第1讲集合的概念集合的表示方法集合之间的关系(学生版+解析)

第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作5.有限集：含有有限个元素的集合。6.无限集：含有无限个元素的集合。7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作。二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。即：记作：；读作：A包含于B或B包含A；注意:有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．例2.已知x、y、z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．B．C．D．例3.用“”或“”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)eq\f(1,3)______Z；(4)－eq\f(1,2)______R；(5)1______N*；(6)0________N．例4.已知集合，且中只有一个元素，求的值．例5.已知，求实数的值．例6.已知集合S的三个元素a．、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形例7.设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则∈A(a．≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．例8.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数的图像上所有的点（4） 例3.用列举法表示下列集合：（1）（2）（3）（4） 例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A．B．C．D．例6.已知集合，用列举法分别表示集合例7.设是上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意，有，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（ ）A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合，若，则实数的取值范围是__________．考点三：集合之间的关系例1．已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆BB．C．D．A∈B例2.已知集合，集合，若，求实数的值例3.已知集合且，求的值．例4.定义A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A*B的子集个数为 例5.设，试求集合C，使且例6.设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．例7.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．例8.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．例9.已知，则A与B之间的包含关系为；【难度】★★【答案】例10.已知集合，集合，若，实数的取值范围是 ，若，实数的取值范围是 【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；③存在且；④存在且；这四个命题中，真命题的个数为（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（）A．， B．，C．， D．，5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是A． B． C． D．6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果，那么错误的结论是（）A． B． C． D．10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：，，，，，是空集，错误的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合且，用列举法表示集合________13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则实数______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合，则的子集个数为______．15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则___________.(填“”､“”､“”或“”)16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______．17．（2020·上海高一专题练习）用符号“”或“”填空（1）______，______，______（2）___________Q（3）________18．（2020·上海高一专题练习）集合是单元素集合，则实数________19．（2020·上海高一专题练习）1{a2−a−1，a，−1}，则a的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合，集合非空，若，则的取值范围是___；21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合，设集合，，则集合中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合，用列举法表示为________．26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合的个数为____________个.27．（2020·上海高一专题练习）已知A，B是两个集合，下列四个命题：①不包含于B对任意xA，有B②不包含于B③不包含于B不包含B④不包含于B存在xA，B其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x|ax−6=0}，B={x|3x2−2x=0}，且AB，则实数=____29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A中有n个元素，则集合A的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个．三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知，求实数的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合.（1）Welcome中的所有字母组成的集合；（2）所有正偶数组成的集合；（3）二元二次方程组的解集；（4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合.（1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；（2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A={x|x<2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作5.有限集：含有有限个元素的集合。6.无限集：含有无限个元素的集合。7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作。二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。即：记作：；读作：A包含于B或B包含A；注意:有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【难度】★【答案】(1)(3)(5)例2.