2025-2026学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．已知全集为，集合，则．2．函数的定义域是．3．在的二项展开式中，项的系数是．4．设、为正数，且，则最大值为．5．如表是岁末成年人的身高的主要百分位数（单位：．小明今年16岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有6.4万人．可以估计出小明的身高至少高于他所在城市万男性同龄人．岁末成年人的身高的主要百分位数岁男141147151157164169174177182女143147150153157161165167171岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：．6．在△中，已知，，，则．7．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是．8．已知数列的前项和，若数列为等比数列，则．9．已知为实数，若关于的二次方程有一个虚根为，则的取值范围是．10．要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍．则当蓄水池的底面半径为时，才能使总造价最低．11．曲线的离心率为，则．12．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点、、，若，．则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是．二、选择题13．以下不等式正确的是（）A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么14．若是以1为首项、以为公差的等差数列，数列满足为正整数），则数列（）A．是以为首项、以为公比的等比数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以为首项、以为公比的等比数列15．在△中，点、、分别在直线、、上，设，，，其中、、为实数，则、、三点共线的充要条件是（）A． B． C． D．16．在平面直角坐标系中，已知定点、，设动满足，其中，．命题（1）：当时，点对应的曲线大致图像如图①．命题（2）：当时，点对应的曲线大致图像如图②．下列判断正确的是（）A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题三、解答题17．若表达式为，，．（1）若函数经过点，判断函数的奇偶性；（2）在（1）的条件下，设，，求函数的最大值．18．某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（即每100元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到元，但提价后每年的销量会减少万件．设代理商收取的年代理费为万元．（1）试将表示为的函数；（2）求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元．19．如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于．（1）若，证明；（2）若，，，，求三棱锥的体积．20．（18分）已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为，，设直线与交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点，其中、在第一象限，、在第四象限，是双曲线的右焦点．（1）求点的坐标和渐近线方程；（2）以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点点，求直线的方程；（3）对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得△与△均以为顶点的等腰三角形，请说明理由．21．（18分）已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点．（1）求实数的值，并求函数上一点，（e）处的切线方程；（2）求函数和的单调区间和极值；（3）是否存在直线，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由．

参考答案一、填空题1．或．2．（或．3．．4．．5．4.8．6．或．7．0.88．8．．9．，．10．．11．或．12．，．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）将点代入，得，，所以，又，，所以，，因为，所以函数为偶函数；（2）由（1）知，当，时，，，所以，，所以当或时，函数取到最大值，最大值为．18．解：（1）提价后衬衫单价为元，年销量为万件，因此因此年总销售额为：，，销量需为正数且代理费比例小于1，所以，解得，因此函数为．（2）根据题意知，，根据定义域可知，那么，化简整理得，解得，位于定义域内，因此．19．解：（1）证明：因为，面，面，所以面，又因为面，面面，所以．（2）因为面面，面面，且面面，所以面．因为，，，所以，所以三棱锥的体积为：．20．解：（1）将双曲线化成标准形式为：，所以，，所以，所以，渐近线方程为；（2）设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为，点到直线的距离为，则，所以此圆的方程为，又因为此圆与直线切于点，所以，又因为，解得，所以，因为直线倾斜角为，且，当时，直线的斜率存在，且，设直线的方程为，即，所以，即，无解；当时，直线的方程为；综上，直线的方程为；（3）存在两个不同的点，使得△与△均以为顶点的等腰三角形，理由如下：假设存在满足题意的点，则有，，所以，的中点重合，且，的中垂线重合，当时，设直线的方程为，，由，可得，设，，，，则，，所以中点为；由，得，即；由，得，即；所以中点为；由此可得，的中点重合，所以直线两直线的中垂线方程为：，即，由，得，则，所以原方程始终有两个不同实数根，即直线与双曲线始终有两个不同交点，所以此时存在两个不同的点，满足题意；当时，直线的方程为，此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意；综上，存在两个满足题意的点．21．解：（1）已知函数经过点，将点代入，可得，即，解得，由可得，其定义域为，求导可得，将代入，，可得（e），，所以函数上一点，（e）处的切线方程为，化简得，因此，实数，函数上一点，（e）处的切线方程为；（2）由可得，其定义域为，对求导可得令，即，解得，当时，，则，所以在上单调递减；当时，，则，所以在上单调递增；所以在处取极小值，极小值为，无极大值；由可得，其定义域为，求导可得，令，即，解得，当时，，则，所以在上单调递减；当时，，则，所以在上单调递增；所以在处取极小值，极小值为（1），无极大值；因此在上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值；在上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值；（3）存在直线，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，理由如下：观察可知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增，极小值为；在上单调递减，在上单调递增，极小值为（1）；两函数的最小值均为，构造共同点：设，满足（即，整理得，令，其定义域为，对求导，可得，令，求导得，当时，（1），但时，，所以存在使得，即在上，，单调递减，在上，，单调递增，因此的最小值为，令，则，上式变为，因为，所以，即，所以在上恒成立，故在上单调递增，又因为（1），，所以存在使得，即公共点存在，有，找三个交点：令，则，因为，且，解得和；由，因为，且，解得和；又因为三交点横坐标为，，，有，即中间项的2倍等于两边之和，故成等差数列；因此，存