小学四年级数学《密铺：图形与空间的艺术》活动课教学设计

小学四年级数学《密铺：图形与空间的艺术》活动课教学设计

一、教学背景分析

（一）教材分析

本课《密铺》是北京师范大学出版社四年级下册“数学好玩”单元的核心内容，属于图形与几何领域的综合实践活动。教材从生活场景中的瓷砖铺设切入，引导学生通过观察、操作、想象、推理，发现哪些平面图形能够实现无空隙、不重叠的密铺，并初步感悟密铺与图形内角和的关联。该内容不仅承载着巩固多边形特征、发展空间观念的知识功能，更肩负着培养学生数学审美、创新意识及跨学科思维的重任。【非常重要】【热点】教材编排从“铺一铺”的感性操作上升到“为什么能密铺”的理性追问，体现了从直观到抽象的螺旋上升路径，是小学阶段图形认知从定性描述走向定量刻画的衔接点。

（二）学情分析

四年级学生已系统认识长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形及一般多边形，掌握了角的度量与内角和计算方法，具备初步的动手操作能力和小组合作经验。然而，学生对“密铺”概念缺乏明确界定，往往将“铺满”等同于“无缝隙”，忽略“形状相同、顶点重合”等核心条件；在探究密铺原理时，多数学生停留于“拼摆成功”的浅层满足，难以自主关联“拼接点周围角度之和是否为360°”这一本质规律。【难点】此外，学生虽接触过埃舍尔作品等艺术素材，但尚未建立数学与艺术、建筑、自然的系统性关联，跨学科迁移能力亟待激活。本课需在“玩数学”的基调下，通过结构化任务群，引领学生从“知其然”走向“知其所以然”。

（三）设计理念

本设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》“三会”核心素养导向——会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。践行“做中学、创中学”理念，以“图形密铺设计师”大情境统领全课，通过“猜想—实验—建模—应用—创生”五阶探究路径，将静态的几何知识转化为动态的思维实践。【非常重要】融合STEAM教育思想，在数学推理主线中嵌入艺术鉴赏、建筑赏析、计算机模拟等跨学科元素，打破学科壁垒，培育学生的高阶思维与综合素养。本课强调过程性评价与增值性评价，借助可视化学习工具与数字化平台，使每个学生的思维轨迹可见、可评、可生长。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能目标：学生能准确说出“密铺”是指用形状、大小相同的平面图形进行拼接，既无空隙又不重叠；能通过拼摆、画图等方式判断给定的单一多边形能否密铺；能运用密铺知识设计简单的密铺图案，并解释设计原理。【高频考点】

2.过程与方法目标：经历观察、猜测、验证、归纳的完整探究过程，在操作活动中发展几何直观与推理意识；借助度量、计算、比较等方法，自主发现“当图形拼接时，拼接点周围各角之和为360°”是密铺的数学本质。【非常重要】

3.情感态度与价值观目标：在“数学好玩”的情感体验中感受图形的对称美与秩序美，增强对数学学习的持久兴趣；通过欣赏古今中外的密铺艺术作品，涵养文化自信与国际理解；在小组协作中形成乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

（二）核心素养指向

1.空间观念与几何直观：通过实物拼摆与虚拟学具双重通道，在图形平移、旋转中建立清晰的心理表象。

2.推理意识与模型意识：从特殊到一般归纳密铺条件，构建“角度和360°”的数学模型，并迁移至正多边形密铺的判断。

3.创新意识与应用意识：将密铺原理应用于生活美化、艺术创作及简单问题解决，实现知识的意义建构。

4.跨学科综合素养：联动美术、建筑、编程等领域的密铺案例，形成“大概念”统领下的认知网络。

三、教学重难点

（一）教学重点

经历密铺条件的探究过程，掌握用相同多边形密铺的基本判定方法，即拼接点处内角和为360°。【高频考点】能运用多种平面图形进行密铺设计，发展空间想象力与创造力。

（二）教学难点

深入理解密铺的数学本质，自主建构“公共顶点处内角和360°”的量化模型，并运用该模型解释任意三角形、四边形均可密铺的原因，突破从“任意性”到“必然性”的认知鸿沟。【难点】【非常重要】

