第01讲3.1函数的概念及其表示(原卷版+解析)

第01讲3.1函数的概念及其表示目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查函数的定义域 1题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数） 3题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型） 4题型四：重点考查根据值域求定义域 6题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值） 6题型六：重点考查求函数解析式 7题型七：重点考查分段函数 8题型八：重点考查函数图象识别与画图 10题型九：重点考查新文化，新定义题 12题型一：重点考查函数的定义域典型例题例题1．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.例题4．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域：(1)(2)；(3)(4)；(5)．精练核心考点1．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一课时练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域．(1)；(2).4．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)；(4).题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为例题3．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则．例题4．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；

精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高一课堂例题）下列函数中，定义域和值域都是的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为3．（2023·全国·高一假期作业）若函数的定义域是，则它的值域．4．（2023·江苏·高一假期作业）求二次函数在区间上的值域．题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为．例题3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4).例题4．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).精练核心考点1．（2023·高一课时练习）函数的值域为2．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域：(1)；(2).3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3).4．（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数的值域；（2）求函数的值域.题型四：重点考查根据值域求定义域典型例题例题1．（多选）（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（多选）（2023·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（）A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为.题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值）典型例题例题1．（2023·高一课时练习）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．4 B．6C．7 D．8例题2．（2023·高一课时练习）设非零实数，满足，若函数存在最大值和最小值，则.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值2．（2023·高一课时练习）已知，且，则的取值范围是.题型六：重点考查求函数解析式典型例题例题1．（2023秋·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知一次函数满足，则解折式为（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·高一课时练习）已知，则＝.例题3．（2023·全国·高一课堂例题）（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．例题4．（2023秋·高一课时练习）（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求.精练核心考点1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式是.4．（2023秋·高一课时练习）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式.题型七：重点考查分段函数典型例题例题1．（2023秋·高一课前预习）函数与的对应关系如下表133123则的值为（

）A．0 B．3 C．1 D．－1例题2．（多选）（2023秋·高一课时练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域是 B．的值域是C．若，则的值为 D．图象与有两个交点例题3．（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）已知函数．若互不相等的实根满足，则的范围是（

）A． B． C． D．例题4．（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考开学考试）设，若，则的取值范围为．例题5．（2023秋·高一课时练习）已知函数(1)求，；(2)若，求实数的取值范围．精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知函数，则（

）A． B．0 C．4 D．62．（多选）（2023秋·高一课时练习）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为RB．的值域为C．D．若则x的值是3．（多选）（2023春·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，若，则的值可以为（

）A． B．3 C．7 D．84．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）已知函数，若，则实数a的取值范围为.5．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考期末）已知函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a的值是；若，则实数a的取值范围是．题型八：重点考查函数图象识别与画图典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（）A．

B．

C．

D．

例题2．（多选）（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是．则下列图象不能大致反映与的函数关系的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023·全国·高一课堂例题）作出下列函数的图象：(1)(2)，．精练核心考点1．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一课时练习）求作的图象．3．（2023·全国·高一课堂例题）画出函数（该函数也常称为取整函数）（表示不大于的最大整数）的图象，并求其值域.题型九：重点考查新文化，新定义题1．（2023·全国·高一专题练习）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．02．（2023·全国·高三专题练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．的值域为C．，D．任意一个非零有理数T，对任意恒成立4．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为.

