人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》导学案及试题

引言同学们，我们已经学习了三角形的一些基本概念和性质。在现实生活中，我们常常会看到形状和大小完全相同的图形，比如我们使用的数学课本的封面、两面完全一样的三角尺等。这些能够完全重合的图形给我们带来了“全等”的直观感受。本章我们将深入学习“全等三角形”，探索它们的性质、判定方法，并运用这些知识解决实际问题。全等三角形是平面几何的入门和基础，学好这一章对后续几何学习至关重要。一、导学案部分（一）学习目标1.知识与技能：*理解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素。*掌握全等三角形的性质，并能运用性质解决简单的问题。*熟练掌握判定三角形全等的基本方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），并能灵活运用这些方法判定两个三角形全等。*会利用全等三角形证明线段相等、角相等。2.过程与方法：*通过观察、操作、归纳、推理等数学活动，体验全等三角形概念的形成过程和判定方法的探究过程。*在解决问题的过程中，学会分析图形，能准确找出对应边、对应角，培养逻辑推理能力和空间想象能力。3.情感态度与价值观：*通过对全等三角形的学习，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。*在合作与交流中，培养团队协作精神，体验成功的喜悦。（二）知识梳理与要点解析1.全等形与全等三角形*全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。*注意：全等形关注的是形状和大小，与位置无关。*全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。*表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。*例如：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。*书写规范：表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以方便地找出对应边和对应角。2.全等三角形的性质*性质1：全等三角形的对应边相等。*几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF。*性质2：全等三角形的对应角相等。*几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。*引申：全等三角形的周长相等，面积相等；全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的平分线也分别相等。（这些是由基本性质推导出来的）3.三角形全等的判定方法*边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。*几何语言：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF(SSS)。*此判定方法表明，只要三角形的三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原因。*边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*几何语言：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF(SAS)。*注意：这里的角必须是两条对应边的夹角，“SSA”不能判定两个三角形全等，这一点需要特别留意，可以通过画图举例来理解。*角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*几何语言：在△ABC和△DEF中，若∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF(ASA)。*角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。*几何语言：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF(AAS)。*ASA和AAS统称为“角角边”，它们的区别在于已知相等的边是夹边还是对边。*斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（这是直角三角形特有的判定方法）*几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE（斜边），AC=DF（直角边），则Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。*注意：HL仅适用于直角三角形，且必须是斜边对应相等和一条直角边对应相等。4.证明三角形全等的一般思路与注意事项*明确目标：要证什么？（哪两个三角形全等？要证哪条边或哪个角相等，从而需要先证三角形全等？）*分析条件：已知什么？图形中隐含什么条件？（如公共边、公共角、对顶角相等、角平分线定义、垂直定义等）*选择方法：根据已知条件和图形特点，选择合适的判定方法。*已知两边：找夹角（SAS）或第三边（SSS）；若是直角三角形，可考虑HL。*已知两角：找夹边（ASA）或任一角的对边（AAS）。*已知一边一角：*若边为角的夹边：找另一角（ASA或AAS）。*若边为角的对边：找另一角（AAS）。*规范书写：证明过程要条理清晰，步步有据。通常格式为：1.准备条件：证全等所需的间接条件要先证出来。2.写出在哪两个三角形中。3.摆出三个条件（按判定方法的顺序）。4.得出全等结论（注明判定方法）。5.由全等得到对应边或对应角相等（若需要）。*注意对应：在书写过程中，要始终注意对应顶点、对应边、对应角的准确表述。5.利用全等三角形解决实际问题*常见类型：测量无法直接到达的两点间的距离、判断图形是否全等、证明线段或角的数量关系等。*关键思想：将实际问题转化为数学问题，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决。（三）典型例题分析例1：如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC。求证：△ABC≌△DEF。分析：要证△ABC≌△DEF，已知AB=DE，BC=EF，这是两组对应边相等。我们需要找到第三组对应边相等或者它们的夹角相等。