2026年北京延庆区高二期末考试数学试题含答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026北京延庆高二（下）期末数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，集合，则（

）A．{或} B．C．{或} D．2．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知命题：，；命题：，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题4．已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．5．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．6．如果函数定义在区间上连续，在区间内可导，则“在上单调递增”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是（

）A．第一项是含的项 B．第二项是常数项C．第三项是 D．各项的系数和为8．为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：学区甲乙性别男女男女达到预期260人240人120人180人未达到预期160人140人260人240人假设所有教师的评价相互独立．用频率估计概率．若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为0．记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定9．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（

）A．米 B．米 C．米 D．米10．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数的定义域为__________．12．在等差数列中，已知，与的等差中项为，是与的等比中项，则通项公式__________；前项和__________．13．函数的值域为__________．14．已知方程的两根分别为，，则__________；__________．15．已知函数，给出下面四个结论：①，使得函数有最小值；②，函数都有一个极值；③，函数都有一个零点；④时，函数在上单调递减．其中所有正确的结论序号为__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在锐角中，，，．(1)求及；(2)求的值及面积．17．求下列函数的导数．(1)①；②；③．(2)①；②．(3)①；②；③．18．求满足下列条件的直线的方程．(1)为曲线在点处的切线；(2)的斜率为且与曲线相切；(3)过原点且与曲线相切．19．求下列函数的单调区间．(1)；(2)．20．已知函数，．(1)求的极值点以及极值、最值点以及最值；(2)证明：；(3)证明：．21．已知数列，记集合．(1)若数列为，写出集合；(2)若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由；(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，，若，求的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】集合或，而集合，所以或.2．A【详解】由，得，所以的虚部为1.3．C【详解】当时，，因此命题：，是真命题；取，得，因此命题：，是假命题，是真命题，所以和都是真命题.4．D【详解】对于选项A：成立的条件是，，已知，但未限制符号，例如，时不等式不成立，故A不正确.对于选项B：由得，，若，则，即，例如，满足，但，，此时，故B不正确.对于选项C：由不能直接推出，例如，满足，但，，此时，故C不正确.对于选项D：因为指数函数在上单调递增，由可得，故D正确.5．D【详解】由题意.设，则.若，则方程的解为；若，由方程有解，可得且.综上.所以.所以实数的最小值为2.6．A【详解】由在上单调递增，得，反之取函数，满足，此时函数在上不单调，所以“在上单调递增”是“”的充分而不必要条件.7．A【分析】根据二项式定理，结合通项公式及赋值法求解即可.【详解】展开式通项公式为.对于A，第一项，代入得，A正确.对于B，第二项，代入得，B错误.对于C，第三项，代入得，C错误.对于D，令，则，所以各项的系数和为729，D错误.8．B【分析】分别求出，，比较它们的大小即可.【详解】对甲学区，男教师420人，女教师380人，共800人.用频率估计概率，从甲学区选一名教师，能“达到预期”的概率为.设从甲学区选一名教师，赋分为，则的分布列为：05所以，，即.从甲学区选一名教师，能“达到预期”的概率为.同理可得，.所以.9．