四、教学准备

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含密铺历史演变、埃舍尔作品集、建筑密铺案例、交互式密铺模拟程序（GeoGebra版块）。

2.结构化教具包：磁力片拼接板、大型演示用多边形塑料片（含等边三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意梯形等）。

3.学习任务单：分三个层级（基础验证层、规律发现层、创意设计层），每层级均嵌入自我评价量规。

4.数字化学情反馈系统：即时收集学生拼摆方案，生成可视化数据云图。

5.微课资源：课前发布《奇妙的密铺世界》3分钟微视频，唤醒生活经验。

（二）学生准备

1.学具盒：每人一袋透明彩色塑料图形片（规格统一，含正三角形、正方形、正五边形、正六边形、平行四边形、一般梯形、一般五边形、圆形等）。

2.白纸、直尺、量角器、彩色铅笔、剪刀、胶棒。

3.平板电脑（内置简易密铺设计APP），两人一台。

4.前置性作业：收集身边至少三处密铺实例的照片或实物，上传至班级资源库。

五、教学过程（核心环节，占总篇幅85%以上）

（一）唤醒经验，聚焦问题——从生活走向数学【约6分钟】

1.情境启动，揭示概念

教师播放学生课前收集的密铺照片集锦，画面定格于家庭卫生间墙面、人行道地砖、蜂巢、中式窗格。教师提问：“这些铺法有什么共同特点？你能用手势比划出‘无空隙、不重叠’的状态吗？”学生通过“手牵手围圆圈”模拟拼接点，直观理解密铺的基本特征。【一般】教师顺势揭题，板书“密铺”，并邀请学生用简洁的语言尝试定义密铺——经过多轮修正，全班共识：用形状、大小相同的平面图形，将一块平面区域完全覆盖，图形之间既不留空隙也不互相重叠，这就是密铺。【高频考点】

2.制造认知冲突，催生探究欲

教师出示一个正五边形和一个圆形，提问：“是不是所有图形都能密铺？为什么许多道路井盖是圆形的，但地面铺装却很少用圆形？”学生基于生活经验立刻反应：圆形会留缝隙。教师将圆形与正五边形贴在黑板上，引导观察：“正五边形看上去棱角分明，它能密铺吗？”班级出现明显分歧。【非常重要】教师不做裁决，而是将问题抛给学生：“究竟什么样的图形才能密铺？我们今天就当小小密铺研究员，揭开图形密铺的秘密。”板书副标题：图形密铺的秘密。

（二）操作验证，初建概念——单一图形密铺大探秘【约15分钟】

1.自主选择，初步尝试

学生从学具袋中自主选取正方形、等边三角形、正六边形三种教具，在桌面上尝试密铺。要求：边铺边思考“你是通过什么方法保证不重叠、不留缝的”。【一般】学生很快发现正方形和等边三角形能密铺，但部分小组反馈正六边形也能密铺。教师顺势追问：“看来这三种都能密铺。它们长得完全不同，为什么都具备这种能力？秘密藏在哪里？”

2.聚焦顶点，量化分析

教师引导学生将拼好的图形在拼接处描点，用彩笔标出公共顶点。学生在任务单上记录每个公共顶点处有多少个图形、每个图形的内角是多少度。例如正方形公共顶点处有4个直角，内角和360°；等边三角形公共顶点处有6个60°角，内角和360°；正六边形公共顶点处有3个120°角，内角和360°。学生惊呼：“都是360°！”【非常重要】【高频考点】教师板书核心等式：拼接点周围图形内角和=360°。

3.反例辨析，深化理解

教师展示正五边形拼摆过程（实物投影），无论怎么旋转，始终有缝隙或重叠。学生利用量角器测量正五边形内角108°，尝试3块得324°，4块达432°，无法等于360°。结论水到渠成：正五边形不能密铺。【难点】此时教师郑重归纳：当用一种全等的平面图形密铺时，关键看它能否在公共顶点处拼出360°。这是密铺的第一条黄金法则。