题目中还给出AF=DC，观察图形可知，AF+FC=AC，DC+FC=DF，所以AC=DF。这样就有了三组对应边相等，可以用SSS来判定。证明：∵AF=DC（已知）∴AF+FC=DC+FC（等式的性质）即AC=DF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）BC=EF（已知）AC=DF（已证）∴△ABC≌△DEF(SSS)例2：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD=BC。求证：AB=CD。分析：要证AB=CD，观察图形，AB和CD分别在Rt△ABD和Rt△CDB中。已知AD=BC，且两个三角形都是直角三角形，BD是它们的公共边。所以可以考虑用HL来证明这两个直角三角形全等，从而得到AB=CD。证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）∴∠ABD=∠CDB=90°（垂直的定义）在Rt△ABD和Rt△CDB中AD=CB（已知）BD=DB（公共边）∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）（四）学习反思与总结*本章的核心内容是什么？你认为哪些知识点最难掌握？*在证明三角形全等时，你经常会忽略哪些隐含条件？*“SSA”为什么不能判定两个三角形全等？你能举出反例吗？*通过本章学习，你在逻辑推理能力方面有哪些提升？二、试题部分（一）填空题（每空3分，共15分）1.已知△ABC≌△A'B'C'，∠A=50°，∠B=60°，则∠C'=______度。2.如图，△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=______度。(第2题图-示意：两个三角形共用顶点O，OA与OB，OD与OC对应)3.如图，AB=AC，要使△ABD≌△ACD，若利用“SAS”，则还需添加条件______；若利用“SSS”，则还需添加条件______。(第3题图-示意：△ABC中，AB=AC，AD为一条线段)4.小明想测量池塘两端A、B的距离，他先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离。他这样做的依据是三角形全等的判定方法______（填字母简写）。（二）选择题（每题4分，共20分）1.下列图形中，全等的是（）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.边长相等的两个等边三角形2.在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，∠B=∠E，要使这两个三角形全等，还需添加一个条件，这个条件不可以是（）A.AB=DEB.BC=EFC.AC=DFD.∠C=∠F3.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去。A.第①块B.第②块C.第③块D.带①和②块(第3题图-示意：①仅一个角；②两个角和夹边；③一个角和部分边)4.下列说法中，正确的是（）A.三个角对应相等的两个三角形全等B.周长相等的两个三角形全等C.全等三角形的面积相等D.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等5.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF、CE。下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE。其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个(第5题图-示意：AD是△ABC中线，E在AD上，F在AD延长线上，DE=DF)（三）解答题（共65分）1.（10分）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。(示意图：△ABC和△DEF，B、E、C、F共线，BE=CF，AB=DE，AC=DF)2.（10分）已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2。求证：BC=DE。(示意图：∠1和∠2为公共顶点处的两个角，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE)3.（12分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC。求证：△ADC≌△BDF。(示意图：AD⊥BC，BE⊥AC，交点F，BF=AC)4.（13分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。（1）求证：CD=DE；（2）若AB=6cm，求△DEB的周长。(示意图：Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB)5.（18分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE。（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=AC=2，∠BAC=40°，求∠ACE的度数。(示意图1：D在BC上，△ADE在AD右侧，∠DAE=∠BAC；示意图2：D在BC延长线上)参考答案与提示（部分）（一）填空题1.702.953.∠BAD=∠CAD(或AD平分∠BAC)；BD=CD4.SAS（二）选择题1.D2.D3.C4.C5.D（三）解答题（提示要点）1.提示：先证BC=EF（因为BE=CF，所以BE+EC=CF+EC），再用SSS证△ABC≌△DEF，从而∠A=∠D。2.提示：由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再用SAS证△ABC≌△ADE。3.提示：由AD⊥BC，BE⊥AC，可得∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°。在Rt△AEF和Rt△BDF中，∠AFE=∠BFD（对顶角），所以∠EAF=∠DBF。再结合BF=AC，用AAS证△ADC≌△BDF。4.（1）提示：角平分线上的点到角两边的距离相等（或用AAS证△ACD≌△AED）。（2）提示：先证AC=AE=BC，CD=DE，所以△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=