3.3 探索与表达规律（1）-北师大版数学七上同步分层训练

.3探索与表达规律（1）-北师大版数学七上同步分层训练一、基础训练1．有94个数如下排列：4，1，7，4，1，7，4.…第94个数是().A．4 B．1 C．7 D．无法确定2．观察一列单项式：x，−3x3，7x5，A．(−1)n+1(2n−1)C．(−1)n+1(3．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为50．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，框出的5个数的和可能是（）日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．120 B．110 C．86 D．634．如图所示，按大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，…以此类推，当第2025次数到中指时，这个数是()A．8098 B．8099 C．8100 D．81015．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示.即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（）A．8 B．6 C．4 D．26．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第5层小球的个数为.7．甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子结构相似的一类有机化合物，统称为“烷烃”，烷烃的命名与分子中碳原子的个数有关，下表是“烷烃”化学式的排列规律：物质甲烷乙烷丙烷丁烷戊烷己烷···化学式CCCCCC…则含n个碳原子数的“烷烃”的分子式为．8．一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是．9．观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，……（1）请写出这一列数中的第100个数和第2022个数．（2）在前2022个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2023和-2023是否都在这一列数中？若在，请指出它们分别是第几个数；若不在，请说明理由．10．阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：①24×11=264．计算过程：24两数拉开，中间相加，即2+4=6，最后结果264；②68×11=748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8=14，满十进一，最后结果748．（1）计算：①23×11=______，②87×11=______；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b<10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理．二、巩固提升11．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数.以“快乐数”70为例：72A．3 B．7 C．13 D．3112．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，则第2026次输出的结果是（）A．1 B．2 C．4 D．813．我们可以用符号f（a）表示代数式，a是正整数，我们规定：当a为奇数时，f（a）=3a+1，当a为偶数时，f（a）=a2.例如：f(1)=3×1+1=4，f(10)=102=5.设a1=8，a2=f(a1)，14．如图，根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，a+b-4c的值是（）A．-512 B．2 C．-2 D．54815．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，前n天截取的木棍总长度为（）尺A．12n−1 B．1−12n−1 16．已知有理数a≠1，我们把11−a称为a的差倒数，例如2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−−1=12．如果a1=12，a2是a17．已知等式：2+23=22×23，3+18．如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题.小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是.19．如图，从左到右，在每个小个子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻各自中所填整数之和都相等.

（1）可求得x=；第2019个格子中的数为；（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2023?若能，求出m的值；若不能，请说明理由；（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a一b|的和可以通过计算：|9-&|+|9-#|+|&-#|+|&-9|+|#-9|+|#-&|得到，若a，b为前4个格子中的任意两个数，求所有的|a-b|的和．20．阅读理解，并解答问题：观察下列各式：12=11×2=1−（1）若n为正整数，请你猜想1n（2）请利用上述规律计算（要求写出计算过程）：①12②11×321．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．（1）十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为a，如何用代数式表示十字框中五个数之和？（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？（4）十字框中的五个数之和能为2018吗？能为2025吗？22．观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2=﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60

三个角上三个数的和1+（﹣1）+2=2（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12

积与和的商﹣2÷2=﹣1

（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．三、能力应用23．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫∗(加乘)运算．”然后他写出了一些按照∗(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+4)*(+2)＝6；(－4)*(－3)=+7；…(－5)*(+3)=－8；(+6)*(－7)=－13；…(+8)*0=8；0*(－9)=9．…小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的∗(加乘)运算的运算法则了．”请你帮助小亮完成下列问题：（1）归纳∗(加乘)运算的运算法则：两数进行∗(加乘)运算，．特别地，0和任何数进行∗(加乘)运算，或任何数和0进行∗(加乘)运算，都得这个数的绝对值．（2）若有理数的运算顺序适合∗(加乘)运算，请直接写出结果：①(－3)∗(－5)=；②(+3)∗(－5)=；③(－9)∗(+3)∗(－6)=；（3）试计算：［(－2)*(+3)］*［(－12)*0］(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致)；24．材料一：对有理数a，b，定义Fa,b：当a<b或a=b时，Fa,b=a+b；当a>b时，Fa,b=a−b材料二：我们可以用下面的方法快速求出1+2+3+⋯+100的值：令S=1+2+3+⋯+100①则S=100+99+⋯+3+2+1②①+②得所以S=100×请根据上述材料，解决下列问题：（1）F−1,3=______，（2）已知x+y=20，且x>y，求F6,x（3）求F1,10125．我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为a1，第2个数记为a2，…，第n个数记为an。1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，a7=13，a8=21，a9=34，…。从a3开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即ana2小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子……（1）请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出a2（2）小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立。你赞同小明的想法吗?如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法。（3）①请你借鉴小明的探究思路，直接写出a1②查得该数列中a30=832040，a31=1346269，求a1

答案解析部分1．【答案】A【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵有94个数如下排列：4，1，7，4，1，7，4，

∴3个数为一个循环，且排列为4，1，7，

则94÷3=31...1，

第94个数是4，

故答案为：A.

