2026重庆中考数学第22题专题训练一

2026重庆中考数学第22题专题训练一——圆的切线证明与相关计算在重庆中考数学试卷中，第22题往往承载着对学生几何综合运用能力的考查，其中，与圆相关的证明与计算是这一位置的常客。这类题目不仅要求学生掌握圆的基本性质，更强调对全等、相似、勾股定理等知识的综合运用，以及辅助线添加技巧的熟练掌握。本专题将聚焦圆的切线证明及其相关计算，通过对核心考点的梳理、解题策略的归纳以及典型例题的深度剖析，帮助同学们建立清晰的解题思路，提升应对此类问题的信心与能力。一、核心考点与解题策略梳理圆的切线，其“垂直”特性是绕不开的核心。无论是证明一条直线是圆的切线，还是已知切线后进行相关计算，都离不开“切线垂直于过切点的半径”这一关键性质。1.切线的判定证明：这是第22题中常见的第一问。证明切线，通常有两种主流思路：*“连半径，证垂直”：若题目中已明确给出直线与圆的公共点（即切点已明示或可轻易指出），那么我们只需连接圆心与该公共点（得到半径），然后通过计算角度、利用全等三角形、等腰三角形性质或平行线性质等方法，证明这条半径与待证切线垂直即可。这是最常用也最直接的方法。*“作垂直，证半径”：若题目中未明确给出公共点，或难以直接确定切点位置，则可过圆心向待证直线作垂线，然后通过计算或证明，说明这条垂线段的长度等于圆的半径。这种情况相对少见，但也需要掌握其基本思路。2.切线的性质应用：一旦某直线被证明是圆的切线，或题目直接告知某直线是圆的切线，那么“切线垂直于过切点的半径”这一性质就可以直接运用。这通常是后续计算或进一步证明的重要依据，能为我们提供直角条件，进而构建直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数解决问题。3.常用辅助线：在解决圆的综合题时，恰当添加辅助线往往是解题的关键。除了上述判定切线时提到的“连半径”或“作垂直”外，遇到直径时，常联想到“直径所对的圆周角是直角”；遇到弦时，可能需要“作弦心距”利用垂径定理；遇到圆内接四边形，要想到“对角互补”等。这些辅助线的添加，需要结合具体题目条件灵活运用。二、典型例题精析例题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长。(1)证明：要证明DE是⊙O的切线，已知D点在⊙O上（因为D在AB上且OA为半径，OD也是半径），所以我们采用“连半径，证垂直”的思路，即连接OD，证明OD⊥DE即可。连接OD。因为OA=OD，所以△OAD是等腰三角形，∠OAD=∠ODA。因为EF是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，EB=ED，所以△EBD是等腰三角形，∠EDB=∠EBD。在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠OAD+∠EBD=90°（因为∠OAD是∠A，∠EBD是∠B，直角三角形两锐角互余）。等量代换可得：∠ODA+∠EDB=90°。又因为∠ODA+∠ODE+∠EDB=180°（平角定义），所以∠ODE=180°-(∠ODA+∠EDB)=180°-90°=90°。即OD⊥DE。又因为OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。(2)解：要求DE的长，由(1)知EB=ED，设DE=EB=x。因为BC=8，所以EC=BC-EB=8-x。在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。已知OA=2，AC=6，所以OC=AC-OA=6-2=4。AD是⊙O的弦，OA=OD=2，我们可以过O作OH⊥AD于H，利用垂径定理求出AD的长，但或许有更简便的方法。我们可以求出AD的长度，进而得到BD的长度，再在Rt△DEF或其他直角三角形中利用勾股定理。或者，考虑在Rt△OCD中？似乎不直接。我们连接OD后，OD=2，∠ODE=90°，如果能表示出OE的长度，或许可以在Rt△ODE中利用勾股定理。OE可以放在Rt△OCE中，OC=4，EC=8-x，所以OE²=OC²+EC²=4²+(8-x)²。在Rt△ODE中，OD=2，DE=x，OE²=OD²+DE²=2²+x²。因此，4²+(8-x)²=2²+x²。展开得：16+64-16x+x²=4+x²。化简得：80-16x=4，即16x=76，解得x=76/16=19/4。所以线段DE的长为19/4。解题反思：本题第一问切线的证明，关键在于利用垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而通过角的等量代换证明垂直关系。第二问则是利用勾股定理，通过设未知数，在两个不同的直角三角形中表示出同一条线段（OE）的平方，从而建立方程求解。这种方程思想在几何计算中非常重要，尤其是在涉及边长未知的情况下。三、专题训练与巩固提升练习题1：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线交BA的延长线于点D，过点B作BE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AC，AF。(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AD=3，CD=4，求BE的长。练习题2：在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F。(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C=60°，AC=6，求EF的长。(提示：练习题1中，连接OC是关键；练习题2中，连接OD，利用等腰三角形性质证明OD∥AC是突破口。)四、总结与展望通过本次专题训练，我们重点攻克了圆的切线证明与相关计算问题。切线的证明是基础，要牢牢掌握“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”这两种基本思路，并能根据题目条件灵活选择。在计算方面，勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用是核心，方程思想、转化思想的渗透能帮助我们更高效地解决问题。第22题作为中考数学中的中档偏难题，其综合性较强，对学生的分析能力和解题技巧要求较高。在后续的专题训练中，我们还将针对动态几何、图形