B【详解】设截去的小正方形边长为米，则长方体形的无盖容器的容积，当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米.10．B【详解】因为，.所以.由，由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以函数唯一的极小值点为.由且为函数定义域的子集.11．【详解】由函数有意义，得，解得，所以所求函数的定义域为.12．【详解】设等差数列的公差为,由得.与的等差中项为,即,得.是与的等比中项,即.由韦达定理,与是方程的两根.解得,.结合及,得,.由,即,得.故.因此通项公式,即.前项和.13．【详解】当时，.由于底数，该函数在上单调递增.最小值为，最大值为.故此段值域为.当时，.幂指数，该函数在上单调递增.当时，，最大值为时，.故此段值域为.综上，函数的值域为.14．【详解】由方程的两根分别为，，得，所以；.15．①③【分析】对于①，采用换元法，结合二次函数的性质判断即可；对于②④，根据导数与单调性及极值的关系判断即可；对于③，对进行分情况讨论，结合零点存在定理及一元二次方程根的判别式判断即可.【详解】函数的定义域为，①令，则，函数转化为，当时，，在上单调递增，最小值为，对应，此时有最小值.当时，是开口向下的二次函数，时，，无最小值.当时，是开口向上的二次函数，对称轴，在上单调递增，最小值为，对应，此时有最小值.综上，，使得函数有最小值，①正确；②，当时，恒成立，在上单调递增，无极值.当时，令，即，则，此时有一个极值点.因此，并非对都有极值，②错误；③令，即，当时，，解得，函数有唯一零点；当时，若，左边，右边，无解；若，则，即，，方程有一正根一负根，则正根为函数唯一的零点；当时，若，左边，右边，无解；若，易知在上单调递增，且，，由零点存在定理，在上有唯一零点.综上，，函数都有一个零点，③正确；④，当时，，则.若，则，函数在上单调递减；若，令，即，解得，此时.当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数在上不一定单调递减，④错误.16．(1)，(2)，【分析】（1）根据正弦定理结合三角形的形状，可求角，的值.（2）利用余弦定理求边，利用三角形的面积公式求面积．【详解】（1）因为，所以．因为，所以或．又因为是锐角三角形，所以．所以．（2）因为，所以，即，因此．因为，所以，即．所以的面积为．17．(1)①；②；③(2)①；②(3)①；②；③【分析】（1）（2）利用导数的运算法则求出导数.（3）利用复合函数导数运算法则求出导数.【详解】（1）①；②；③.（2）①；②.（3）①；②；③.18．(1)(2)(3)【详解】（1）因为，所以．又因为，所以所求切线方程为，即．（2）设切点为，因为，所以切线的斜率为．所以．因为，所以切点为．所以切线方程为，即的方程为．（3）设切点为，因为，所以切线的斜率为．又因为，所以直线的方程为，将原点代入上式并整理，可得，解得，因此切点为，切线方程为，即的方程为．19．(1)增区间为，单调减区间为．(2)当时，函数的减区间为，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来确定函数的单调区间；（2）同样先对函数求导，再根据的取值范围讨论导数的正负性，进而确定函数的单调区间.【详解】（1）函数的定义域为．因为，令，可得，因为恒成立，所以，即解得或，因此可知函数的单调增区间为，令，可得，解得．因此函数的单调减区间为．（2）函数的定义域为．因为，当时，在区间，，则此时函数在上单调递减；在区间，，则此时函数在上单调递增；当时，在区间，，函数为增函数；在区间，，函数为减函数；在区间，，函数为增函数.当时，在区间，，函数为增函数；在区间，，函数为减函数；在区间，，函数为增函数.当时，，恒成立，函数在为增函数.综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.20．(1)函数在处取得极大值，无极小值；在处取得最小值，在处取得最大值.(2)当时，不等式，令函数，求导得，函数在上单调递增，因此，即，则，所以.(3)令函数，求导得，函数在上单调递增，，因此，由（2）知，所以.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间，进而求出极值、极值点及最值、最值点.（2）将所证不等式等价变形，再构造函数并利用导数求出最小值即可.（3）结合（2）构造函数，利用导数求出函数最小值即可.【详解】（1）函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以函数在处取得极大值，无极小值；在处取得最小值，在处取得最大值.（2）略（3）略21．(1)(2)不存在(3)【分析】（1）根据题意给出的集合的新定义，直接计算所有可能的即可得出答案.（2）使用假设法，假设存在，使得，将其转化为，分析两因子的奇偶性与取值范围，发现与的因子性质矛盾，从而得出结论.（3）由，根据集合的新定义得.令，，分析与的奇偶关系，讨论中元素的特征，得出由所