第01讲3.1椭圆(原卷版+解析)

第01讲3.1椭圆目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查椭圆定义辨析及利用定义求方程 1题型二：重点考查椭圆上点到焦点距离（含最值） 2题型三：重点考查椭圆上点到坐标轴距离（含最值） 3题型四：重点考查焦点三角形中周长问题 4题型五：重点考查椭圆上点到焦点距离和差最值 5题型六：重点考查判断方程是否表示椭圆 6题型七：重点考查轨迹方程之椭圆 6题型八：重点考查椭圆中焦点三角形面积 8题型九：重点考查椭圆中焦点三角形其他问题 9题型十：重点考查椭圆离心率（含范围问题） 10题型十一：重点考查根据离心率求范围 11题型十二：重点考查根据椭圆离心率求方程 12题型一：重点考查椭圆定义辨析及利用定义求方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．点例题2．（2023·全国·高二课堂例题）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．精练核心考点1．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（）A．圆 B．椭圆C．线段 D．射线2．（多选）（2023秋·高二课时练习）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹3．（2023·全国·高二课堂例题）已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．题型二：重点考查椭圆上点到焦点距离（含最值）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为．例题2．（2023·高二课时练习）若椭圆上一点到两焦点的距离之积为，则的最大值为.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为､，P是椭圆上的动点，求的最大值及最小值.精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（

）A．4 B．6C．8 D．22．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为．3．（2023·全国·高二专题练习）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为.题型三：重点考查椭圆上点到坐标轴距离（含最值）典型例题例题1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（

）A．1 B． C． D．2例题2．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．题型四：重点考查焦点三角形中周长问题典型例题例题1．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2例题2．（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.精练核心考点1．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（

）A．10 B．12 C．16 D．202．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．3．（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知是椭圆的两个焦点．

(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长．题型五：重点考查椭圆上点到焦点距离和差最值典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为．例题3．（2023秋·高二课时练习）椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为，最小值为．

精练核心考点1．（2023秋·四川资阳·高二统考期末）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.2．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.

3．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是．题型六：重点考查判断方程是否表示椭圆典型例题例题1．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则例题2．（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的条件．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高二专题练习）方程表示椭圆的充要条件是．题型七：重点考查轨迹方程之椭圆典型例题例题1．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线例题2．（2023秋·高二课时练习）点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.例题3．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？

精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹．2．（2023秋·高二课时练习）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程.

题型八：重点考查椭圆中焦点三角形面积典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．例题3．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为．精练核心考点1．（多选）（2023秋·高二课时练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．2．（2023秋·高二课时练习）已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为．3．（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．

题型九：重点考查椭圆中焦点三角形其他问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（

）A．8 B．12 C．16 D．64例题2．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，（为原点），则．例题3．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知，为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，则的最小值为，的最小值为．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（

）A． B．4 C．7 D．2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则点P的横坐标为．题型十：重点考查椭圆离心率（含范围问题）典型例题例题1．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）椭圆和圆，（为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．例题3．（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为.例题4．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为.4．（2023·全国·高三专题练习），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.题型十一：重点考查根据离心率求范围典型例题例题1．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（

）个A．2 B．4 C．6 D．8例题2．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（多选）（2023秋·高二课时练习）若椭圆的离心率为，则实数的值可能为（

）A． B． C． D．4精练核心考点1．（2023秋·北京·高三东直门中学校考开学考试）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江苏南京·高二校考开学考试）若椭圆的离心率为，则m的值为.题型十二：重点考查根据椭圆离心率求方程典型例题例题1．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为.例题2．（2023秋·高二课时练习）如图，椭圆与过，的直线有且只有一个公共点P，且椭圆的离心率，求该椭圆的方程.

精练核心考点1．（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆，的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点，求的方程.