已知x、y、z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．B．C．D．【难度】★【答案】D例3.用“”或“”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)eq\f(1,3)______Z；(4)－eq\f(1,2)______R；(5)1______N*；(6)0________N．【难度】★【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)例4.已知集合，且中只有一个元素，求的值．【难度】★★【答案】例5.已知，求实数的值．【难度】★【答案】例6.已知集合S的三个元素a．、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【难度】★【答案】D例7.设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则∈A(a．≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．【难度】★★【答案】(1)若a．∈A，则∈A，又∵2∈A，∴eq\f(1,1－2)＝－1∈A．∵－1∈A，∴eq\f(1,1－(－1))＝eq\f(1,2)∈A，∵eq\f(1,2)∈A，∴eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A，∴A中另外两个元素为－1，eq\f(1,2)．(2)若A为单元素集，则a＝，即a．2－a．＋1＝0，方程无解．∴a．≠，∴A不可能为单元素集例8.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【难度】★★【答案】8考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合【难度】★【答案】（1）；（2）例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数的图像上所有的点（4） 【难度】★★【答案】（1）；（2）；；（4）例3.用列举法表示下列集合：（1）（2）（3）（4） 【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）例5.下列表示同一个集合的是（ ）A．B．C．D．【难度】★【答案】B例6.已知集合，用列举法分别表示集合【难度】★★【答案】例7.设是上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意，有，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（ ）A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集【难度】★★【答案】C例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】由已知得，，故.【详解】由，得又，且，故，故答案为：.考点三：集合之间的关系例1．已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆BB．C．D．A∈B【难度】★【答案】D例2.已知集合，集合，若，求实数的值【难度】★★【答案】例3.已知集合且，求的值．【难度】★★【答案】例4.定义A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A*B的子集个数为 【难度】★★【答案】4例5.设，试求集合C，使且【难度】★★【答案】例6.设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【难度】★★【答案】例7.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【难度】★★【答案】{m|m≤3}例8.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【难度】★★【答案】例9.已知，则A与B之间的包含关系为；【难度】★★【答案】例10.已知集合，集合，若，实数的取值范围是 ，若，实数的取值范围是 【难度】★★【答案】【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）.【详解】对于（1），由，得，一一对应，则对于（2），由，得，一一对应，则对于（3），由，得，一一对应，则对于（4），，但方程无解，则与不相同故选：B2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；③存在且；④存在且；这四个命题中，真命题的个数为（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题意，由子集的定义分析、元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．【详解】根据题意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题．则其否定为真，则非空集合的元素不都是集合的元素，据此分析4个命题：①的元素不都是的元素，正确，②的部分元素可以为的元素，不正确，③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正确，④存在且，正确，其中正确的命题有2个，故选：．3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由相等集合的概念一一分析每个选项中的集合，然后进行比较即可得出答案.【详解】A选项中，表示两个不同的点，∴，∴该选项不符合；B选项中集合M有两个元素1，2是实数，N有一个元素是点，∴，∴该选项不符合；C选项中集合M是空集，集合N是含有一个元素的集合，∴，∴该选项不符合；D选项中由得，∴，∴该选项符合.故选：D.【点睛】本题考查了相等集合的判断，属于基础题.5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是A． B． C． D．【答案】C【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来.【详解】∵∴∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}故选C．【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写．6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上语句都不对【答案】C【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据绝对值的定义分类讨论，按中正负数分类．【详解】当时，，当时，，因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则.所以代数式表示的所有的值的集合是.故选：D．【点睛】本题考查绝对值的定义，对于含多个绝对值的式子，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得结论．8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【分析】根据可得或，再分析点的集合即可.【详解】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D【点睛】本题主要考查了集合中的元素的理解、象限的理解与辨析.属于基础题.9．（2020·上海高一专题练习）如果，那么错误的结论是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．【详解】解：，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：与是集合与集合关系，应是，故C错故选：C10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：，，，，，是空集，错误的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案．