2025-2026学年湖北省某地区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖北省某地区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为(

)A.5，8 B.6，8 C.5，7 D.6，72.在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=6，则C=(

)A.30° B.45° C.60° D.75°3.已知m，n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α

B.若m//n，n⊥α，则m⊥α

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α

D.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α/4.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=6，AC=10，N为边BC的中点，则AN⋅AM=(

)A.13

B.34

C.20

D.255.已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为60°，则圆台的侧面积为(

)A.2π B.2π C.3π 6.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为(

)A.23

B.34

C.57.设A、B、C、D是同一个半径为5的球的球面上四点，△ABC为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥D−ABC体积的最大值为(

)A.1293 B.1323 C.12838.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+b=4且tanC2=sinB2−cosB，若△ABC面积为2A.2 B.12 C.125 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=3sinx−cosx，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)A.g(x)最大值为2 B.g(x)的图象关于(−π3,0)对称

C.函数g(x−π6)为偶函数 10.一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为x0，方差记为y0，下列说法错误的是(

)A.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于x0

B.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于y0

C.去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于y0

11.已知三棱锥P−ABC，O为P在底面ABC的射影，下列说法正确的是(

)A.若三条侧棱PA，PB，PC与底面ABC所成角均相等，则O为△ABC的外心

B.若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足为P，则O为△ABC的垂心

C.若PA=PB=PC，则O为△ABC的内心

D.若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为5：4：3，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，则应抽取一年级的人数为

．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sinA−cosA=1，a=3，则△ABC的面积的最大值为

．14.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M在正方体的表面上运动，且满足A1M与平面ABCD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

复数z的共轭复数为z−，i为虚数单位．

(1)若1−i是关于z的实系数一元二次方程az2+bz+1=0的一根，求实数a，b的值；

(2)若3z−|16.(本小题15分)

单位向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−13．

(1)求a与b夹角的余弦值；17.(本小题15分)

为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数x(40≤x≤100)分成六组：[40,50)，[50,60)…，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本数据的第50百分位数；

(3)已知落在[50,60)内样本数据的平均数是55，方差是6；落在[60,70)内样本数据的平均数是64，方差是s22，且这两组数据的总方差是22，求落在[60,70)内样本数据的方差s22．

参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12和n，y−，s18.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinAcosB=ab，a2=b2+bc．

(1)求角B和A；

(2)已知b=1，设M、N为线段AB上的两个动点(M靠近点A)，且∠MCN=π6．

①19.(本小题17分)

如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M、N是直四棱柱ABCD−A1B1C1D1上底面A1B1C1D1内相异的两点且A1C=BD1．

(1)若M为上底面

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】150

13.【答案】914.【答案】415.【答案】a=12,b=−116.【答案】23

(−17.【答案】0.03

75

3

18.【答案】B=π6，A=π3

①3+32；19.【答案】(1)因为在底面为菱形直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，可得AA1=BB1，

AA1⊥平面A1B1C1D1，BB1平面A1B1C1D1，

所以A1C2=AA12+AC2且BD12=BB12+BD2，

又因为A1C=BD1，所以BD=AC，

由直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为菱形，所以底面ABCD为正方形，

因为AA1=AD，所以ABCD−A1B1C1D1为正方体，可得AA1/​/BB1，

所以∠A1AM为异面直线AM与BB1所成角，

又因为M为上底面A1B1C1D1的中心，所以cos∠A1AM=AA1AM=AA1AA12+(22AA1)2=63；

(2)证明：由于∠AMC是二面角A−MN−C的平面角，则AM⊥MN，CM⊥MN，

因为AM∩CM=M，AM∈平面AMC，CM⊂平面AMC，所以MN⊥面AMC，

又因为AC∈面AMC，以MN⊥AC，

因为直四棱柱