初中九年级数学“图形的相似”单元复习教学设计

初中九年级数学“图形的相似”单元复习教学设计一、核心素养导向与复习目标【核心素养聚焦】本单元复习旨在通过“图形的相似”这一核心内容，进一步提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养。学生需在复杂的图形中抽象出相似模型，运用演绎推理证明线段比例关系或角相等，通过精确的数学运算解决实际测量问题，并借助几何直观构建空间观念。【重要】【复习目标】1.知识与技能：系统回顾相似图形的概念，深入理解相似多边形的定义、性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解决几何证明与计算问题。【基础】2.过程与方法：经历知识网络的构建过程，体会类比（全等与相似）、转化（复杂图形分解为基本相似模型）、数形结合与方程思想在解题中的应用。【重要】3.情感态度与价值观：通过对本章知识的梳理与典型问题的探究，培养学生严谨的逻辑思维习惯和实事求是的科学态度，感受数学几何图形的内在和谐与逻辑美。二、知识清单：构建逻辑体系（一）图形的相似【基础】1.相似图形的概念：我们把形状相同的图形叫做相似图形。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。【基础】2.全等与相似的关系：全等图形是相似比等于1的特例。全等要求图形形状和大小都相同，而相似只要求形状相同。【重要】（二）相似多边形的定义与性质【高频考点】1.定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。【基础】2.性质：【核心】1.3.对应角相等；2.4.对应边成比例；3.5.周长比等于相似比；4.6.面积比等于相似比的平方。7.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（通常用字母k表示，k>0）。当表述两个相似多边形的相似比时，要注意顺序性。【易错点】（三）相似三角形的判定与性质【重中之重】1.平行线分线段成比例定理（预备定理）：【基础】1.2.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。2.3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。3.4.逆定理（用于判定平行）：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。5.相似三角形的判定定理：【高频考点】1.6.判定定理1（AA）：两角分别对应相等的两个三角形相似。【基础】2.7.判定定理2（SAS）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。【重要】3.8.判定定理3（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。【重要】4.9.特殊判定：对于直角三角形，斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（HL相似）。【拓展】10.相似三角形的性质：【高频考点】1.11.基本性质：对应角相等，对应边成比例。2.12.对应线段比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。【重要】3.13.周长比：周长比等于相似比。4.14.面积比：面积比等于相似比的平方。（四）相似三角形的常见模型【难点】1.“A”字型及其变式（斜A型/子母型）：在△ABC中，若有DE∥BC，则△ADE∽△ABC（A型）；若有∠AED=∠B，则△ADE∽△ACB（斜A型）。特别地，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则△ACD∽△ABC∽△CBD（双垂直下的子母型）。【重要】2.“8”字型及其变式：若有AB∥CD，则△AOB∽△DOC；若仅有∠A=∠C或∠B=∠D，则构成斜8型（蝴蝶型）。【重要】3.一线三等角型（K型）：在同一条直线上依次有三个相等的角，常构成一组相似三角形。其中以直角情况（一线三垂直）最为常见且在函数与几何综合题中应用广泛。【热点】4.旋转相似型：将一个三角形旋转一定角度后，与另一个三角形相似。解题关键往往在于寻找旋转中心与对应点构成的“手拉手”三角形全等或相似。（五）相似三角形的应用【素养体现】1.测高问题：利用太阳光下的影子（同一时刻物高与影长成正比）、标杆、镜面反射等方法测量建筑物或树木的高度。【常考】2.测距问题：测量河流宽度、海峡宽度等不可直接测量的距离。【常考】3.位似图形（本章拓展内容，常与相似综合考查）：1.4.定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。【重要】2.5.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。3.6.坐标变换：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）。