（三）拓展推演，建模思想——任意三角形、四边形皆可密铺【约20分钟】

1.提出挑战，突破思维定势

教师展示一个任意形状的三角形学具（锐角、钝角均可）：“这个三角形既不是等边也不是等腰，它能密铺吗？请大家大胆猜想，并用实验证明。”超过半数学生认为不能，理由是没有规整的角。教师鼓励小组动手操作，允许剪裁多个全等的任意三角形。【非常重要】

2.协作探究，发现平移与旋转

学生将6个任意三角形拼摆后惊喜发现：不仅能够密铺，而且通过旋转、平移，竟然拼出了平行四边形。教师引导思考：“为什么任意三角形都能密铺？”学生再次聚焦内角：三个内角分别是∠1、∠2、∠3，在公共顶点处只要按不同顺序排列，总能凑出∠1+∠2+∠3=180°，两个公共顶点相邻则出现2×180°=360°。从而深刻理解：三角形的内角和180°是密铺的“先天优势”。【热点】【非常重要】

3.类比迁移，攻克四边形

教师顺势出示一个任意梯形（或一般四边形）：“三角形能，四边形能吗？它的内角和360°会不会让它更容易密铺？”学生热情高涨，迅速投入拼摆。实践中发现，只需要将相同四边形的边依次对接，或将四边形旋转180°后拼合，即可无缝延展。学生在交流时提炼：任意四边形的内角和就是360°，只要合理排列各个角，一个公共顶点处就能直接凑出四个内角之和360°。至此，学生独立构建起“内角和与密铺”的因果链。【难点】【高频考点】

4.归纳提升，形成模型

师生共同建构密铺判定模型：用一种全等多边形密铺时，关键在于拼接点处能否形成360°。对于三角形和四边形，因其内角可灵活组合，总能满足条件；对于正多边形，则必须满足“正多边形内角度数×整数k=360°”，k为大于等于2的整数。【非常重要】教师将GeoGebra动态演示嵌入此环节，现场调整正多边形边数，观察拼接点角度的实时变化，将抽象推理具象化。

（四）创意实践，跨科融通——我是密铺设计师【约25分钟】

1.欣赏经典，提升审美

教师展示埃舍尔名作《昼与夜》《蜥蜴》局部，引导学生发现：埃舍尔将基本图形变形为鸟、鱼、兽，依然保持密铺特征。教师解说：“这是密铺与艺术的联姻，基本形变遵循的是‘面积守恒、边界吻合’原则。”【一般】接着播放清真寺几何纹样、北京四合院地面铺装、现代建筑表皮，使学生感知密铺是跨越时空的通用语言。

2.技术赋能，数字创作

学生两人一组使用平板电脑中的简易密铺设计APP。任务分层：

A层（基础）：从预设图库中选择正方形或三角形，通过涂色、平移、对称等方式，设计一块具有节奏感的纹样。

B层（挑战）：将正方形的一条边改为波浪线，并相应修改对边，使之能完美咬合，实现埃舍尔式变形密铺。

C层（高阶）：尝试设计一种“非中心对称”的基本形，使其能通过旋转180°实现密铺，并阐述数学原理。【非常重要】

学生在数字环境中经历无数次试错、撤销、重做，教师巡视时重点关注：是否理解“边边对应”的变与不变；能否主动计算拼接点处角度和；是否具备迭代优化意识。每完成一项设计，系统自动生成“密铺合法性验证”反馈（绿码通过、红码重叠、蓝码空隙），技术使数学思维过程可视化。

1.作品集市，深度对话

学生将设计稿投屏至班级屏幕，开展“设计师说”环节。作者解释“我为什么这样变”“转角处如何保证360°”。同学从数学严谨性和艺术创意性两个维度进行“钻石点评”。教师适时嵌入跨学科追问：“这种旋转密铺的方式，你还在哪儿见过？”学生关联到螺旋桨叶片、风车阵、花瓣排列等，将数学课堂瞬时拓宽至自然与工程。【热点】

