2027届新高考数学热点精准复习+成对数据的统计分析

2027届新高考数学热点精准复习成对数据的统计分析【课标要求】1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.3.了解一元线性回归模型的含义.4.了解模型参数的统计意义.5.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会用一元线性回归模型进行预测.6.理解2×2列联表的统计意义.7.了解2×2列联表独立性检验及其应用.【知识要点】1.两个变量的线性相关(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图.利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关.(3)正相关在散点图中，如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现

的趋势，则称这两个变量正相关.

(4)负相关在散点图中，如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现

的趋势，则称这两个变量负相关.

增加减少(5)线性相关①一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在

附近，我们就称这两个变量线性相关.

②一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.一条直线

(2)相关系数r的性质①当r>0时，称成对样本数据

相关;当r<0时，称成对样本数据

相关;当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为

.

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越

;

当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越

.

负[-1，1]正强弱

观测值预测值观测值预测值

越小(3)刻画回归效果的方式①残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标为自变量x，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.

大小

合计合计

6.独立性检验(1)小概率值α基于小概率值α的检验规则:当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.常用的小概率值和相应的临界值如下表:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)独立性检验的定义:利用随机变量

的取值推断分类变量X和Y

的方法称为χ2独立性检验，简称独立性检验.

(3)独立性检验的步骤①提出零假设H0:X和Y相互独立，并给出在问题中的解释.②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较.③根据检验规则得出推断结论.④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.χ2是否独立【基础检测】概念辨析

×√×××教材改编2.[选择性必修3p95T2]如图所示的两个变量不具有相关关系的有

.(填序号)

①④[解析]

①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一条曲线周围;③中的点大都分布在一条直线周围;④中的点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系.3.[选择性必修3p95T2]两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(

)A.①②③

B.②③①C.②①③

D.①③②D[解析]

第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关;第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关;第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，是不相关，所以应该是①③②.

A

5.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位:dm2)与水生植物的株数y(单位:株)之间有相关关系，收集了4组数据，用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系，设z=lny，x与z的数据如表格所示:x3467z2.5345.9

e-0.05

考点1成对数据的统计相关性角度1.变量间相关关系的判断例1

(1)(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(

)A.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强BCD[解析]

由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都分布在直线附近，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误.(2)(多选)下列说法正确的是(

)A.在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强B.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好BCD[解析]

对于A.在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，变量间的相关性越强，故A错误;对于B.根据相关关系的定义知B正确;对于C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故C正确;对于D.在回归分析中，R2的值越大，模型拟合的效果越好，故D正确;故选BCD.[小结]对两个变量的相关关系的判断有两个方法:一是根据散点图进行判断，具有很强的直观性，直接得出两个变量是正相关或负相关，线性回归分析以散点图为基础，拟合效果的好坏可由散点图直接判断;二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对值越接近1，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关，强相关和弱相关.角度2.相关系数的计算及应用例2

(2025·全国·模拟预测)氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式.下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量(单位:万吨)的折线图，其中，年份代码1~9分别对应年份2014~2022.

(1)是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请用折线图和相关系数加以说明;

(2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量?请说明理由.

[解析]

(2)可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下:①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续(1)中的线性趋势，故可以用(1)中的回归模型进行预测;②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用(1)中的回归模型预测是不准确的.1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表:

甲乙丙丁r-0.82-0.78-0.69-0.85则结果体现A，B两变量有更强的线性相关性的试验者是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁D[解析]

∵0.85>0.82>0.78>0.69，且相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，∴能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.故选D.对应训练2.根据身高和体重散点图，下列说法正确的是(

)A.身高越高，体重越重B.身高越高，体重越轻C.身高与体重正相关D.身高与体重负相关C[解析]

由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确;由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势，所以身高与体重正相关，C正确，D错误.故选C.

(1)现从这4个班中各随机抽取5名学生，统计这20名学生的数学成绩如下表:

数学成绩普通班61，62，62，70，71，72，73，74，74，81实验班76，82，82，83，84，87，88，90，93，95请根据以上样本数据，估计该次考试试题的难度和区分度;考试序号123456难度x0.650.710.730.760.770.82区分度y0.120.160.160.190.200.13(2)为了研究试题的区分度与难度的关系，调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据，得到下表:

(1)现从这4个班中各随机抽取5名学生，统计这20名学生的数学成绩如下表:

数学成绩普通班61，62，62，70，71，72，73，74，74，81实验班76，82，82，83，84，87，88，90，93，95请根据以上样本数据，估计该次考试试题的难度和区分度;

(2)为了研究试题的区分度与难度的关系，调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据，得到下表:考试序号123456难度x0.650.710.730.760.770.82区分度y0.120.160.160.190.200.13

[解析]②由于r≈0.326∈[0.30，0.75)，故两者之间相关性非常一般，不适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系，即使用线性回归模型来拟合，效果也不理想.考点2回归模型角度1.线性回归模型例3

(2025·上海)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位:秒)，数据按照升序排列.206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求这组数据的极差与中位数;

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率;

角度2.非线性回归模型例4红铃虫(Pectinophoragossypiella)是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①y=ebx+a，②y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

(2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.(参考数据:e5.18≈178，e5.46≈235，e5.5≈245，e5.83≈340)

252.8964616842268848.4870308(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型?并说明理由;[解析](1)应该选择模型①.

由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适.(2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.(参考数据:e5.18≈178，e5.46≈235，e5.5≈245，e5.83≈340)

252.8964616842268848.4870308

[小结]非线性回归问题有时并不给出经验公式.可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归模型问题，使之得到解决.4.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568

对应训练

(2)预计在今后的销售中，销量与单价服从(1)中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

5.随着经济的发展，某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额):年份x20212022202320242025储蓄存款y(千亿元)567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x-2020，z=y-5得到下表:时间代号t12345z01235

(1)求z关于t的经验回归方程;

(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程;

6.(2025·浙江台州·二模)某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费xi(单位:百万元)和年销售量yi(单位:百万辆)关系如图所示:令vi=lnxi(i=1，2，…，5)，数据经过初步处理得:444.81040.31.61219.58.06现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?(2)根据(1)的分析，选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少?

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)根据(1)的分析，选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少?

考点3独立性检验例5

(2025·山东临沂·二模)体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生40a

女生b25

合计

100

α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828(1)求a，b;

α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828[解析](2)零假设H0:喜爱足球运动与性别无关.作出列联表如下:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生401555女生202545合计6040100

7.环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x(单位:辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y(单位:μg/m3).调研人员采集了50天的数据，制作了关于(xi，yi)(i=1，2，3，…，50)的散点图，并用直线x=1500与y=100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8.对应训练(1)完成下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“PM2.5的平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”有关联?PM2.5的平均浓度y汽车日流量x总计x<1500x≥1500y<100

y≥100

合计

[解析](1)2×2列联表如下:PM2.5的平均浓度y汽车日流量x总计x<1500x≥1500y<10016824y≥10062026合计222850

α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828

考点4残差分析及应用例6车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下:行驶里程/万km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15轮胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.(1)根据散点图，可认为散点集中在直线y=bx+a附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数(保留两位小数)，并推断它们线性