九年级数学中考总复习几何模型专题12345模型讲义

各位同学，在初中几何的学习中，我们常常会遇到一些与角度计算相关的问题，尤其是在综合题中，角度的转化与求解往往是解题的关键。今天我们要探讨的“____”模型，就是一个在处理特定角度关系时非常实用的工具。它并非一个特指的复杂定理，而是对一类常见角度正切值关系的巧妙总结与应用，能帮助我们快速识别和解决问题。一、模型的核心内容“____”模型的核心，概括来说，是指当一个三角形（通常是直角三角形）中出现某些特定边长比例关系时，其对应的锐角角度之间存在着固定的数量关系。具体而言，这个模型揭示了如下的角度正切值规律：若两个锐角的正切值分别为1/2和1/3，则这两个角的和为45°。我们来详细阐释一下。假设在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=1/2，tanB=1/3，那么∠A+∠B=45°吗？不对，因为在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°是固定的。所以，这里的两个锐角并非同一个直角三角形的两个锐角，而是指在不同情境下出现的两个独立锐角。更准确地说，应该是：如果有两个锐角α和β，满足tanα=1/2，tanβ=1/3，那么α+β=45°。同样，我们还可以得到它的“反向”或“衍生”结论：如果tanα=1，tanβ=2，tanγ=3，那么β+γ=135°（因为tan(β+γ)=tan(180°-45°)=-1），或者说，若α=45°，则β=α+γ或γ=α+β（具体看图形中的位置关系）。不过，最核心、最常用的还是“1/2+1/3=45°”这个基本表述。二、模型的推导与验证为什么tanα=1/2，tanβ=1/3时，α+β=45°呢？我们可以通过构造几何图形或利用三角函数的和角公式来验证。方法一：构造矩形（或网格）验证我们可以构造一个边长为3x2的矩形ABCD。在矩形中，我们尝试构造出这两个角。例如，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2。在AD上取一点E，使得AE=1（则ED=1）。连接BE、CE。此时，在Rt△ABE中，tan∠ABE=AE/AB=1/3，所以∠ABE=β。在Rt△CDE中，tan∠DCE=ED/CD=1/3？不，CD=AB=3，ED=1，所以tan∠DCE=1/3，也是β。这不是我们想要的。换一种构造方式。我们取矩形ABCD，AB=3，AD=1。在AB上取点E，使AE=1，EB=2。连接DE。在Rt△ADE中，tan∠ADE=AE/AD=1/1=1，所以∠ADE=45°。在Rt△BDE中，BD可由勾股定理求得：BD=√(BE²+AD²)=√(2²+1²)=√5。此时tan∠BDE=BE/AD=2/1=2。那么∠ADE是45°，∠BDE的正切是2，那么∠ADB=∠ADE-∠BDE？不对，点E在AB上，D在右下角，所以∠ADB应该是∠ADE+∠EDB？似乎有点混乱。换一个经典的构造：画一个单位正方形（边长为1），然后以某顶点为起点，向右延长2个单位，向上延长1个单位，连接端点形成三角形。或者，考虑在平面直角坐标系中，点A(0,0)，点B(2,1)，则直线AB的斜率为1/2，即与x轴正方向夹角α的正切tanα=1/2。再取点C(3,1)，则直线AC的斜率为1/3，即与x轴正方向夹角β的正切tanβ=1/3。连接BC，我们可以计算△ABC的角度。不过计算起来略显繁琐。方法二：利用三角函数和角公式根据三角函数的和角公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。当tanα=1/2，tanβ=1/3时，tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1-(1/2)(1/3))=(5/6)/(1-1/6)=(5/6)/(5/6)=1。因为α和β都是锐角，所以α+β∈(0°,180°)，而在这个区间内，tanθ=1时，θ=45°。因此，α+β=45°。得证。这个推导过程简洁明了，也更具说服力。三、模型的应用策略“____”模型的应用，关键在于在复杂图形中识别出具有正切值为1/2、1/3、1、2、3的角，然后利用它们之间的和差关系（特别是和为45°或90°、135°等特殊角）来进行角度的转化和计算。应用场景举例：1.直接利用角度和差：当题目中出现两个角，它们的正切值分别为1/2和1/3时，我们可以直接判断它们的和为45°。反之，如果已知一个角为45°，且其中一个部分角的正切值为1/2，那么另一部分角的正切值应为1/3。2.构造直角三角形求正切值：在一些非直角三角形或复杂图形中，通过作高、作垂线等辅助线，构造出包含待求角或已知角的直角三角形，从而计算出相应的正切值，再看是否符合“____”模型的特征。3.结合勾股定理求边长：当已知某些边的比例关系符合模型中tan值的比例时，可以设未知数表示边长，再利用勾股定理或其他几何关系求解。例题示范：例1：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且BD=DC，tan∠ABD=1/3，求tanA的值。分析与解答：设DC=BD=x。在Rt△BDC中，因为BD=DC，所以∠DBC=45°。设AD=y，AB=c，AC=y+x，BC=a。tan∠ABD=1/3，∠ABD=α，则tanα=1/3。而∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+45°。