第03讲6.4.3余弦定理、正弦定理(原卷版+解析)

第03讲6.4.3余弦定理、正弦定理题型一：借助正、余弦定理解三角形典型例题例题1．（2024上·重庆长寿·高三统考期末）在中，，且的面积为，则（

）A． B． C．2 D．3例题2．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）在中，若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023上·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形：(1)已知，，，求；(2)已知，，，求．精练核心考点1．（2024上·北京·高二统考学业考试）在中，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高三专题练习）在中，，，分别为内角，，的对边，的面积是30，．若，则．3．（2024上·北京顺义·高三统考期末）在中，，，则；．题型二：判断三角形的形状典型例题例题1．（2023下·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形例题2．（2023上·辽宁本溪·高二校考期中）在中，若，则是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形例题3．（2024上·江西赣州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．精练核心考点1．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考开学考试）在中，内角的对边分别为，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形2．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为三角形.3．（2024·上海·高一假期作业）（1）在中，若,判断的形状；（2）在中，若，判断的形状；（3）在中，若，判断的形状.题型三：三角形解的个数问题典型例题例题1．（多选）（2021下·湖北·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例题2．（2024下·上海·高一假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（填序号）；①，，，有两解；②，，，有一解；③，，，无解；④，，，有一解．例题3．（2023下·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)已知，且角有两解，求的范围.精练核心考点1．（多选）（2023下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列条件的三角形，有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是.3．（2019下·河南驻马店·高一统考期末）在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是．题型四：三角形面积问题典型例题例题1．（2024·福建厦门·统考一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．例题2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．例题3．（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．(1)求角A的大小；(2)若成等差数列，，求的面积．精练核心考点1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是.2．（2024上·陕西西安·高三统考期末）在中，内角的对边分别是，且.(1)求的值；(2)若的周长为18，求的面积.3．（2024上·上海普陀·高三校考期末）在中，已知分别为的对边，且，，(1)求满足的表达式(2)如果，求出此时面积的最大值.题型五：三角形周长问题典型例题例题1．（2024上·安徽合肥·高三校联考期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B；(2)若，的面积为，求的周长．例题2．（2024·山西临汾·统考一模）在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.例题3．（2024上·河北张家口·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)若，，求的面积；(2)已知为边的中线，且，求的最大值．精练核心考点1．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长.2．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知分别为的内角的对边，且.(1)求；(2)若，的面积为2，求.3．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若点是线段上的一点，且的面积为，求的周长.题型六：距离测量问题典型例题例题1．（2024上·浙江衢州·高一统考期末）根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（

）

A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？

精练核心考点1．（2024·吉林·统考二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·高一假期作业）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（

）（参考数据：，）

A． B． C． D．题型七：高度测量问题典型例题例题1．（2024·贵州·校联考模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．例题2．（2024下·高一单元测试）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝米．精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（

