=23，所以当C1模块四模块四课后作业1．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）若a,b,A．a,a+C．a+b,【解题思路】判断所给三个向量是否共面，即可得解.【解答过程】对A选项，a→对B选项，若a+b,a−对C选项，a+对D选项，若向量c,a+故向量a+故选：D.2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知a,b,c是空间的一个基底，则下列说法A．若xa+yB．a,b,C．一定存在x，y，使得aD．a+【解题思路】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．【解答过程】对于A，若x,y,z不全为0，则a,对于B，a,b,c是空间的一个基底,则对于C，a,b,c不共面，则不存在实数对于D，若a+b,b−故

a+故选∶C．3．（2023春·高二课时练习）若a,b,A．a+c,C．a,a+【解题思路】根据平面向量基本定理结合条件逐项分析即得．【解答过程】由题可知a,对于A选项，因为a=12a+c+对于B选项，因为2a+b对于C选项，假设存在实数x,y使得c=x则a,b,c共面，与对于D选项，a+b+故选：C．4．（2023秋·河北秦皇岛·高二校考期末）已知向量a→,b→,c→是空间的一个单位正交基底，向量a→+b→A．12,52,1 B．52【解题思路】根据正交分解的定义即可得解．【解答过程】设向量p→在基底a→+则p→所以x+y=3,x−y=2,z=1,故p→在基底a→+故选：C.5．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）O、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（

）A．OA、OB、OC共线 B．OA、OB共线C．OB、OC共线 D．O、A、B、C四点共面【解题思路】根据向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【解答过程】因为O、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，所以OA、OB、OC共面，所以O、A、B、C四点共面，故选：D.6．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且NENM=13，用向量OA,

A．OE=16C．OE=16【解题思路】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【解答过程】因为NENM=1所以OM−ON=3(又OM=所以OE=故选：D.7．（2023春·安徽池州·高二联考阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，A．−34 B．34 C．4【解题思路】根据题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x【解答过程】由题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x即2a则2a则x=2，y=−32，λy−x=0，解得故选：D.8．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+yAD+zA．32 B．1 C．52【解题思路】运用向量的线性运用表示向量AE=12【解答过程】因为AE=所以2AE=AB+AD所以x+y+z=1故选：A.9．（2023·高二单元测试）如图，平行六面体ABCD−A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3A．57 B．65 C．67 D．10【解题思路】利用空间向量基本定理表达出AC′=AB+【解答过程】AC′==16+9+9+2×4×3×1故AC故选：C.10．（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD是平行四边形，点E在平面ACCA．V28 B．V21 C．3V28【解题思路】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案.【解答过程】先找两三棱锥的公共部分，由AE=14AC+在CC1上取点E，使得CE=3