2026秋小学新版人教版数学五年级上册六多边形的面积《格点多边形的面积》教学设计

《格点多边形的面积》教学设计课时安排：1课时，时长40分钟一、教材分析《格点多边形的面积》是2026秋新版人教版五年级上册第六单元“多边形的面积”最后的拓展选学内容，属于课标中“图形与几何”领域的综合实践内容。本节课是在学生已经掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，认识方格纸、点阵图的基础上开展的拓展学习。教材通过给出方格纸上的格点多边形，引导学生通过数方格、分割多边形等方法计算面积，进而探究面积与格点数量之间的规律，最终引出皮克定理。教材原文内容：“我们已经会计算规则多边形的面积，在方格纸中，每个小方格的边长都是1cm，相邻两个小方格的交点叫做格点，顶点都在格点上的多边形叫做格点多边形。怎样计算格点多边形的面积呢？请你在方格纸上画出几个不同的格点多边形，数一数它的面积，数一数它内部包含的格点数和边界上的格点数，看看能不能找到面积与格点数之间的关系。”本节课的学习不仅能巩固学生对已学平面图形面积计算的理解，还能培养学生从特殊到一般的归纳推理能力，渗透数形结合思想，为后续初中平面几何的学习积累探究经验。二、核心素养目标1.知识与技能：学生理解格点、格点多边形的概念，掌握用分割法、数方格法计算格点多边形面积的方法，能通过探究发现格点多边形面积与内部格点、边界格点的关系，初步掌握皮克定理并能运用公式计算简单格点多边形的面积。2.过程与方法：学生经历“提出猜想—举例验证—总结规律”的探究过程，提升观察、比较、归纳和推理能力，发展数形结合思想。3.情感态度与价值观：在小组合作探究中体会数学规律的简洁性，激发学生对数学拓展内容的探究兴趣，养成严谨的探究习惯。4.核心素养发展：发展学生的空间观念，提升几何直观和推理意识，培养学生用数学规律解决实际问题的应用意识。三、教学重难点1.教学重点：理解格点多边形的概念，探究格点多边形面积与格点数量的规律，掌握皮克定理的内容并能应用计算面积。2.教学难点：理解格点多边形面积与内部格点、边界格点的数量关系，自主归纳总结出格点面积公式。四、教学方法1.讲授法：讲解格点多边形基本概念，明确探究方向和要求。2.小组合作探究法：将学生按异质分组，4人一组，分别完成不同格点多边形的数据记录与规律验证，分工明确，适合差异化教学。3.直观演示法：利用方格纸教具、多媒体课件展示格点多边形，帮助学生直观区分内部格点和边界格点。4.分层教学法：针对不同层次学生设计不同难度的探究任务和作业，满足差异化教学需求。五、教学过程（40分钟）（一）情境导入，认识概念（5分钟）1.教师开场：同学们，我们已经学习了长方形、平行四边形、三角形等规则多边形的面积计算方法。今天老师给大家带来了一张特殊的方格纸，请看大屏幕：方格纸每个小方格的边长都是1厘米，相邻两个小方格的交点就叫做格点，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，我们就把它叫做格点多边形。2.互动操作：请第一排的同学拿起老师课前发的方格纸，现在请你在方格纸上画出一个格点多边形，画完举起来给同桌看一看，告诉同桌你的多边形哪些点是顶点，都在格点上吗？（学生操作，教师巡视，2分钟）3.教师追问：哪位同学愿意说一说，你画的格点多边形是什么形状？有没有同学画的多边形不是规则图形？（点2名学生回答，学生回答后教师总结）没错，格点多边形既可以是我们学过的规则图形，也可以是不规则图形，那不规则的格点多边形我们该怎么计算它的面积呢？今天我们就一起来探究这个问题。（板书课题：格点多边形的面积）（二）初步探究，尝试计算（10分钟）1.教师出示问题：现在大屏幕上有一个格点多边形，大家看，这个多边形内部有几个格点，边界上有几个格点？请你先自己想一想，我们可以用什么方法计算它的面积？2.学生思考1分钟后，教师提问：谁来说说你想到了什么方法？（预设学生回答：数方格、把它分成几个长方形再算面积）3.