【常考】三、常考题型深度剖析与解题策略【题型一】相似多边形的性质应用【例1】（202X·华东师大版教材改编）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，AB=6，EF=4，FG=5，求∠H的度数和BC的长。【解析】本题直接考察相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。首先根据多边形内角和求出∠D，再由对应角相等得∠H=∠D。由相似比AB:EF=BC:FG，列出比例式6:4=BC:5，即可解得BC。【重要】【方法归纳】解决相似多边形问题，关键抓住“对应”二字。先找准对应顶点，再确定对应边、对应角，最后列比例式求解。【基础】【题型二】相似三角形的判定与证明【例2】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B。求证：△ADE∽△ACB。【解析】本题是最基础的相似证明。在△ADE和△ACB中，已有一对公共角∠A=∠A，又已知∠AED=∠B，由“两角分别相等的两个三角形相似”（AA）可直接得证。【基础】【变式】若将条件改为AD·AB=AE·AC，你能证明△ADE与△ACB相似吗？【解析】由AD·AB=AE·AC可化为AD/AC=AE/AB，此时∠A仍是公共角，但要注意比例式的对应边是否对应成比例且夹角相等。这里AD对应AC，AE对应AB，夹角均为∠A，故可由“两边对应成比例且夹角相等”（SAS）判定相似。【重要】【方法归纳】证明三角形相似，需根据已知条件灵活选择判定方法。若条件中角的信息多，优先考虑AA；若边的比例信息多，优先考虑SSS或SAS，但应用SAS时必须确保所选的角是两组成比例边的夹角。【重要】【题型三】利用相似解决计算问题（方程思想）【例3】如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9。D是AB边上一点，且AD=3，E在AC边上，若△ADE与△ABC相似，求AE的长。【解析】本题是经典的无图双解问题，极易漏解。【难点】题目只告知△ADE与△ABC相似，并未明确对应关系，因此需分类讨论：情况一：当DE∥BC时，△ADE∽△ABC（A型），此时AD/AB=AE/AC，即3/8=AE/6，解得AE=9/4。情况二：当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB（斜A型），此时AD/AC=AE/AB，即3/6=AE/8，解得AE=4。故AE的长为9/4或4。【重要】【方法归纳】在无图或图形不确定的相似问题中，必须考虑所有可能的对应关系，进行分类讨论。这是解决相似三角形问题的核心思想之一，也是高频考查点。【高频考点】【题型四】相似与勾股定理、三角函数的综合【例4】如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于点F，过点F作FG∥AB交AE于点G。求证：AG²=AF·FC。【解析】本题综合性较强。观察结论AG²=AF·FC，可转化为比例式AG/AF=FC/AG，但AG、AF、FC三条线段不在同一直线上，也似乎不在两个直接的三角形中。需借助中间量进行转化。由BE⊥AC，易得∠BFC=90°=∠ABC，结合∠BCF=∠ACB，可得△BCF∽△ACB，从而得到BC²=CF·AC。又由矩形性质及E为中点，可证得△ADE≌△BCE，从而AE=BE，由FG∥AB得G为AE中点，则AG=1/2AE=1/2BE。接下来，能否将BC与BE联系起来？在Rt△ABC中，由射影定理知BF²=AF·FC。若能证明BF=AG，则问题得证。而BF=1/2BE？由E为中点，但F是垂足，并不一定是中点。此路似乎不通。需另寻他法。正确思路：由FG∥AB，易得△EFG∽△EBA，且G为AE中点，故F也为BE中点？这需要证明。其实，由FG∥AB，F在AC上，E在DC上，要证F是BE中点，可尝试过B作AC的平行线交AE延长线，构造8字形全等。更简洁的方法：由△ABF∽△ECF，可得BF/CF=AB/CE=2/1，设CF=x，则BF=2x。在Rt△BCF中，由射影定理（或相似）得CF·CA=BC²？不如直接由△BCF∽△ABF得BF²=AF·CF，即(2x)²=AF·x，解得AF=4x。则AC=5x。在Rt△ABC中，由射影定理得BC²=CF·CA=x·5x=5x²，则BC=√5x。由勾股定理得AB=√(AC²BC²)=√(25x²5x²)=2√5x。故AB=2BC。又因为AB=CD，CE=1/2CD=BC，故CE=BC。则Rt△BCE为等腰Rt△，BE=√2BC=√10x。而由BF=2x，显然BF≠BE/2。所以之前的假设错误。本题标准解法需利用坐标法或面积法。但在此我们强调，当几何关系复杂时，巧妙利用面积或建立平面直角坐标系，将几何问题代数化，是解决此类问题的有效手段。【素养提升】【方法归纳】相似常与勾股、三角、圆等知识结合，解决此类问题需具备扎实的几何推理能力，善于从复杂图形中剥离出基本相似模型，并综合运用方程、函数等思想。【热点】【题型五】相似三角形的实际应用【例5】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度。他们通过调整位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上。