2026-2027学年 第一章 《勾股定理》巩固卷-北师大版数学八上单元测试卷

第一章《勾股定理》巩固卷-北师大版数学八上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是()A．4，5，6 B．5，8，12 C．6，8，10 D．6，7，82．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+3C．10−x2+33．如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.则四边形ABCD的面积是（）.A．72 B．66 C．42 D．364．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1-S2=12，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°.正确结论的个数是()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到直线AC的距离为（）A．1310 B．135 C．11107．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AC的中垂线分别交AC，BC于点D，E，则BE的长是()A．85 B．58 C．878．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则CD的长度为（）A．1cm B．32cm C．2cm D．9．两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．(a+b)2=c2 B．(a−b)2=10．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.若b-a=4，c=16，则每个直角三角形的面积为()A．64 B．60 C．120 D．128二、填空题（每题3分，共18分）11．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=.12．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2，则正方形A的面积是13．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．14．如图，已知长方形纸板的边长DE=10，EF=11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为.15．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1米，将它往前推4米至C处时(即水平距离CD=4米)，踏板离地的垂直高度CF=3米，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是米.16．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是.三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）17．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=15米，点A与地面上点C(点B，C处于同一水平面上)的距离AC=17米，且BC=8米．（1）求∠ABC的度数；（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长)．18．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？（2）这片绿地的面积是多少？19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE．（2）如果风筝沿射线CD方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？20．如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.（1）求证：△ABC≌△CDE.（2）若AB=3，DE=4，求AE的长.21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？22．如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路MD的距离；（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．23．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米．（1）求B处与地面的距离．（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？24．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，它的三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为40°的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形.图②是1次操作后得到的图形.（1）试画出2次操作后得到的图形.（2）已知最初的直角三角形斜边长为1cm，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和.（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗?请借助数学软件进行探索.（4）重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”.如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状?

答案解析部分1．【答案】C【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；

B、52+82≠122，不能组成直角三角形，不符合题意；

C、62+82=102，能组成直角三角形，符合题意；

D、62+72≠82，不能组成直角三角形，不符合题意故答案为：C.

【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.2．【答案】A【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题【解析】【解答】设折断处离地面的高度为x尺，则折断后竹竿上部的长度为(10-x)尺。竹竿折断后，地面上的部分、折断处到地面的高度、以及折断的部分构成一个直角三角形，其中：

直角边分别为x尺（垂直高度）和3尺（地面水平距离）；

斜边为(10-x)尺（折断部分）。

根据勾股定理，可列出方程：10−x2=x23．【答案】D【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：连接AC，

在Rt△ABC中，∠B=90∘,AB=3,BC=4,

∵AD=13,DC=12,∴A∴∠ACD=9∴四边形ABCD的面积S=×BC+==36.故答案为：D.【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90∘,根据三角形的面积公式求出△ABC4．【答案】A【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用【解析】【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c，

∴依题意得：S1=a2，S2=b2，S3=c2，

∵S3+S1-S2=12

在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2=a2+b2

∴S3=S1+S2，

∴S1+S2+S1-S2=12，

∴S1=6，

∴S△ABN=12S1=3

即图中阴影部分的面积为3

故选：A.

【分析】设BC=a，AC=b，AB=c，则S1=a2，S2=b2，S3=c2，根据勾股定理得c2=a2+b2，继而S3=S15．【答案】B【知识点】勾股定理；轴对称的性质；轴对称图形【解析】【解答】解：如图

∵直线l是该图案的对称轴，

∴∠AOB=∠DOC，∠BOF=∠COE，②正确；

假设正方形网格长度为1，则OA=OB=OC=OD=32+12=10，AB=CD=22+22=22，BC=2，在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC，只能得出∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，无法得出∠BOC=∠AOB，∴③错误；

连接BD，如图，

∵OB=OD=10，BD=42+22=25，

此时BD2=OB2+OD2，即∠BOD=90°，∴④正确；

∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°，∠AOB+∠BOC=∠AOC=∠BOD=90°，

∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+90°+∠BOC=180°，即①正确；

综上，6．【答案】B【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=32+42=5，设B到AC的距离为d，

S△ABC=4×4−12×1×3−12×3×4−17．【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

由勾股定理，得AC=AB2+BC2=32+42=5.