教师讲解：非常好，我们最容易想到的就是数方格法，不满一格按半格计算。我们来一起数：这个多边形满格的有8个，不满格的有6个，所以总面积是8+6÷2=11平方厘米。除了数方格，我们还可以用分割法，把这个多边形分割成一个长方形和两个三角形，分别计算面积再相加，我们算出来结果也是11平方厘米，和数方格的结果一致。4.分组任务布置：现在请每个小组拿出课前发的探究记录表，表格里有四行，分别要记录你研究的格点多边形的面积S、内部格点数N、边界格点数L。现在老师给每个小组分配不同的任务：1、2组探究内部格点N=0的格点多边形，3、4组探究N=1的，5、6组探究N=2的，7、8组探究N=3的，大家先画出符合要求的格点多边形，再用你喜欢的方法算出面积，填好表格，给大家8分钟时间，现在开始。5.教师巡视指导：在巡视过程中，重点指导学困生区分内部格点和边界格点，提醒学生计算面积的时候仔细核对，确保数据准确。对能力较强的小组，可以让他们多画1个不同的格点多边形，多记录一组数据。（三）归纳规律，总结公式（15分钟）1.数据汇总：8分钟后，教师组织学生停止探究，依次请每个小组派代表汇报你们记录的数据，老师把大家的数据填到黑板的汇总表格里。示例学生汇报数据汇总：当N=0：S=1，L=4；S=2，L=6当N=1：S=3，L=6；S=4，L=8当N=2：S=5，L=6；S=6，L=8当N=3：S=7，L=6；S=8，L=82.引导找规律：教师指着黑板上的表格提问：现在我们一起来看看这些数据，先固定N的值，看看S和L之间有什么关系。我们先看N=0的时候，第一组S=1，L=4：L÷2是多少？是2，L÷2-1等于1，正好等于S。第二组N=0，S=2，L=6：L÷2-1=3-1=2，也正好等于S。那如果N=0，S等于什么呢？（学生齐答：S=L÷2-1）3.教师继续引导：非常棒，那我们再看N=1的情况，第一组S=3，L=6，L÷2+N-1等于多少？算一算：3+1-1=3，正好等于S。第二组N=1，S=4，L=8：4+1-1=4，也对。4.小组讨论：那我们把N换成2、N换成3，看看是不是都符合S=L÷2+N-1这个关系？请每个小组对照你们的数据算一算，看看这个公式成立吗？给大家3分钟讨论时间。5.学生验证后发言，教师总结：大家计算后发现，所有的数据都符合这个规律！这个就是我们今天要找的格点多边形面积公式，也叫做皮克定理：S=N+L÷2-1，这里S是格点多边形的面积，N是多边形内部的格点数，L是多边形边界上的格点数。这个规律是奥地利数学家皮克发现的，所以用他的名字命名。（四）应用公式，巩固练习（7分钟）1.基础练习：教师出示一个简单格点多边形，N=2，L=8，请学生用公式计算面积，再用分割法验证。学生计算：S=2+8÷2-1=2+4-1=5平方厘米，分割法验证结果正确。2.差异化练习：学困生完成N=0，L=8的格点多边形面积计算；中等生计算自己画的格点多边形面积，和公式计算结果对比；优等生计算不规则格点多边形面积，验证公式正确性。3.教师小结：今天我们通过自己探究，发现了格点多边形面积的计算规律，这个公式能非常快的帮我们算出任意格点多边形的面积，非常方便。（五）课堂小结（3分钟）教师提问：今天我们学习了什么内容？你有什么收获？请2名学生回答后，教师总结：我们认识了格点和格点多边形，通过自主探究发现了皮克定理，会用公式计算格点多边形的面积，探究过程中大家都用到了归纳推理的方法，这是数学中非常重要的研究方法。六、作业设计1.基础层（全体学生完成）：在方格纸上画出3个不同的格点多边形，分别数出每个的内部格点数和边界格点数，用皮克定理计算面积，再用分割法或数方格法验证结果是否正确。2.提高层（中等以上学生完成）：找一个格点多边形，改变它的形状，保持内部格点和边界格点数量不变，看看面积会不会变化，把你的发现写下来。3.拓展层（学有余力学生完成）：查资料了解皮克定理的适用范围，想一想如果格点多边形中间有空洞，公式会有什么变化？七、结语本节课的设计贴合2022版课程标准对综合实践内容的要求，立足学生已有的面积计算基础，通过分层分组探究实现差异