八年级数学上册2.3等腰三角形典型例题练习湘教版

八年级数学上册2.3等腰三角形典型例题练习湘教版等腰三角形作为平面几何中的基本图形，其性质与判定不仅是八年级数学的重点，也是后续学习更复杂几何知识的基础。掌握等腰三角形的特性，能够帮助我们更灵活地解决线段相等、角相等以及图形对称性相关的问题。下面，我们通过几道典型例题的分析与练习，来巩固这部分知识。一、知识回顾：等腰三角形的性质与判定在开始例题解析前，我们先简要回顾等腰三角形的核心知识点：*定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*性质：1.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。2.三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3.等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。*判定：1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。2.等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。二、典型例题精析例题1：利用等腰三角形性质求角度题目：已知等腰三角形的一个内角为70°，求其他两个内角的度数。分析：等腰三角形的两个底角相等，但题目中并未明确指出70°的角是顶角还是底角，因此需要分情况讨论，避免漏解。解答：情况一：当70°的角为顶角时，设底角的度数为x。根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，得：70°+2x=180°解得：x=55°所以，其他两个内角的度数均为55°。情况二：当70°的角为底角时，另一个底角也为70°。设顶角的度数为y。则有：70°+70°+y=180°解得：y=40°所以，其他两个内角的度数分别为70°和40°。综上所述，其他两个内角的度数为55°、55°或70°、40°。点评：对于等腰三角形中已知一个角求其他角的问题，首要考虑的是这个已知角可能的位置（顶角或底角），特别是当已知角为锐角时，往往有两种情况。若已知角为钝角或直角，则它只能是顶角。例题2：利用“三线合一”性质进行证明与计算题目：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=35°。求∠BAD的度数。分析：因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时也是顶角∠BAC的平分线和底边BC上的高。因此，我们可以先求出顶角∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数。解答：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。∵∠B=35°，∴∠C=35°。∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-35°=110°。又∵AD是BC边上的中线，且AB=AC，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。∴∠BAD=∠BAC/2=110°/2=55°。点评：“三线合一”是等腰三角形非常重要的性质，它将角平分线、中线、高这三条线段联系起来，为我们证明线段相等、角相等以及垂直关系提供了便利。在解题时，要善于识别并运用这一性质。例题3：等腰三角形的判定题目：如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D。求证：AD=BD=BC。分析：要证明AD=BD=BC，我们可以通过证明角相等，再利用“等角对等边”来得出线段相等。首先，根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的性质求出相关角的度数，进而判断哪些三角形是等腰三角形。解答：在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC/2=72°/2=36°。在△ABD中，∵∠A=36°，∠ABD=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD（等角对等边）。在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，∵∠BDC=∠C=72°，∴BD=BC（等角对等边）。∴AD=BD=BC。点评：本题综合运用了三角形内角和定理、角平分线的定义以及等腰三角形的判定定理。通过计算角度，发现相等的角，从而得出线段相等，是证明线段相等的常用方法之一。例题4：构造等腰三角形解决问题题目：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。分析：题中给出了多条相等的线段（AB=AC，BD=BC=AD），这提示我们图中存在多个等腰三角形。我们可以设其中一个较小的角为未知数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理列出方程求解。解答：设∠A=x。∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x（等边对等角）。∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x（等边对等角）。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x（等边对等角）。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，5x=180°，解得x=36°。∴∠A=36°，∠ABC=∠C=2x=72°。点评：当题目中出现多个等腰三角形，且角之间存在明显的数量关系时，利用方程思想设未知数求解是非常有效的方法。关键在于找出这些角之间的联系，并根据三角形内角和定理或外角性质列出方程。三、巩固练习1.等腰三角形的两边长分别为5和6，则其周长为多少？2.已知等腰三角形的一个外角是100°，求其顶角的度数。3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠C=30°，求证：CD=3BD。（提示：可考虑利用含30°角的直角三角形性质及等腰三角形性质）四、总结等腰三角形的学习，关键在于熟练掌握其性质与判定，并能灵活运用这些知识进行推理和计算。在解决具体问题时，要注意以下几点：1.认真审题，明确已知条件和所求结论。2.善于利用图形的对称性和“三线合一”的性质。3.当题目条件不明确时