第01讲3.1椭圆目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查椭圆定义辨析及利用定义求方程 1题型二：重点考查椭圆上点到焦点距离（含最值） 4题型三：重点考查椭圆上点到坐标轴距离（含最值） 6题型四：重点考查焦点三角形中周长问题 9题型五：重点考查椭圆上点到焦点距离和差最值 11题型六：重点考查判断方程是否表示椭圆 15题型七：重点考查轨迹方程之椭圆 16题型八：重点考查椭圆中焦点三角形面积 19题型九：重点考查椭圆中焦点三角形其他问题 23题型十：重点考查椭圆离心率（含范围问题） 26题型十一：重点考查根据离心率求范围 31题型十二：重点考查根据椭圆离心率求方程 34题型一：重点考查椭圆定义辨析及利用定义求方程典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．点【答案】C【详解】因为，所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为动点满足关系式，所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12，而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即，又，，所以动点M的轨迹方程为.故选：C.例题3．（2023·全国·高二课堂例题）已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．【答案】【详解】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．

由，可知点．由的周长等于18．得，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上．设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和，，得，所以动点A的轨迹方程是.精练核心考点1．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（）A．圆 B．椭圆C．线段 D．射线【答案】AB【详解】如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r．若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则，由于，

∴，即．∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R．∵B为圆内的定点，∴．∴动点C的轨迹为椭圆．若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆．故选：AB.2．（多选）（2023秋·高二课时练习）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹【答案】BCD【详解】根据题意，得，①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为焦点的椭圆；②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为线段；③当时，，不存在满足条件的点M．综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选：BCD.3．（2023·全国·高二课堂例题）已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．【答案】【详解】椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为．由已知得，即，又椭圆的两个焦点为，，所以，

从而，因此，所求椭圆的标准方程为．题型二：重点考查椭圆上点到焦点距离（含最值）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为．【答案】/【详解】据题意，设，则，得，解得，所以，即．故答案为：例题2．（2023·高二课时练习）若椭圆上一点到两焦点的距离之积为，则的最大值为.【答案】【详解】设椭圆的左右焦点分别为，则根据椭圆的定义，可得，又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为､，P是椭圆上的动点，求的最大值及最小值.【答案】最大值25，最小值9.【详解】对椭圆，，不妨设又，即，则，，对，其在单调递增，在单调递减.故当时，，当或时，.即的最大值和最小值分别为和.精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（

）A．4 B．6C．8 D．2【答案】B【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆长轴长，不妨令，由，得.故选：B2．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为．【答案】9【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.故答案为：9.3．（2023·全国·高二专题练习）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】/【详解】由题设圆和圆的圆心分别为，半径分别为，则椭圆的焦点为，，又，，故，当且仅当分别在的延长线上时取等号，此时最大值为.故答案为：.题型三：重点考查椭圆上点到坐标轴距离（含最值）典型例题例题1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】由椭圆可得，所以，，所以，所以在中，，因为，且，所以，设的坐标为，且，所以，所以点P到y轴的距离为，故选：C例题2．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为.【答案】或【详解】设点，则到轴的距离为，因为，，，当或时，则，得，，即到轴的距离为．当时，则，，，，由（1）（2）知：到轴的距离为或，故答案为：或．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由曲线与坐标轴的交点为，，，，不妨设，，，.则，为椭圆的焦点，而为椭圆上一点，所以.因为，所以，又，根据椭圆定义知点的轨迹为以C、D为焦点的椭圆，所以轨迹方程为，联立，消去得，则，故点到轴的距离为.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意作图，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|·|PF2|=|F1F2|·d，故2b2=2cd，故，故选：D．题型四：重点考查焦点三角形中周长问题典型例题例题1．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【详解】由，即，可得，根据椭圆的定义，所以.故选：B.

例题2．（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.【答案】5【详解】由已知，，可得，.因为的周长为16，则.根据椭圆定义可得，，所以，，所以，，所以，.精练核心考点1．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（

）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【详解】由题意得，由椭圆定义可知，，所以的周长为.故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．【答案】34【详解】因为，所以，故，则，又，故，则，，所以的周长为.故答案为：34.3．（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知是椭圆的两个焦点．

(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长．【答案】(1)．(2)40【详解】（1）设焦距为，由得，所以椭圆的焦点坐标为．（2）设椭圆长轴长，则易得，又的周长为,由椭圆的定义可知，故.题型五：重点考查椭圆上点到焦点距离和差最值典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为.【答案】【详解】如图，由为椭圆上任意一点，则，又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为，当共线时，最大，如下图所示：，最大值为，所以的取值范围为，故答案为：例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为．【答案】1【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得，因此，，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，所以的最小值为1.故答案为：1例题3．（2023秋·高二课时练习）椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为，最小值为．【答案】//【详解】椭圆，∴，∴.如图所示，点在椭圆内部，∵点为椭圆上的点，则，∴，∵，又，∴，即.故答案为：；

精练核心考点1．（2023秋·四川资阳·高二统考期末）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.【答案】11【详解】由题意可得，，所以,因为，所以;因为，所以.故答案为：11.