∵AC的中垂线分别交AC，BC于点D，E，即DE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE.

设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，因此AE=4-x.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE2=AE2，即32+x2=(4-x)2，

故答案为：D.

【分析】先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长；再利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），设未知数构建边的关系；最后在Rt△ABE中，由勾股定理列出方程求解，即可得出答案.8．【答案】B【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E；

在RtΔABC中，∠ACB=90°，

由勾股定理得∵AD是∠CAB的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，

设CD=DE=xcm，

∵S∴1即12化简得6=3x+5x2，12=8x，解得故答案为：B【分析】本题主要考察角平分线的性质、勾股定理及三角形面积公式的综合应用。首先，要求CD的长度，可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），过D作DE⊥AB构造相等线段CD=DE。先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再根据三角形的面积关系，ΔABC的面积等于ΔACD与ΔABD的面积之和，将CD和DE设为未知数x，代入面积公式列出方程，求解方程即可得到CD的长度。9．【答案】C【知识点】勾股定理的证明【解析】【解答】解：由题意S梯形=12a+b化简得：a2+b故答案为：C.【分析】根据图形面积的构成“S梯形=12a+ba+b10．【答案】B【知识点】三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：

由勾股定理得a2+b2=c2=162

故答案为：B.【分析】根据勾股定理可知a2+b2=c2，再根据b-a=4，c=16，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积.11．【答案】12【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=BA=x+1，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（x+1）2=52+x2，

解得x=12，

即BC=12，

故答案为：12．【分析】设BC=x，则BD=BA=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理列方程，求出x的值解答即可．12．【答案】4【知识点】勾股定理；勾股数【解析】【解答】解：如图，由勾股定理得，a2+b2∴S3=S1+∴S1∵S1∴S∴3S解得S故答案为：4．

【分析】本题考查勾股定理在“勾股树”中的应用，利用勾股定理的面积转化关系求解。根据勾股定理，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，即S3=S1+S2，S6=S4+S5，且斜边对应的正方形面积之和又等于正方形A的面积，即13．【答案】17【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，宽为8dm，长为2+3×3dm则点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2解得x=17．故答案为：17．【分析】将三级台阶的侧面展开得到一个长方形，该长方形的长为三级台阶的宽与高的和，宽为8dm，根据两点之间线段最短可得点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，然后利用勾股定理求解即可.14．【答案】6【知识点】三角形的面积；勾股定理；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，

设AC=b，BC=a，则AB=a2+b2

同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，

∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PF=FK=AN=PE=a，

∵DE=10，EF=11，

∴2b+a=10，2a+b=11，

∴a+b=7，

∴a2+b2=49-2ab，

∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，

∴10×11=3ab+12ab×4+a2+b2+(a2+b2)2，

整理得：5ab+2(a2+b2)=110，

15．【答案】5【知识点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：设绳索AC的长是xm，则AB=xm，

∵DE=FC=3m，BE=1m，

∴AD=AB+BE-DE=x+1-3=(x-2)m

∵AC2=AD2+CD2

∴x2=(x-2)2+42

∴x=5，

∴AC=5m.

故答案为：5.

