通信原理（第3版）课件9.5 循环码

循环码§9.5赵小燕循环码是线性码的一个子类循环移位特性：码集C中任何一个码字的循环移位仍是码字1、循环码基本原理编号原码生成码字C00000000000C10010011101C20100100111C30110111010C41001001110C51011010011C61101101001C71111110100循环码的码多项式定义把码字C＝(cn-1cn-2

…c1c0)与一个不大于n-1次的码多项式C(x)对应起来。码多项式C(x)定义为：

对于二进制码，ci

{0,1},i=0,…，n-1。C(x)=cn-1xn-1+cn-2

xn-2

+…+c1x+c01、循环码基本原理循环码的循环移位循环移一位：C0=(cn-1cn-2

…c1c0)C1=(cn-2

…c1c0cn-1)

对应码多项式：C0(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0

C1(x)=

cn-2xn-1+cn-3xn-2+…+c0x+cn-1观察码多项式，可用如下多项式运算来表达循环移位：移1位：

C1(x)=xC0(x) mod(xn

+1)

移2位：

C2(x)=xC1(x)=x2C0(x) mod(xn

+1)

移n-1位：Cn-1(x)=xCn-2(x)=xn-1C0(x)mod(xn

+1)

1、循环码基本原理1、循环码基本原理循环码的生成多项式——g(x)是循环码集合C(x)中除零多项式以外次数最低的多项式生成多项式的性质：g(x)的零次项为1；g(x)的次数等于监督位数，即

r=n-k；g(x)是唯一的，即C(x)中除零次项外次数最低的码多项式只有1个；循环码的每个码多项式都是生成多项式g(x)的倍式；g(x)是xn+1的一个因子。1、循环码基本原理

以（7,3）线性分组循环码为例：c1=(0011101)对应的码多项式的次数最低，所以该码对应的多项式为生成多项式，即

g(x)=x4+x3+x2+1例1、循环码基本原理如何由生成多项式g(x)获得典型生成矩阵？∵gi(x)为循环码∴gi(x)是生成多项式g(x)的倍式，xn-i=ri(x)modg(x)，表示ri(x)是xn-i除以g(x)的余式其中1、循环码基本原理已知（7,4）循环码的生成多项式

g(x)=x3+x2+1，求其典型生成矩阵

【解】

典型生成矩阵的表现形式为其中

例循环码是线性码的一个子类循环移位特性：码集C中任何一个码字的循环移位仍是码字1、循环码基本原理一般(n,k)线性分组码K个基底基底间不存在规则的联系由这k个基底组成生成矩阵G(n,k)循环码K个基底由同一个基底循环k次得到将这个基底用码多项式g(x)描述用生成矩阵G生成码字用码多项式g(x)生成码字C=(cn-1,…,c1,c0)C=(cn-1,…,c1,c0)1、循环码基本原理（n,k）线性分组循环码的监督多项式的一般表达式取h(x)的互反多项式为h*(x)=h0xk+h1xk-1+…+hk，则监督矩阵的一般表达式：1、循环码基本原理已知（7,4）循环码的生成多项式

g(x)=x3+x2+1，求其监督矩阵监督矩阵：【解】监督多项式：互反多项式：例1、循环码基本原理已知（7,4）循环码的生成多项式

g(x)=x3+x2+1，求其监督矩阵例生成矩阵：【解】循环码的译码1、循环码基本原理

将发生错误的接收码多项式y(x)除以生成多项式g(x)得到余式R(x)，通过查表或计算得到差错图样e(x)，从余式R(x)中减去e(x)即可得到正确发送的码字C(x)。2、BCH码和RS码若一个m次多项式

f(x)满足下列条件，则称f(x)为本原多项式：（1）f(x)是既约的；（2）f(x)可整除xn+1，n=2m-1；（3）f(x)除不尽xq+1，q<n。2、BCH码和RS码本原BCH码：生成多项式g(x)中含有最高次数为m的本原多项式，且码长为n=2m-1（m≥3，为正整数）。非本原BCH码：生成多项式g(x)，且码长n是n=2m-1的一个因子。二进制本原BCH码的码长位数n、监督位数k和纠错个数t之间满足如下关系：n=2m-1（m为正整数，m≥3），n-k≤mt，dmin=2t+1（t也为正整数，t<m/2）。非本原BCH码，其码长n是2m-1的一个因子，即码长n能除得尽2m-1，其余条件都一样。2、BCH码和RS码RS码是一种纠错能力很强的多进制BCH码。当q进制BCH码的码长n=q-1时，则称此码为q进制的RS码。当q=2m时，码元符号取自伽罗华域GF(2m)的RS码可以用来纠正突发错误。对于一个可以纠正t个错误符号的q=2m进制