2．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【详解】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：3．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是．【答案】21【详解】由椭圆得，则椭圆右焦点为，点M在椭圆内部，如图所示，则故答案为：21．题型六：重点考查判断方程是否表示椭圆典型例题例题1．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则【答案】AD【详解】当即时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.故选：AD.例题2．（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的条件．【答案】必要不充分【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立；当为椭圆，则，可得且，必要性成立；综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若曲线是椭圆，则有：解得：，且故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）方程表示椭圆的充要条件是．【答案】答案不唯一【详解】方程表示椭圆,则必有解之得或故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）题型七：重点考查轨迹方程之椭圆典型例题例题1．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【详解】解：由题意得，整理得：，所以点的轨迹为椭圆．故选：B．例题2．（2023秋·高二课时练习）点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.【答案】点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆.【详解】设点到直线l的距离为d，依题意，，于是，化简得，即.所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆，如图，

例题3．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？

【答案】点M的轨迹是椭圆，理由见解析【详解】设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为，由点M是线段的中点，得，．因为点在圆上，所以①把，代入方程①，得，即．所以点的轨迹是椭圆．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹．【答案】点M轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．【详解】设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合，则，

将上式两边平方，并化简，得，即．所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．2．（2023秋·高二课时练习）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程.

【答案】【详解】设点M的坐标为，点P的坐标为，则，.因为点在圆上，所以.把，代入上述方程，得.即所求轨迹方程为.点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆.题型八：重点考查椭圆中焦点三角形面积典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，即.设，所以由椭圆的定义可得：①.因为，所以由数量积的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故选：A.例题2．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．【答案】/【详解】因为，，所以，若，因为，则可得，由余弦定理可得，所以，则.故答案为：.

例题3．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为．【答案】【详解】由题知，，，因为点在椭圆上，所以，所以，又因为，所以，所以，从而．故答案为：精练核心考点1．（多选）（2023秋·高二课时练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【详解】由得，不妨，，则，当时，则①平方减去②得，∴，当(或者)时，，令，则，解得，则，.故选：AB.

2．（2023秋·高二课时练习）已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为．【答案】20【详解】

因为＝0，所以⊥，所以△是直角三角形．由椭圆定义知||＋||＝6，①又，②由－②得，因为，所以.故答案为：20.3．（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．

【答案】【详解】由已知，得，则，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化简解得，所以的面积为，题型九：重点考查椭圆中焦点三角形其他问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（

）A．8 B．12 C．16 D．64【答案】A【详解】

由题意得，，于是，即为△的外心，以为直径的圆经过，于是，记，根据椭圆定义和勾股定理：，于是.故选：A例题2．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，（为原点），则．【答案】【详解】根据题意，如下图所示：

由椭圆定义易知，，在中由余弦定理可得；解得，又是的中点，所以可得，即；所以.故答案为：例题3．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知，为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，则的最小值为，的最小值为．【答案】12/0.5【详解】椭圆中，即，因为，所以，所以，又，所以，所以的最小值为12．又，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为：精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（

）A． B．4 C．7 D．【答案】C【详解】由＝1可知，，所以，所以F1(－3,0)，F2(3,0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，∴可设P(3,m)，把P(3,m)代入椭圆＝1，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故选：C2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则点P的横坐标为．【答案】2【详解】由题知，设，，则，由余弦定理得，即，所以，又，所以，所以，所以，所以，代入，得，又点P位于第一象限，所以点P的横坐标为2．故答案为：2.题型十：重点考查椭圆离心率（含范围问题）典型例题例题1．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）椭圆和圆，（为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意对于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故选：B．例题2．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】设，易知，则，，又，所以.故选：C例题3．（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为.【答案】/【详解】因为，所以，即，所以，所以.设，则，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以.

故答案为:.例题4．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，，点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，又点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即，，，．故选：A．

精练核心考点1．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，将点坐标代入椭圆的方程得，，，所以离心率.故选：B

2．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，，设，因为，所以，又，，所以，因为，则，当时，取得最小值，即，即，所以，即椭圆的离心率为.故选：D.3．（2023秋·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点