2025-2026学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．直线的斜率是．2．已知为等差数列，，，则公差．3．已知向量平行于向量，则．4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．5．平行直线与间的距离为．6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为．7．已知数列满足，，则．8．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．9．数列的通项公式，则．10．圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则．11．已知实数、、、满足，则的最小值为．12．某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽为2米，渠深到直线的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米）二、选择题13．已知空间向量，则向量的模为（）A．1 B．3 C．9 D．，，14．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（）A． B． C． D．15．设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是（）A．， B． C． D．16．已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题：①曲线关于原点中心对称；②曲线与直线恒有交点；③曲线上的点到原点的距离的最小值为；④存在直线与曲线有且仅有一个交点．其中正确的命题序号为（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④三、解答题17．已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值；（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，求直线的方程．18．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的大小；（3）求点到平面的距离．19．已知数列满足：，，且对任意正整数都成立．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值．20．（18分）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数、，满足，且．”（1）请将该命题类比到空间中，并证明．（2）在四面体中，已知，，，点在平面内，且满足．①求的值；②求的值．21．（18分）已知抛物线，焦点为．（1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；（2）已知、为上两点，且．求△面积的最小值；（3）抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足，记△、△的面积分别为、，求的最小值．

参考答案一、填空题1．0．2．2．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．．10．8．11．．12．0.71．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）若，则直线，即，，两直线垂直，符合题意；若，则，解得．综上所述，或0．（2）由在直线上，则，解得，故显然直线的斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，令，可得，再令，可得，在轴上的截距与在轴上的截距互为相反数，所以，解得或，所以直线的方程为或．18．解：（1）证明：直三棱柱中，，以为原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，2，、，0，、，0，，所以，，设平面的一个法向量为，则，得，令，则，，得到平面的一个法向量，又，0，，，1，，，因为，所以，又平面，所以平面；（2）易知平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成二面角是或；（3）因为，0，，，所以点到平面的距离．19．解：（1）证明：因为，对一切正整数成立，所以，即，因为，，所以，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列；（2）由（1）得，所以通过累加得，当时，满足上式，综上所述，；（3），从而，所以，当无限增大，的值越来越趋近于0且小于0，所以的值越来越趋近于且小于，所以对任意正整数，不等式恒成立时，，即实数的最小值为．20．解：（1）类比空间中命题是：“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数、、，满足，且．”证明如下：①若平面，由向量共面的充要条件知，存在实数、，使得，由向量的加法与减法运算知，，所以，令，，，则，且；②若，且，则，即，根据向量共面的充要条件知，、、共面，即、、、四点共面，所以点在平面内；综上，“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数、、，满足，且．”（2）①由（1）的结论知，，平面，所以，解得，所以，因为，，，所以；②因为，所以，所以．21．解：（1）由题知焦点．准线方程为，根据抛物线的定义知，，由已知，所以．（2）显然，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为，与联立，得，所以△，化简得．设，，，，则，．因为，所以，即，于是，将，代入，化简