第4章　第21讲　专题强化五　与斜面或曲面有关的平抛运动　平抛运动的临界极值问题　空间中的抛体运动

第四章曲线运动第21讲专题强化五与斜面或曲面有关的平抛运动平抛运动的临界极值问题空间中的抛体运动学习目标命题热点(1)学会处理斜面或曲面约束下的平抛运动问题。(2)会处理平抛运动中的临界、极值问题。(3)会利用立体几何知识处理空间中的抛体运动问题。这三类典型问题在高考中考查频率较高，命题常与实际情境相结合进行考查。考点一考点二考点三提能训练练案[21]考点一与斜面或曲面有关的抛体运动与斜面有关的平抛运动考向1[答案]

D跟

踪

训

练1．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上。下列说法中正确的是(

)A．小球在空中的运动时间不变B．P、Q间距是原来的9倍C．夹角α与初速度大小有关D．夹角α将变小[答案]

B与曲面有关的平抛运动问题考向2与曲面有关的平抛运动的三种情境分析运动情境物理量分析小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是(

)A．物体B比A先到达P点B．A、B物体一定同时到达P点C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3[答案]

BC跟

踪

训

练2．(与圆弧有关的平抛运动)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则(

)[答案]

AC．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成30°D．经过足够长的时间，小球速度方向可能和y轴平行[答案]

A考点二平抛运动的临界和极值问题常见的三种临界特征(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。平抛运动的临界问题考向1(多选)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(

)A．运动的时间都相同B．速度的变化量不相同C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍[答案]

AD[规律方法]

平抛运动临界、极值问题的分析方法(1)确定研究对象的运动性质；(2)根据题意确定临界状态；(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。平抛运动的极值问题考向2[解析]

设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，考点三空间中的抛体运动

如图所示，空间有一置于水平地面上的正方体框架ABCD－A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向平抛一小球(可视为质点)。关于小球的运动，下列说法正确的是(

)A．落点在B1和D1点的小球，平抛的初速度相同B．落点在线段B1D1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶2C．运动轨迹与线段AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同D．运动轨迹与线段A1C相交的小球，在交点处的速度方向都相同[答案]

C[规律方法]

分析空间中的抛体运动的思路(1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情境建立三维直角坐标系；(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。跟

踪

训

练4．如图所示，足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别垂直打在水平横梁上的a点和竖直梁上的b点，到达a、b两点瞬间速度大小为va、vb，从射出到打到a、b两点的时间是ta、tb，不计空气作用力，则(

)A．va<vb B．va>vbC．ta<tb D．ta＝tb[答案]

A提能训练练案[21]基础巩固练1．(2026·贵州遵义三模)可视为质点的运动员从P点以v0的速度水平飞出，若不计空气阻力，运动员在空中飞行3s后落在斜面上Q点。简化示意图如图所示，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，则运动员由P到Q的过程中(

)A．水平初速度大小为30m/sB．水平初速度大小为20m/sC．P到Q的位移大小为45mD．P到Q的位移大小为60m[答案]

B2．(2024·湖北卷·3题)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(

)A．荷叶a B．荷叶bC．荷叶c D．荷叶d[答案]

C3．(2025·福建福州期末)如图所示，以水平初速度v0＝10m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则物体完成这段飞行的时间是(

)[答案]

A[答案]

C5．(2026·山东青岛月考)如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是(

)B．y越小，则x越大C．x与小孔的位置无关[答案]

D能力提升练6．A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程(

)A．球1和球2运动的时间之比为2∶1B．球1和球2运动的时间之比为1∶2C．球1和球2抛出时初速度之比为2∶1D．球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1∶1[答案]

D7．跳台滑雪是一种属于勇敢者的滑雪运动。现有某运动员从跳台A点沿水平方向飞出，在斜坡B点着陆，如图所示。AB可看成倾角为30°的斜面，A与B相距40m，运动员和装备均看成质点，不计空气阻力，以下说法正确的是(

)A．运动员在空中飞行的时间为3s[答案]

C8．如图所示的正方体空间，其面ABCD水平。现将一小球先后两次从A点水平抛出，当以速度v1沿AC方向抛出时打在C′点，且在C′点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD方向抛出时打在DD′中点E，且在E点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则(

)A．v1∶v2＝1∶1C．tanθ1∶tanθ2＝1∶1[答案]

A9．如图所示，传送带固定在水平地面上，倾角为37°，顶端A点与底端B点相距L＝26m，顺时针转动的速率为v＝3m/s。一可视为质点的小物块从O点以v0＝4m/s的初速度水平向右抛出，恰好落在A点且沿传送带下滑。小物块与传送带间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。g取10m/s2，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，求：(1)小物块落到A点时的速度大小vA；(2)抛出点距A点的水平距离x；(3)小物块从抛出点到B点所用的时间t。[答案]

(1)5m/s

(2)1.2m

(3)7.3s解得vA＝5m/s。(2)在A点有vAy＝v0tanθ＝gt1解得t1＝0.3s则抛出点距A点的水平距离为x＝v0t1＝1.2m。当小物块的速度与传送带速度相等时，有v＝vA－at2解得t2＝5s此后因为μgcosθ>gsinθ，小物块相对传送带静止，一起匀速下滑，则有L－x＝vt3解得t3＝2s故小物块从抛出点到B点所用的时间为t＝