tan∠ABC=tan(α+45°)=(tanα+tan45°)/(1-tanαtan45°)=(1/3+1)/(1-1/3*1)=(4/3)/(2/3)=2。在Rt△ABC中，tan∠ABC=AC/BC=(y+x)/a=2。同时，在Rt△BDC中，BC=a=DC*cos45°=x√2/2？不，BD=DC=x，∠C=90°，所以BC=√(BD²-DC²)？不对，BD=DC，∠C=90°，那△BDC是等腰直角三角形，所以BC=DC=x，∠DBC=45°。啊，对！我刚才想复杂了。BD=DC，∠C=90°，所以BC=DC=x，∠DBC=45°。那么tan∠ABC=AC/BC=(AD+DC)/BC=(y+x)/x=2。所以(y+x)/x=2=>y=x。所以AC=x+x=2x，BC=x。则tanA=BC/AC=x/(2x)=1/2。答案：tanA的值为1/2。（此题中，∠ABD的正切为1/3，∠DBC为45°，则∠ABC的正切为2，符合“1/3”与“2”和“45°”的关系。）例2：如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，若tan∠FCB=1/2，求BE/EC=?分析与解答：（请自行画出示意图：正方形ABCD，E在BC上，F是B翻折后的落点。）设正方形边长为a，BE=x，则EC=a-x。翻折后，AF=AB=a，EF=BE=x，∠AFE=∠B=90°。过点F作BC的垂线，垂足为G，交AD于H。则FH⊥AD，FG⊥BC。设FH=m，AH=n，则HG=a，FG=a-m。在Rt△AFH中，AH²+FH²=AF²，即n²+m²=a²...(1)∠FCB的正切值为1/2，在Rt△FGC中，tan∠FCB=FG/GC=1/2，所以GC=2FG=2(a-m)。则EG=EC-GC=(a-x)-2(a-m)=2m-a-x。又因为EF=x，在Rt△EFG中，EG²+FG²=EF²，即(2m-a-x)²+(a-m)²=x²...(2)同时，由翻折的性质，∠BAE=∠FAE，tan∠BAE=BE/AB=x/a。在Rt△AFH中，tan∠FAH=FH/AH=m/n，而∠FAH=90°-2∠BAE（因为∠BAD=90°），这个关系可能较复杂。换个思路，考虑∠AEB=∠AEF（翻折），∠AEB的正切是AB/BE=a/x。∠AEF=∠AEB，而∠AEF+∠FEG=180°-∠BEA（平角）？或者看∠FEG与∠AEB的关系，它们的正切值是否有联系？在Rt△EFG中，tan∠FEG=FG/EG=(a-m)/(2m-a-x)。而∠AEB+∠FEG=180°-∠AEF=180°-∠AEB，所以2∠AEB+∠FEG=180°，这个似乎也不好用。我们回到FG和EG。我们还可以考虑四边形ABEH，AH=n，BE=x，EH=a-n（因为AD=BC=a，AH=n，所以HD=a-n，而HG=a，所以BG=AH=n？因为FH⊥AD，FG⊥BC，AD//BC，所以四边形AHGB是矩形？是的！AH=BG=n，所以GC=BC-BG-EG？不，BG=n，所以EG=BG-BE=n-x（如果G在B和E之间）。这取决于F的位置。假设F在正方形内部，那么H在AD上，G在BC上，且G在B和E之间。则BG=AH=n，EG=BE-BG=x-n。GC=BC-BG=a-n。由tan∠FCB=FG/GC=(a-m)/(a-n)=1/2，所以a-n=2(a-m)=>n=2m-a...(3)将(3)代入(1)：(2m-a)²+m²=a²=>4m²-4am+a²+m²=a²=>5m²-4am=0=>m(5m-4a)=0。因为m>0，所以m=(4a)/5。代入(3)：n=2*(4a/5)-a=8a/5-a=3a/5。EG=x-n=x-3a/5。在Rt△EFG中，EG²+FG²=EF²，FG=a-m=a-4a/5=a/5。所以(x-3a/5)²+(a/5)²=x²展开：x²-(6a/5)x+9a²/25+a²/25=x²化简：-(6a/5)x+10a²/25=0=>(6a/5)x=2a²/5=>6x=2a=>x=a/3。所以BE=a/3，EC=a-a/3=2a/3。因此，BE/EC=(a/3)/(2a/3)=1/2。答案：BE/EC的值为1/2。（此题中，tan∠FCB=1/2，通过构造直角三角形，结合翻折性质和勾股定理，最终求出边长比例。虽然没有直接用到两个角的和为45°，但构造直角三角形求正切值是“____”模型应用的基础思路。）四、模型拓展与反思“____”模型不仅仅是几个角度正切值的简单组合，它更像是一种提示，告诉我们当题目中出现比例为1:2、1:3、2:3等边长关系的直角三角形时，要联想到45°角的可能存在。*模型的本质：它是三角函数和角公式在特定值下的应用结果，体现了数形结合的思想。*灵活运用：不要死记硬背“____”这几个数字，而是要理解其背后的角度关系。看到1/2和1/3要想到45°；看到1和2，1和3也要想到可能存在的特殊角度关系（如前面提到的tanβ=2，tanγ=3，则β+γ=135°）。*辅助线构造：当直接观察不到模型特征时，尝试通过作高、平移、翻折等方式构造出直角三角形，从而创造出符合模型的条件。*综合应用：这个模型往往不是孤立使用的，它需要与其他几何知识（如全等、相似、勾股定理、圆的性质等）结合起来，才能发挥最大威力。五、巩固练习请同学们尝试解决以下问题，体会“____”模型的应用：1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BD，tan∠CAD=1/3，求∠B的正切值。2.