已知DE=0.5m，EF=0.3m，测点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m。求旗杆的高度。【解析】实际问题需抽象为数学模型。由题意可知，DE⊥EF，AB⊥BC，四边形DGBH为矩形。关键步骤是证明△DEF∽△DAH（或△DCA∽△DEF）。由DF∥地面（即DF∥BC），可得∠FDE=∠AHD？更直接的是，由DE⊥EF，AH⊥DH，可得∠DEF=∠AHD=90°。又因为A、E、D共线，所以∠EDF=∠HDA。故△DEF∽△DAH（AA）。则DE/DA=EF/AH。但DA未知。可先利用△DCG∽△DEF？注意DC是水平距离，不是DH。DH=DC+CH，CH=DG？BH=DG=1.5m。AH=ABBH=AB1.5。此题典型解法是：过D作DM⊥AB于M，则DM=BC=20，BM=DG=1.5。由△DEF∽△DAM，得DE/DM=EF/AM，即0.5/20=0.3/(AB1.5)，解得AB=12+1.5=13.5m。【常考】【方法归纳】解决相似实际应用题，首先要将实际问题转化为数学问题，画出几何图形，再寻找或构造相似三角形，最后通过列比例式求解。要注意单位的统一，以及测量数据对应的几何线段。【题型六】位似图形与坐标变换【例6】在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)。以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A‘B’C‘。写出△A’B‘C’各顶点的坐标。【解析】本题考查位似与坐标的关系。当位似中心为原点时，若位似图形在原图形同侧（位似比k>0），则对应点坐标比为k；若在异侧（位似比k<0），则对应点坐标比为k。本题只说放大为原来的2倍，未说明方向，因此有两种可能。故△A‘B’C‘各顶点坐标为(2，4)、(6，2)、(4，6)或(2，4)、(6，2)、(4，6)。【易错点】【方法归纳】在以原点为位似中心的坐标系中，若原图形上点P的坐标为(x，y)，位似图形对应点P’的坐标为(kx，ky)或(kx，ky)。务必注意两种情况的考虑。【重要】四、常考易错题型警示与辨析【易错点1】对“对应”理解模糊【案例】已知△ABC的三边长分别为2、3、4，△DEF的两边长分别为4、6，且△ABC∽△DEF，求△DEF的第三边长。【错解】设第三边为x。由2:4=3:6=4:x，解得x=8。【辨析】此解法默认了边与边的对应关系为“小对大”。但相似三角形的对应边是按角的大小或顶点的对应来确定的，而非单纯按长度大小。如果题目未明确对应关系，需考虑多种情况。本题中，2、3、4与4、6，显然2:4=3:6=1:2，所以对应关系是确定的，即长为4的边对应2，长为6的边对应3，则第三边对应4，故为8。上述解法虽答案正确，但思路有问题。若将题目改为△DEF两边长为3、4，情况就复杂了。【正解】必须根据对应关系列出所有于相似比未知，需分类讨论。【策略】涉及相似比或对应边的问题，必须首先明确对应关系。若题目未明确，则应分类讨论，避免漏解。【重要】【易错点2】忽视相似比与面积比的平方关系【案例】两个相似三角形的相似比为2:3，它们的面积之和为78cm²，求较大的三角形的面积。【错解】设两个三角形面积分别为2x和3x，则2x+3x=78，x=15.6，较大面积为3×15.6=46.8cm²。【辨析】错误地将相似比等同于面积比。相似比的平方才是面积比。【正解】面积比为(2:3)²=4:9。设面积分别为4k和9k，则4k+9k=78，k=6，较大面积为9×6=54cm²。【高频考点】【策略】牢记性质：相似三角形（多边形）的面积比等于相似比的平方。解题时务必先平方，再设未知数。【易错点3】在网格或坐标系中找相似三角形时，忽略对应关系【案例】在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1，△ABC的顶点均在格点上。请在图中画出与△ABC相似但不全等，且顶点都在格点上的△DEF。【错解】盲目地将△ABC的各边放大或缩小，导致作出的三角形不是格点三角形，或者虽然顶点在格点，但三边比例与△ABC的三边比例不等。【辨析】此类问题需先计算出原三角形各边的长度（利用勾股定理），再寻找一个能构成网格三角形的三边长度比例，且该比例与原三角形三边比例相等。不能只凭感觉放大或缩小。【策略】计算原三角形三边比例（化为最简整数比），然后在网格中寻找满足此比例且顶点在格点上的三角形。例如，原三角形三边比为1:√2:√5，则新三角形三边比应为n:n√2:n√5，且n使得各边均为有理数或格点距离。【难点】【易错点4】位似中心选择不唯一，位似图形位置不唯一【案例】以点P为位似中心，画出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为1:2。【错解】只画出四边形ABCD在位似中心P同侧的一种情况。【辨析】位似作图通常有两种结果：两个图形位于位似中心的同侧或异侧。除非题目有明确要求（如“在点P的同侧”），否则两种位置都应考虑到。【易错点】【策略】作位似图形时，首先要连接位似中心与各顶点，然后根据相似比在射线或其反向延长线上取点。五、跨学科视野与素养提升【物理中的相似】光学是相似三角形应用的绝佳领域。凸透镜成像规律中，物距、像距、焦距的关系式（1/u+1/v=1/f）的推导，就是基于光路图中的相似三角形。当物体位于2倍焦距以