第01讲3.1函数的概念及其表示目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查函数的定义域 1题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数） 5题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型） 7题型四：重点考查根据值域求定义域 12题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值） 13题型六：重点考查求函数解析式 15题型七：重点考查分段函数 18题型八：重点考查函数图象识别与画图 22题型九：重点考查新文化，新定义题 26题型一：重点考查函数的定义域典型例题例题1．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知函数的定义域为，又函数，则且解得且.所以函数的定义域为.故选：A.例题2．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数的定义域是满足，即，又分母不为0，则，所以函数的定义域为：故选：C.例题3．（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【详解】由题意得，解得，所以的定义域为，故答案为：例题4．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域：(1)(2)；(3)(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)且，(5)【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，从而函数的定义域为．（2）因为当，即时，有意义，所以函数的定义域是，即．（3）要使函数有意义，则且，解得且，所以函数的定义域为．（4）要使函数有意义，则且，即且，所以函数的定义域是且，（5）要使函数有意义，则，解得，则函数的定义域是．精练核心考点1．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.2．（2023秋·高一课时练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．【答案】【详解】因为函数的定义域为，所以，则，所以函数的定义域为，故答案为：.3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域．(1)；(2).【答案】(1)且(2)【详解】（1）由得：且，的定义域为且.（2）由得：或，的定义域为.4．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)且(3)且(4)【详解】（1）若有意义，则，的定义域为.（2）由得：且，的定义域为且.（3）由得：且，的定义域为且.（4）由得：，的定义域为.题型二：重点考查函数的值域（一次函数，二次函数，反比例函数）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为【答案】【详解】因为，所以，又，所以当时，单调递减，，所以函数的值域为.故答案为：例题3．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则．【答案】【详解】，故，解得．故答案为：例题4．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；【答案】(1)(2)【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．

精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高一课堂例题）下列函数中，定义域和值域都是的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】选项A，D，与都为一次函数，所以它们的定义域和值域都为，故A，D正确选项B，为二次函数，定义域为，且，所以其值域为，故B不正确，选项C，为反比例函数，定义域是，值域是，都不是．故C不正确，故选：AD.2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为【答案】【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，的值域为.故答案为：.3．（2023·全国·高一假期作业）若函数的定义域是，则它的值域．【答案】．【详解】∵函数是反比例函数，则时，，且，所以值域为．故答案为：．4．（2023·江苏·高一假期作业）求二次函数在区间上的值域．【答案】【详解】由，则当时，，当时，，所以函数的值域为.题型三：重点考查函数的值域（分式型，根式型）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：又，所以函数的值域为故选：A例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为．【答案】．【详解】，即；，；当且仅当，即时，取最小值2；又最大值应在两个区间端点的某一处取到，；；．所以．所以值域为．故答案为:例题3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)且(4)【详解】（1）解：因为，所以，所以函数的值域为.（2）解：由，可得其对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由当时，；当时，，所以函数的最大值为，所以函数在区间上的值域为.（3）解：由函数，可得其定义域为，则，即，所以函数的值域为且.（4）解：令，则，则，根据二次函数的性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，当时，，所以函数的值域为.例题4．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1），，即，的值域为.（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，的值域为.（3），，，的值域为.（4）令，则且，，则当时，，的值域为.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）函数的值域为【答案】【详解】，，，，，函数的值域为．故答案为：.2．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，所以，故函数的值域是.（2）令，则且，故，结合二次函数的性质可知，开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，当时，函数取得最大值，没有最小值，故值域为.3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由于，且；所以可得，因此函数的值域是．（2）令，所以，即，当时，，即函数的值域为.（3）易知需满足，即，即函数定义域为；，由二次函数性质可得，所以的值域为．4．（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数的值域；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）【详解】（1），，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立.故函数值域为；（2）函数定义域为，令，则，故函数值域为.题型四：重点考查根据值域求定义域典型例题例题1．（多选）（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】令，解得，令，解得或-2，可作出函数图象如图：设定义域为，所以或，故AD正确，BC错.故选：AD.例题2．（2023·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数的值域是，所以当时，，当时，即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D精练核心考点1．（多选）（2023·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（）A． B． C． D．【答案】BC【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，故，又，故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC.故选：BC.2．（2023·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为.【答案】【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为.故答案为：题型五：重点考查利用判别式法求值域（最值）典型例题例题1．（2023·高一课时练习）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【详解】设，，，时，，时，因为，所以，解得，即且，综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．例题2．（2023·高一课时练习）设非零实数，满足，若函数存在最大值和最小值，则.【答案】2【详解】，则，则，即，，故，，即，即，.故答案为：2.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值【答案】【详解】由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以解得2．（2023·高一课时练习）已知，且，则的取值范围是.【答案】【详解】因为，所以.又因为，所以，解得.故答案为：.题型六：重点考查求函数解析式典型例题例题1．（2023秋·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知一次函数满足，则解折式为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设一次函数，则，即，所以解得，所以，故选:C.例题2．（2023秋·高一课时练习）已知，则＝.【答案】【详解】因为，所以，所以，其中.∴.故答案为：例题3．（2023·全国·高一课堂例题）（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【详解】设，则，于是有解得或所以或．（2）设，由题意得解得故．例题4．（2023秋·高一课时练习）（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求.【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1），令，则，，；（2），；（3），将原式中的x与互换，得.所以，解得.精练核心考点1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，且，则，可得，所以.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式是.【答案】【详解】令，则，由可得，其中，故函数的解析式是.故答案为：.4．（2023秋·高一课时练习）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式.【答案】【详解】由题意可设：，由得：；由得：，整理可得：，，解得：，.题型七：重点考查分段函数典型例题例题1．（2023秋·高一课前预习）函数与的对应关系如下表133123则的值为（