）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米2．（2024·全国·高一假期作业）如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30m至D处时测得楼顶A的仰角为30°，则大厦AB的高度是m．题型八：角度测量问题典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高一假期作业）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.(1)求B，C两点间的距离；(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？2．（2024·全国·高一假期作业）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角.第03讲6.4.3余弦定理、正弦定理题型一：借助正、余弦定理解三角形典型例题例题1．（2024上·重庆长寿·高三统考期末）在中，，且的面积为，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】利用面积公式求出，再由余弦定理可得答案.【详解】因为，所以，解得，由余弦定理可得，所以.故选：B.例题2．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函数之间的基本关系可得，再由正弦定理可求得.【详解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故选：D例题3．（2023上·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形：(1)已知，，，求；(2)已知，，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；（2）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值.【详解】（1）解：在中，，，，由余弦定理可得.（2）解：在中，，，，由余弦定理可得，因为，故.精练核心考点1．（2024上·北京·高二统考学业考试）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在中，，由余弦定理得,而A为三角形内角，故，故选：D2．（2024·全国·高三专题练习）在中，，，分别为内角，，的对边，的面积是30，．若，则．【答案】【分析】根据题意，利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解.【详解】由，可得，又由，解得，由余弦定理，得，所以．故答案为：.3．（2024上·北京顺义·高三统考期末）在中，，，则；．【答案】【分析】由正切函数定义可求得，可得，再由正弦定理可得.【详解】由，，可得；所以可得，所以，即；易知，，由正弦定理可得；故答案为：，题型二：判断三角形的形状典型例题例题1．（2023下·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根据正弦定理和余弦定理讲原式角化边，化简整理即可.【详解】根据正弦定理和余弦定理可得：，整理可得，即，当时，为等腰三角形，当时为直角三角形.故选：D例题2．（2023上·辽宁本溪·高二校考期中）在中，若，则是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】由正弦边角关系得，设（），应用余弦定理确定的符号，结合为最大内角，即可得答案.【详解】因为，由正弦定理得，设（），则，，由余弦定理得，则为锐角，又为最大内角，故为锐角三角形.故选：C例题3．（2024上·江西赣州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．【答案】(1)证明见解析；(2)直角三角形.【分析】（1）利用正弦定理计算即可；（2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可.【详解】（1）因为，由正弦定理及条件得，，整理可得，，又，于是，即，因为，所以，所以或（舍去），所以；（2）根据等面积法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.精练核心考点1．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考开学考试）在中，内角的对边分别为，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】D【分析】根据余弦定理确定正确答案.【详解】依题意，，则，所以，所以为钝角，所以三角形是钝角三角形.故选：D2．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为三角形.【答案】直角【分析】首先由余弦定理得，再由同角三角函数的基本关系结合正弦定理可得，则三角形的形状可判断.【详解】∵，∴，∵，∴该三角形为直角三角形.故答案为：直角.3．（2024·上海·高一假期作业）（1）在中，若,判断的形状；（2）在中，若，判断的形状；（3）在中，若，判断的形状.【答案】（1）等腰三角形或直角三角形；（2）等边三角形；（3）等腰三角形.【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状；（2）利用余弦定理进行判断即可；（3）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状.【详解】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为，整理，得，所以或，当时，，为直角三角形；当时，，为直角三角形；故三角形为等腰三角形或直角三角形.（2）因为，由余弦定理，得，即，所以.又，所以为等边三角形；（3）由条件得,即,由正、余弦定理，得，所以.故为等腰三角形.题型三：三角形解的个数问题典型例题例题1．（多选）（2021下·湖北·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】用与点A到边BC的距离及的长比较大小可判断A，B，C；求三角形各边及角可判断D.【详解】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；选项D，根据已知可解出，，∴三角形有唯一解.故选：BD.例题2．（2024下·上海·高一假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（填序号）；①，，，有两解；②，，，有一解；③，，，无解；④，，，有一解．【答案】④【分析】对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得，结合可得三角形的解有一个，由此可得答案.【详解】对①：由正弦定理，所以，又因为，所以有一解，故①错误；对②：正弦定理，所以，又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误；对③：由正弦定理，所以，又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误；对于④，由正弦定理，所以，又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确，故答案为：④.例题3．（2023下·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)已知，且角有两解，求的范围.【答案】(1);(2).【分析】（1）由正弦定理可得，利用两角和差公式可得，即可得解；（2）由及正弦定理可得，因为角的解有两个，所以角的解也有两个，从而有，，求解即可.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以；（2）解：将代入正弦定理，得，所以，因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，即，又，所以，解得.所以的范围为.精练核心考点1．（多选）（2023下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列条件的三角形，有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABC【分析】根据已知条件由正弦定理逐个分析判断即可【详解】对于A，若，，，则由正弦定理得，，得，由勾股定理可得，所以三角形有唯一解，所以A正确，对于B，若，，，则由正弦定理得，，得，所以或，当时，，所以舍去，所以，所以三角形有唯一解，所以B正确，对于C，若，，，则由正弦定理得，，得，因为，所以，所以三角形有唯一解，所以C正确，对于D，若，，，则由正弦定理得，，得，所以或，两种情况下，三角形都存在，所以三角形有两个解，所以D错误，故选：ABC2．（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是.【答案】【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足，代入即可求得边长的取值范围.【详解】如图，，垂线段，由正弦定理知，三角形有两个解，则满足，即.故答案为：.3．（2019下·河南驻马店·高一统考期末）在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是．【答案】【分析】法一，结合图形，得到有两解的充要条件；法二，由正弦定理，结合三角函数图象和性质由解的个数得的取值范围.【详解】法一：由题意，，如图，作，在角的一边取，过作另一边的垂线，垂足为，要使有两解，则以为圆心，以为半径的圆与射线有两个交点，即若使有两解，则有，即，解得.法二：由题意，，由正弦定理得，则，由，如图，作的图象，若使有两解，则有，即，解得.故答案为：.题型四：三角形面积问题典型例题例题1．（2024·福建厦门·统考一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得且，进而求得，最后应用面积公式求面积.【详解】（1）由题设，由正弦定理有，所以，而，故，又，所以.（2）由（1）及已知，有，可得，又，即，所以，故.例题2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.例题3．（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．(1)求角A的大小；(2)若成等差数列，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理角化边，再结合余弦定理，即可求解；（2）根据（1）的结果，结合余弦定理，即可求解，最后代入三角形的面积公式.【详解】（1）由正弦定理即，则，得，又，所以角；（2）由成等差数列，，得，即，由（1）可知，，即，解得：或（舍）所以的面积为.精练核心考点1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是.【答案】【分析】根据给定条件，求出的值及的范围，然后通过正弦定理和面积公式，并结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】在锐角中，由，得，即，由正弦定理得，而，则，又，则有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，则，因此，由，得，即，于是，所以面积的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及求三角形面积范围问题，可以利用正弦定理及三角形面积公式，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.2．（2024上·陕西西安·高三统考期末）在中，内角的对边分别是，且.(1)求的值；(2)若的周长为18，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;（2）由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.【详解】（1）因为，，所以因为，所以，则.（2）因为，所以.因为，所以，解得.因为的周长为18，所以，解得，则.故的面积为.3．（2024上·上海普陀·高三校考期末）在中，已知分别为的对边，且，，(1)求满足的表达式(2)如果，求出此时面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，结合正弦边角关系及差角余弦公式、诱导公式得，最后由正余弦边角关系得到的关系式；（2）应用余弦定理及平方关系得且，根据向量模长坐标表示得，进而有，再由三角形面积公式得面积，即可求最大值.【详解】（1）由题设，所以，则，，又，则，所以，故，故.（2）由，故，且，由，即，故，又面积，当，即时，.题型五：三角形周长问题典型例题例题1．（2024上·安徽合肥·高三校联考期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理实现边角互化，求出的值即得；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立边的关系，整体求得即得.【详解】（1）因，由正弦定理，，化简得：，由余弦定理，，因，故.（2）由的面积为可得：，即：，由余弦定理，，即：，从而，，则.故的周长为：例题2．（2024·山西临汾·统考一模）在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)8【分析】（1）选①或选②都可借助正弦定理得到，即可得；（2）借助余弦定理与三角形面积公式计算即可得.【详解】（1）由得，若选①：由正弦定理得，所以，则，又因为，故；若选②：外接圆半径，由正弦定理，所以，则，又因为，故；（2）由（1）知，所以，因为的面积为，所以，所以，因为，所以，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以的周长为8.例题3．（2024上·河北张家口·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)若，，求的面积；(2)已知为边的中线，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理进行边化角，得，从而，又由余弦定理，解得，从而求出的面积；（2）设，则，由正弦定理可得，，，根据三角函数恒等变形得，可求最值.【详解】（1）由正弦定理，得，所以．又，所以，又，所以，又，故．由余弦定理，得，由，解得，所以的面积．（2）设，则．由及正弦定理可得，，所以，，故，其中，，当时，的最大值为．精练核心考点1．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解；（2）由，求得，结合余弦定理，得到，进而求得的周长.【详解】（1）解：因为，可得，即，由正弦定理得，即，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，又因为，所以.（2）解：因为的面积，可得，可得，又因为，由余弦定理，可得，所以，则，所以，所以的周长为.2．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知分别为的内角的对边，且.(1)求；(2)若，的面积为2，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解；（2）根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可.【详解】（1）在中，由余弦定理得，，代入，则，即，即，因为，且时上式不成立，所以，所以，则（2）因为的面积为2，所以，即，又因为，，，所以，则，则3．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若点是线段上的一点，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换求得，得解；（2）由三角形面积公式求得，又，运算得，再根据余弦定理运算求得，得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.（2）因为的面积为，所以，得.因为，所以，所以，所以在中，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长.题型六：距离测量问题典型例题例题1．（2024上·浙江衢州·高一统考期末）根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示建立平面直角坐标系，假设，，由题意易知，则,所以该基地受热带风暴中心影响的时长.故选：B例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？