【分析】设绳索AC的长是xm，则AB=xm，得到AD=AB+BE-DE=x+1-3=(x-2)m，由勾股定理得x2=(x-3)2+42，求出x的值，即可得到AC的长.16．【答案】7【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，∴AB2=28，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2∵AE+BE=7，∴2AE·BE=(AE+BE)∴AE·BE=21∴S正方形EFGH如图，∵四边形EFGH是正方形，∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，∵AH=CG，∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，∴AE=CG，∴△AEP≅△CGQ，∴S△∴S△∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，∴PF=HQ，∴S梯形∴△CFP与△AEP的面积差是72故填：72【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP≅△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于梯形GFPQ的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式2ab=17．【答案】（1）解：∵AB2+B∴AB∴∠ABC=90°；​​​​​​​（2）解：设AD=x米，则BD=15−x∵点D恰好在边AC的垂直平分线上，∴CD=AD=x米，在Rt△BDC中，由勾股定理得DC∴x解得x=答：这架无人机向下飞行的距离为28930【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的实际应用-其他问题【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可证明求解；

（2）设AD=x米，则BD=15−x米，根据线段垂直平分线的性质可得CD=AD=x米，在Rt△BDC（1）解：∵AB2+B∴AB∴∠ABC=90°；（2）解：设AD=x米，则BD=15−x∵点D恰好在边AC的垂直平分线上，∴CD=AD=x米，在Rt△BDC中，由勾股定理得DC∴x解得x=答：这架无人机向下飞行的距离为2893018．【答案】（1）解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=A∴AB+BC−AC=9+12−15=6(m)，答：居民从点A到点C将少走6m路程.（2）解：∵CD=17m，AD=8m，AC=15m∴A∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，∴S△DAC=∴S答：这片绿地的面积是114m【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理逆定理的实际应用【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可；

（2）先利用勾股定理的逆定理证出△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.（1）解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=A∴AB+BC−AC=9+12−15=6(m)，答：居民从点A到点C将少走6m路程；（2）解：∵CD=17m，AD=8m，AC=15m:A∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，∴S△DAC=∴S答：这片绿地的面积是114m19．【答案】（1）解：在Rt△BCD中，∠CDB=90°，由勾股定理得：CD=B∵CE=CD+DE，DE=1.5米，∴CE=16+1.5=17.5（米），答：风筝的垂直高度CE为17.5米．（2）解：解：如图，设回收后风筝位于点F，回收后风筝线长为BF=BC−5=20−5=15（米），在Rt△BDF中，DF=B风筝下降高度CF=CD−DF=16−9=7（米）．答：风筝的垂直高度下降7米．【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.

（2）设回收后风筝位于点F，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案.（1）在Rt△BCD中，∠CDB=90°，由勾股定理得：CD=B∵CE=CD+DE，DE=1.5米，∴CE=16+1.5=17.5（米），答：风筝的垂直高度CE为17.5米．（2）解：如图，设回收后风筝位于点F，回收后风筝线长为BF=BC−5=20−5=15（米），在Rt△BDF中，DF=B风筝下降高度CF=CD−DF=16−9=7（米）．答：风筝的垂直高度下降7米．20．【答案】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCE=90°，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∠BAC=∠DCEAB=CD∴△ABC≌△CDE（ASA）（2）解：由勾股定理得AC=AB2+BC2【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA【解析】【分析】(1)由垂直产生的互余关系可得∠BAC=∠DCE，由此可证△ABC≌△CDE；

(2)由勾股定理可得AC的长，由全等的性质知CE的长，由此可得AE的长.21．【答案】解∶设水池的深度为x尺，则芦苇的长为x+1尺，根据勾股定理得：x2+1022=x+12，

【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题【解析】【分析】根据题意，找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为x+1尺，由勾股定理得x222．【答案】（1）解：过点M作MD⊥l，交l于点D．MD即是新路．

∵MA=MB=200m,MD⊥l,AB=320m，

∴AD=12AB=12×320=160m,∠ADM=90°，

在Rt△ADM中，∠ADM=90°，

由勾股定理得AD（2）解：该车没有超速．理由如下：

在Rt△CMD中，∠CDM=90°，

由勾股定理得MD2+DC2=CM2，

∵CM=312m,MD=120m，

∴CD=3122−1202=288m，【知识点】等