）A．0 B．3 C．1 D．－1【答案】A【详解】由列表法表示的函数可知，，则的值为0例题2．（多选）（2023秋·高一课时练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域是 B．的值域是C．若，则的值为 D．图象与有两个交点【答案】BC【详解】由函数知，定义域为，即，A错误；时，，时，，故，故值域为，B正确；由分段的取值可知时，即，解得或（舍去），故C正确；由分段的取值可知时，即，解得或（舍去），故f(x)图象与y=2有1个交点，故D错误.故选：BC.例题3．（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）已知函数．若互不相等的实根满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根满足，根据图象可得与关于，则，当时，则是满足题意的的最小值，且满足，则的范围是.故选：A.例题4．（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考开学考试）设，若，则的取值范围为．【答案】【详解】当时，，符合题意；当时，则，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.例题5．（2023秋·高一课时练习）已知函数(1)求，；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，8，(2)【详解】（1）解：因为，所以，；（2）因为，所以，则不等式转化为，解得或，所以实数a的取值范围是.精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知函数，则（

）A． B．0 C．4 D．6【答案】A【详解】由题意可知：，，.故选：A.2．（多选）（2023秋·高一课时练习）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为RB．的值域为C．D．若则x的值是【答案】BD【详解】由可知函数定义域为，A错误；当时，；当时，，故的值域为，B正确；，C错误；由于当时，，故则，，则，D正确；故选：BD3．（多选）（2023春·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，若，则的值可以为（

）A． B．3 C．7 D．8【答案】AD【详解】当时，由，得，解得或（舍去），当时，由，得，解得，综上或，故选：AD4．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）已知函数，若，则实数a的取值范围为.【答案】【详解】当时，显然不成立；当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，解得．综上所述，a的取值范围为或故答案为：5．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考期末）已知函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a的值是；若，则实数a的取值范围是．【答案】－2或5【详解】若f（a）＝4，则或解得或.若，则或解得或，∴a的取值范围是．故答案为：－2或5；题型八：重点考查函数图象识别与画图典型例题例题1．（2023秋·高一课时练习）列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数图象为（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】∵列车匀速前进，∴列车行驶速度∴列车后到达C地，此时距离C地0km，即函数图象经过点，由此可排除A、B、D，知C正确，故选：例题2．（多选）（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是．则下列图象不能大致反映与的函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】当点P在点AD上运动，即时，不能构成三角形，故y值为0，选项ACD都不能大致反映与的函数关系.当点P在DC上运动，即时，的一边，高，则；当点P在CB上运动，即时，的面积不变，；当点P在BA上运动，即时，的一边，高，综上，，图象如选项B所示，能大致反映该函数关系.故选：ACD.例题3．（2023·全国·高一课堂例题）作出下列函数的图象：(1)(2)，．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解