【详解】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确故选：D二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.【答案】【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有，列举法写出正因数集合即可.【详解】∵对于正因数分解，有，∴其正因数组成的集合为.故答案为：12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合且，用列举法表示集合________【答案】【分析】由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解.【详解】由题意，集合且，可得，则，解得且，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，此时分母为零，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；综上可得，集合.故答案为：.13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则实数______.【答案】或1【分析】考虑仅有两个子集，则集合为单元素集，分类讨论求集合为单元素集时的取值即可.【详解】解：集合有且仅有两个子集，则集合为单元素集.当时，，有且仅有两个子集，复合条件；当时，，此时，复合条件；故答案为：或.【点睛】易错点睛：讨论二次型函数的解的情况，时刻注意最高次项系数为0的情况.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合，则的子集个数为______．【答案】【分析】求出集合，确定集合的元素个数，利用集合的子集个数可求得集合的子集个数.【详解】，则的子集个数为．故答案为：.【点睛】本题考查集合子集个数的求解，同时也考查了对数函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则___________.(填“”､“”､“”或“”)【答案】【分析】分别求出集合和集合的元素，即可求解.【详解】由可知集合是由的自然数倍减去的数构成的，即，可知集合是由的非负偶数倍减去的数构成的，即，自然数包括非负偶数，所以，故答案为：.16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______．【答案】3或1【分析】根据3∈A即可得出a22a=3，解方程得到a即可．【详解】∵3∈A，A={1，2，a22a}，∴a22a=3，解得a=1或3故答案为1或3．【点睛】本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．17．（2020·上海高一专题练习）用符号“”或“”填空（1）______，______，______（2）___________Q（3）________【答案】【分析】（1）是自然数，不是自然数，是自然数，分别可得元素与集合的关系；（2）是有理数，不是有理数，分别可得元素与集合的关系；（3）可化简为的形式，可得元素与集合的关系．【详解】（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；（2）是有理数，则；不是有理数，则；（3）故答案为：（1），，；（2），；（3）．18．（2020·上海高一专题练习）集合是单元素集合，则实数________【答案】0，2或18【分析】集合是单元素集合，即方程只有一个根，分和两种情况，求出实数即可．【详解】当时，，符合题意；当时，令，即，解得或故答案为：0，2或1819．（2020·上海高一专题练习）1{a2−a−1，a，−1}，则a的值是_________．【答案】2【分析】分和两种情况求出a的值，并检验是否符合集合的互异性，可得答案．【详解】当时，解得或若，则集合为，符合题意；若，不满足集合的互异性，舍去；当时，不满足集合的互异性，舍去；则a的值是故答案为：20．（2020·上海高一专题练习）已知集合，集合非空，若，则的取值范围是___；【答案】且，且【分析】首先求解集合，再根据条件，列出关于的不等式，求解的取值范围.【详解】，解得：或，,，，解得：，若，则，若，则，，且，综上可知且，且.故答案为：且，且【点睛】本题考查根据集合的关系求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.【详解】当当当当和为故答案为：1822．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.【答案】【分析】因为满足，即可得到结果.【详解】因为所以集合故答案为：23．（2020·上海高一专题练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.【答案】或【分析】由题意知中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论是否相等即可求实数.【详解】由题意知：中元素，即为的解，∴或，可知：或∴当时，；当时，，∴或，故答案为：或【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合，设集合，，则集合中的元素个数为________.【答案】12【分析】根据自定义运算求出集合，即可得解；【详解】解：因为，所以故集合中含有12个元素故答案为：12【点睛】本题考查描述法表示集合，自定义运算，属于基础题.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合，用列举法表示为________．【答案】【分析】解不等式，由，确定的值，再由，得出的值，从而确定集合.【详解】由，解得因为，所以可取当取时，对应的值分别为根据集合的互异性可知，故答案为：【点睛】本题主要考查了用列举法表示集合，属于基础题.26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合的个数为____________个.【答案】4【分析】根据子集的定义即可得到集合的个数；【详解】，或或或，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.27．（2020·上海高一专题练习）已知A，B是两个集合，下列四个命题：①不包含于B对任意xA，有B②不包含于B③不包含于B不包含B④不包含于B存在xA，B其中真命题的序号是______【答案】④【分析】利用两个集合的包含关系，理解不包含于的含义，判断选项.【详解】①A不包含于B，指，，故①②不正确，④正确；反例：，对于③，，此时不包含于，但包含，故③不正确.故答案为：④28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x|ax−6=0}，B={x|3x2−2x=0}，且AB，则实数=____【答案】0或9【分析】分和两种情况，利用列出方程，解出实数．【详解】B={x|3x2−2x=0}当时，，满足；当时，，则或，解得；故答案为：0或929．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M共有___________个.【答案】7【分析】由题意列举出集合M，可得集合的个数．【详解】由题意可得，或或或或或或，即集合M共有个故答案为：30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A中有n个元素，则集合A的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个．【答案】【分析】根据子集，真子集以及非空真子集的定义即可求解．【详解】集合A中有n个元素，则集合A的子集个数有个，真子集有个，非空真子集有个故答案为：；；三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知，求实数的值.【答案】【分析】由元素与集合的关系，分类讨论、、三种情况，得出的值，再由集合中元素的性