2026年北京市第四中学高二期中考试数学试卷含答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高二数学试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1．已知数列的首项，且，则为A．7 B．15 C．30 D．312．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．3．已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（

）A．19， B．21， C．15， D．16，4．函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（

）A． B． C． D．6．函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．如果等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为（

）A．25 B．50 C．100 D．不存在8．已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（

）

A．在处取极大值 B．C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点10．已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（

）A．32 B．16 C．12 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则________．12．函数在处的切线方程为______．13．已知数列的前项和为，则________，的最小值为________．14．已知函数，，有成立，则的取值范围是________．15．已知函数，给出如下四个结论：①对任意，都不是偶函数；②任取，，在上单调递减；③任取，，在上单调递减；④存在，使得当且时，恒成立；其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共85分16．设等差数列的公差不为0，，且．(1)求的通项公式：(2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值．17．生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）18．“诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下：时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号搜索量6.28.16.17.28.17.46.26.56.48.38.16.3假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率．(1)从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；(2)在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列；(3)在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率．19．已知函数．(1)求在上的最大值和最小值；(2)求过原点的切线方程．20．已知函数．(1)求在处的切线方程；(2)判断的单调性；(3)若不等式在上无解，求的取值范围．21．已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”．(1)对于，直接判断是否“2级恒负”，是否“4级恒正”；(2)当时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列：(3)已知，数列既“级恒正”又“级恒负”，求的最大值（用表示）．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】利用a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解.【详解】∵an=2an-1+1

,∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31，故选D.【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求数列的项，常见方法：依次代入法，迭代法，构造等比（等差）数列法.2．B【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案．【详解】解：因为，所以选项不正确；，所以选项正确；，所以选项不正确；，所以选项不正确．故选：．3．A【详解】设等差数列的公差为，由，，可得，解得，所以数列的首项与公差依次为.4．B【分析】根据导函数与原函数的关系判断.【详解】设导函数图象与轴交点为，则，由图象知，时，，单调递增，时，，递减，又的图象过原点，所以时，，点在第三象限，所以图象不过第二象限；函数在上单调递增，所以，即点在第一象限；因为函数在上单调递减，且递减速度越来越快，所以函数图象一定会经过第四象限.5．C【详解】设“取出的三个小球最大编号为5”为事件A，所以.6．B【分析】求得，根据题意，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得，因为在区间上是减函数，可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据二次函数的性质，则满足，解得，7．A【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得，结合基本不等式即可求解.【详解】因为等差数列的前20项的和为，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为25.8．C【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件.【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数，若，二次函数开口向下，当时，，即不可能有最小值，所以有最小值，即，而时，，数列单调递增，充分性成立，若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数，开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值，（即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立，综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件.9．D【详解】由图象可知，当时，；当时，；当时，；当时，；所以在处取极大值，故A正确；由当时，，可得在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和，所以在上存在最小值，故C正确；若，，，，，函数在上至多有4个零点，故D错误.10．B【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案.【详解】设数列的公差为，设数列的公差为.因为等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0，所以首项和公差为整数，即，若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符，故数列是递减数列，即，而，所以，若要求的最小值，只需求的最小值，若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为，下面分析最小值：当时，，此时的最小值必定大于等于；当时，，此时的最小值必定大于等于，接下来验证时是否满足题意，因为，在的最小值为16的情况下，，解得，若或，满足题干所有条件，若最小值为时，则，不可能，因公差必须是整数！若最小值为8时，则，由题设条件可推得，而已知，故，所以不可能为，故最小值不能为8.综上的最小值为.11．【分析】分别求出和，再代入公式计算．【详解】事件为“甲骰子点数为3”，甲骰子出现点数3只有1种情况，而每枚骰子有6种可能的点数，同时投掷两枚骰子，总共有种不同的结果．可得．事件表示“甲骰子点数为3且两枚骰子点数之和为8”，设甲骰子的点数为，乙骰子的点数为，则且，那么，即只有这1种情况．根据古典概型概率公式可得．所以．12．【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由函数，可得，且，即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为，即.13．91【详解】；当时，，时，，时，，符合通项公式，，当时，单调递减，令，解得，当时，，，当时，，，当时，随增大而增大，故的最小值为1．14．【分析】将原不等式移项整理得，构造函数，将条件转化为在单调递增，求导后转化为导数非负恒成立，分离参数求的范围.【详解】原不等式，，移项得，说明函数在上单调递增，即对任意恒成立.对求导得，整理不等式，两边同乘得.对二次函数，时，的最大值为​.要使恒成立，只需​，即的取值范围是.15．①②③【分析】求得函数的定义域为，利用函数的奇偶性可判断①；求导得，令，则利用函数的连续性判断②；利用，，可判断③；分和两种情况求得的值可判断④.【详解】函数的定义域为，若对存在，使都是偶函数，则对恒成立，所以，所以，则，与对恒成立矛盾，所以不存在，使都是偶函数，所以对任意，都不是偶函数，故①正确；由，得，令，则，由的连续性，存在，当时，，结合，可得存在，当时，，所以函数在上单调递减，故②正确；为开口向下的二次函数，当，，因此，存在，当，使得，可得，即在上单调递减，故③正确；当时，，若，则，所以，所以；当时，，若，则，所以，所以；所以，这与矛盾，故不存在，使得当且时，恒成立，故④错误.16．(1)(2)8【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求解出，然后写出的通项公式.（2）先写出，然后求解关于的不等式，解出即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，．，，解得或（舍）．所以的通项公式为．（2）由题意可得，令，解得或（舍），故使成立的的最小值为8．17．(1)(2)的分布列为：(3)【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.（3）通过计算，，来确定正确答案.【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：所以.（3），证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为所以所以.18．(1)(2)0123(3)【详解】（1）设“当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低”为事件，总天数10天，满足条件的天数为3天（3号、7号、9号），因此．（2）在未来的日子里任取一天，设“当日搜索量数据高于8万”为事件，12天中，搜索量高于8万的有：2号、5号、10号、11号，共4天，用频率估计概率，，，，，．分布列为0123（3）设“这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据”为事件，“第天高于8万”为事件，“第天低于7万”为事件，“第天不低于7万且不高于8万”为事件，，由（2）可得，同理可得，，则．19．(1)最大值为，最小值为(2)和【分析】（1）先对原函数求导，找到导函数在区间内的零点，利用导数研究函数的单调性，比较极值点和区间端点的函数值即可得到函数的最值；（2）设出切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标求解切点横坐标，由点斜式即可得到切线方程.【详解】（1）由得，令得或，，，，，当在上变化时，的变化情况如下表：0230+00因为，所以在上的最大值为，最小值为．（2）因为，所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在.设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率，所以切线方程为，由切线过原点得，即，解得或.当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为；当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即．综上，所求切线方程为和．20．(1)(2)在上单调递增(3)【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程；（2）求导，判断导数的正负，进而判断的单调性；（3）参变分离，转成恒成立问题，然后构造函数，利用导数求最值即可得到答案.【详解】（1）因为，，，所以在处的切线方程为，即.（2）因为，令，则，令，则，又，10+单调递减0单调递增所以在处取得极小值（也是最小值）0，即，所以（当且仅当时为零），因此在上单调递增.（3）不等式无解，即对任意有，即恒成立，令，则，则在上，，单调递减，因此，因此的取值范围是.21．(1)不是“2级恒负”，是“4级恒正”．(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）利用反证法结合新定义求证即可；（3）先构造满足条件的时的数列，再证明当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列．【