河北省沧州市沧县中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

河北沧州市沧县中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A．5i B．8 C． D．52．已知向量，，，则（

）A．3 B． C． D．63．若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42，39，51，45，37，则（

）A．乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大B．戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大C．丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大D．戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大4．已知，，，是四个不同的平面，，，且，将空间分成个不同的部分，，将空间分成个不同的部分，则（

）A．， B．，C．， D．，5．为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点在同一水平面的，两点作为测量点，测得米，，，在处测得楼顶的仰角为45°，则该大楼的高度约为（

）A．83米 B．85米 C．87米 D．89米6．若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（

）A． B． C． D．7．如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（

）A． B． C．1 D．8．若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（

）A．10 B．12 C．13 D．15二、多选题9．已知一组样本数据为9，9，9，10，10，11，12，12，13，15，则（

）A．该组样本数据的众数为9 B．该组样本数据的中位数为11C．该组样本数据的平均数为11 D．该组样本数据的第35百分位数为1010．已知，，则（

）A． B．C． D．在复平面内对应的点位于第二象限11．如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（

）A．平面平面B．四面体外接球的表面积为C．直线与直线相交D．四面体与正三棱柱的公共部分的体积为三、填空题12．某实验室研发超导量子芯片、硅基自旋量子芯片、光量子芯片这三类芯片，其数量之比为.现按芯片类型进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取容量为40的样本进行性能稳定性测试，则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为______.13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕边旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积为______.14．在中，，，，分别是，上的点，且，，，且，则的最小值为______.四、解答题15．已知，是圆柱下底面圆的两条直径，，均为圆柱的母线，.(1)求该圆柱的侧面积；(2)证明：平面.16．已知为中边上的点，且.(1)证明：.(2)若，且在上的投影向量等于，求与的夹角.17．为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了1000户居民的月用水量（单位：吨），发现这些数据均分布在区间内，现对这1000个数据进行整理，并据此绘制频率分布直方图.

(1)求图中的值；(2)为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使得80%的居民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）；(3)已知该市有20万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月用水的总量.18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，且，求的周长；(3)若，在边上，是的角平分线，求的最大值.19．如图，在四棱锥中，底面，，，且.(1)若平面，证明：.(2)设平面平面.（ⅰ）证明：.（ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围.参考答案1．D【详解】因为，所以的虚部为5.2．A【详解】因为，，所以，所以.3．D【详解】因为，所以戊组数据的方差最小，丙组数据的方差最大，故戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大4．C【详解】因为，所以，将空间分成3个不同的部分，因为，所以，将空间分成4个不同的部分，故，.5．B【详解】由题意得，由正弦定理得，代入数据，解得米，因为在处测得楼顶的仰角为45°，所以，则米，故该大楼的高度约为85米.6．D【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以，故，两点间距离的最大值为.7．C【详解】如图，翻折前，，，翻折后，，，则为二面角的平面角，即.因为平面，且，所以平面，又，所以平面.因为平面，所以.因为，，所以由余弦定理得，则，所以，又平面，，所以平面，故翻折后点到平面的距离为.8．B【详解】设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为，则，，当且仅当时，等号成立.所以数据，的方差的最小值为12.9．ACD【详解】样本数据的众数为9，中位数为，平均数为，A，C均正确，B错误.因为，所以该组样本数据的第35百分位数为10，D正确.10．BD【详解】因为，，所以，，则，，在复平面内对应的点位于第二象限，A错误，B，D均正确.，C错误.11．AB【详解】对于A，正中，因为为棱的中点，所以，.因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，所以.平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.所以A正确.对于B，四面体中，底面.因为，所以是直角三角形，所以其外接圆半径为.所以四面体的外接球半径.所以四面体外接球的表面积为.所以B正确.对于C，因为侧棱平面，底面，所以平行于.因为平面，平面，所以平面.所以平面平面.若直线与直线相交，记交点为M，则，又，直线与直线有两个公共点，所以重合，显然不成立，所以直线与直线不相交.所以C错误.对于D，如图，记，连接，交于点H.连接，交于点G，连接.四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台.因为.所以.所以.四面体与正三棱柱的公共部分的体积为.故D错误.故选：AB.12．12【详解】样本中超导量子芯片、光量子芯片的数量分别为，，则样本中超导量子芯片与光量子芯片的数量之差为.13．【详解】因为，，，所以，所以，由，得，所以平面图形绕边旋转一周得到的旋转体为圆台，其体积.14．/【详解】因为，，，因为，所以，则，当，时，取得最小值，且最小值为，故的最小值为.15．(1)(2)证明：连接.因为，均为圆柱的母线，所以，又平面，平面，所以平面.连接，.因为，是圆的两条直径，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.【详解】（1）解：因为，所以该圆柱的高为2，底面半径为1，则该圆柱的侧面积为.（2）略16．(1)证明：因为，所以，所以，即，所以.(2)【详解】（1）略（2）如图，在上的投影向量为，由（1）知，所以，即，即，又，所以，即，所以，又，所以，所以，所以与的夹角为.17．(1)(2)24.3吨(3)万吨【详解】（1）因为，所以.（2）设该临界值为吨.因为前3组的频率之和为0.5，前4组的频率之和为0.85，所以.由，得，即该临界值为24.3吨.（3）这1000户居民的月用水量的平均值的估计值为，所以估计该市居民月用水的总量为万吨.18．(1)(2)(3)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以，因为，所以，又，所以.（2）因为，所以，由余弦定理，得，即，又因为，所以，所以的周长为.（3）因为是的角平分线，所以，由，得，又，所以，所以.因为，当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为.19．(1)因为底面，平面，所以，因为，，平面，所以平面.因为平面，平面，平面平面，所以.所以平面，因为平面，所以.(2)（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面.