【答案】16.41km【分析】由余弦定理得到，进而求出，由正弦定理求出，在中，由余弦定理得到，进而求出，得到答案.【详解】由题意得，km，km，km，在中，由余弦定理得，故，在中，由正弦定理得，故km，在中，由余弦定理得，即，解得km，负值舍去，故km.故这个人还要走km的路才能到达A城.精练核心考点1．（2024·吉林·统考二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由图可知，由正弦定理即可求出BC的值.【详解】由题意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.2．（2024·全国·高一假期作业）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（

）（参考数据：，）

A． B． C． D．【答案】C【分析】结合题意，利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】连接，，在中，由正弦定理知，即，解得，在中，由余弦定理得：，即，所以．

故选：C.题型七：高度测量问题典型例题例题1．（2024·贵州·校联考模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案.【详解】由题意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因为，所以，故选:C.例题2．（2024下·高一单元测试）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝米．【答案】【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解.【详解】设，则.由得，由余弦定理得，解得，即OP为米．故答案为：.精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（

）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米【答案】B【分析】设，进而可得，由余弦定理得：，可求．【详解】设米，在中，，则，在中，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故选：B2．（2024·全国·高一假期作业）如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30m至D处时测得楼顶A的仰角为30°，则大厦AB的高度是m．【答案】【分析】先求出，再在直角三角形中求解即可.【详解】由已知，则，,则在直角三角形中，.故答案为：.题型八：角度测量问题典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船