（五）回归生活，问题解决——从学数学到用数学【约12分钟】

1.情境模拟：装修参谋

教师发布真实任务：“李阿姨家的长方形阳台长4.2米，宽3.6米。她看中了边长30厘米的正六边形地砖，你能用密铺知识帮她决策是否可用？如果不适用，你建议选用哪种形状的地砖？请以小组为单位给出方案，并附上计算过程。”【高频考点】【非常重要】

学生迅速调用模型：正六边形内角120°，120°×3=360°，所以正六边形本身可以密铺；但能否用在该阳台，还需考虑边长是否为整数倍——这是铺装方案落地时的“工程思维”。小组测算：4.2米和3.6米能否同时被0.3米的整数倍铺满？经计算，4.2÷0.3=14，3.6÷0.3=12，均为整数，故完全适用。部分小组还提出“允许切割部分瓷砖以满足特殊尺寸”，教师肯定这是高阶思维的体现。

1.缺陷分析：补救设计

教师呈现有问题的密铺图片（边缘缝隙过大、图案扭曲），引导学生反思：哪些环节出了差错？学生从图形形状、拼接角度、边长相等等方面追因，并用数学语言出具“质量诊断报告”。【一般】此环节旨在强化严谨务实的工匠精神，将数学精度与现实品质深度绑定。

（六）回顾梳理，建构网络——思维可视化【约7分钟】

1.概念图共创

教师请每组学生在白纸上绘制本课知识结构图，必须包含关键词：密铺、无空隙不重叠、拼接点、内角和360°、任意三角形、任意四边形、正多边形判定、创意变形。组际交换阅读，补充完善。教师选取一幅典型结构图拍照投屏，全班复盘一节课的思维轨迹。【非常重要】

2.自我评价与反思

学生手持评价手卡，从“我能准确判断密铺”“我能解释密铺原理”“我能设计简单密铺图案”“我在小组中贡献了智慧”四个维度进行星级自评，并写下一句话“数学好玩，好玩在_____”。学生作品呈现丰富表达：好玩在图形会变身、好玩在360°像密码、好玩在埃舍尔是数学魔术师……教师总结：密铺虽小，却连通着几何、代数、艺术、工程，这就是数学的宏大与精微。

六、板书设计

由于禁止使用表格、框架、列表，此处以纯文本叙述板书布局：

黑板左侧主板书区：顶端书写课题“密铺：图形与空间的艺术”。其下分三栏——第一栏“特征：无空隙、不重叠、形状大小相同”；第二栏“核心条件：拼接点内角和=360°”，并以“正方形90°×4、三角形60°×6、正六边形120°×3、正五边形108°×3≠360°（×）”作为例证；第三栏“应用与创造：三角形→任意皆可，四边形→任意皆可，正多边形→需满足360°÷内角为整数”。黑板右侧副板书区：展示学生即时生成的典型拼摆示意图与埃舍尔风格简笔画，预留“设计师说”金句贴条区。

七、教学反思与评估设计

（一）预设效果与生成空间

本课以“黄金360°”为轴心，通过“做数学”将隐性思维显性化。预计95%以上学生能准确运用密铺判定模型解释单一图形密铺现象；85%的学生能独立或协作完成创意变形密铺设计；约70%的学生可在后续单元测试中迁移该模型解决正多边形组合密铺问题。【重要】针对推理能力较薄弱的学生，通过GeoGebra动态演示及同伴互助，降低认知负荷，实现保底达标。

（二）增值性评价策略

采用“学习轨迹档案”评价：将学生拼摆照片、设计稿迭代过程、概念图演进、反思语录纳入过程性档案袋，不以最终作品论优劣，更关注学生在“猜想—质疑—验证—修正”循环中的思维增量。例如，某小组最初认为正五边形切掉一个角就能密铺，经过角度计算后自我纠错，这种“富有质量的错误”恰恰是深度学习的证据，应给予大力褒奖。

（三）跨学科衔接建议

课后教师可联动美术教师开展“埃舍尔版画工作坊”，联动科学教师探究“蜂巢六边形密铺的效率最优证明”，联动信息教师用Scratch编写密铺生成器。本课为跨学科主题学习提供关键概念锚点，后续可将密铺延伸至“表面最大化”“材料最省”等运筹学议题，实现小学与初中STEM课程的平滑衔接。

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