【分析】根据数据排列：4，1，7，4，1，7，4得出3个数为一个循环，且排列为4，1，7，再列式计算，即可求出第94个数.2．【答案】C【知识点】探索数与式的规律；单项式的次数与系数【解析】【解答】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(−1)n−1或(−1)∵数字系数（不含正负）为：1，3，7，15，31，⋯，∴第n个单项式的数字系数（不含正反）为：2n∵指数是从1开始的连续奇数，∴第n个单项式的指数为：2n−1，∴第n个单项式为：(−1)n−1(故答案为：C．

【分析】根据题干先观察得到奇数项系数为正，偶数项系数为负，进而可以用(−1)n−1或(−1)3．【答案】B【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律【解析】【解答】解：设左上角的数是x，它右边的一个数为x+2，它正下方的数为x+14，它右对角线的两个数分别是x+8，x+16．则这五个数的和是x+x+2+x+14+x+8+x+16=5x+40=5(x+8)，∴这五个数的和一定是5的倍数，120÷5=24，观察月历，不存在，故A不符合题意；110÷5=22，观察月历，存在，故B符合题意；86，63都不是5的倍数，故C、D都不符合题意．故答案为：B．

【分析】根据数字的变化规律：设左上角的数是x，它右边的一个数为x+2，它正下方的数为x+14，它右对角线的两个数分别是x+8，x+16，则这五个数的和是5(x+8)，因而这五个数的和一定是5的倍数，由此解答即可．4．【答案】B【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：由题知，

第1次数到中指时，这个数是3，

第2次数到中指时，这个数是7，

第3次数到中指时，这个数是11，

第4次数到中指时，这个数是15，

…，

所以第n次数到中指时，这个数是（4n-1）．

当n=2025时，

4n-1=4×2025-1=8099，

即第2025次数到中指时，这个数是8099故答案为：B.【分析】根据题意，依次求出每次数到中指时的数，发现规律即可解决问题.5．【答案】C【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4.故答案为：C.【分析】观察发现：尾数每4个一循环，求出2022÷4的商以及余数，据此解答.6．【答案】15【知识点】用代数式表示数值变化规律【解析】【解答】解：分析数列规律观察各层球的个数：

第1层：1=1×1+12

第2层：3=2×2+12

第3层：6=3×3+12

由此可归纳出第n层的球数公式为：an=nn+12故答案为：15.【分析】本题解题核心是找出数列的规律：

先通过前三层的球数第1层：1，第2层：3，第3层：6，归纳出第n层球数的通项公式an7．【答案】C【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an由表可知：碳原子的数目为1、2、3……n，当n=1时，ann=2时，ann=3时，an……∴an∴含n个碳原子数的“烷烃”的分子式为Cn故答案为：CnH2n+2.

【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a8．【答案】100a+10b+8【知识点】探索数与式的规律；代数式的实际意义【解析】【解答】解：由题意可得这个三位数为100a+10b+8．故答案为：100a+10b+8．

【分析】将百位上的数字乘100，10位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后作和即可．9．【答案】（1）由题意可得，奇数为负，偶数为正，∴第100个数是100；第2022个数是2022．（2）在前2022个数中，正数和负数均有1011个．（3）-2023在这一列数中，它是第2023个数．2023不在这一列数中，理由：∵第奇数个数均为负数．∴2023不在这-列数中．【知识点】探索数与式的规律【解析】【分析】（1）找出这一列数的规律，据此即可得出答案；

（2）找出这一列数的符号变化规律，据此即可得出答案；

（3）根据第奇数个数均为负数，即可得出答案.10．【答案】（1）①253；②957；（2）a，a+b，b；（3）解：两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：10a+b则11=100a+10b+10a+b=100a+10根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律【解析】【解答】（1）解：23×11=253，计算过程：23两数拉开，中间相加，即2+3=5，最后结果253；87×11=957，计算过程：87两数拉开，中间相加，即8+7=15，满十进一，最后结果957；故答案为：①253；②957；（2）某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b<10），则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是a+b，个位数字是：b；故答案为：a，a+b，b；

【分析】

（1）直接根据口诀解题即可；

（2）总结规律即可；

（3）根据整式的运算化简得到结论．（1）解：23×11=253，计算过程：23两数拉开，中间相加，即2+3=5，最后结果253；87×11=957，计算过程：87两数拉开，中间相加，即8+7=15，满十进一，最后结果957；故答案为：①253；②957；（2）某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b<10），则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是a+b，个位数字是：b；故答案为：a，a+b，b；（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为：10a+b则11=100a+10b+10a+b=100a+10根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一．11．【答案】A【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则【解析】【解答】解：A、∵32=9≠1，不符合“快乐数”定义，∴A不是“快乐数”；

B、∵72＝49⇒42+92＝97⇒92+72＝130⇒12+3212．【答案】A【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图【解析】【解答】解：把x=5代入得：5+3=8，

把x=8代入得：12×8=4，

把x=4代入得：12×4=2，

把x=2代入得：12×2=1，

把x=1代入得：1+3=4，

把x=4代入得：12×4=2，

...，

故答案为：A.【分析】把x=5代入程序中计算，以此类推得到循环规律，即可得出第2026次输出的结果.13．【答案】2【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵a1=8，

∴a2=f(a1)=82=4；a3=f(a2)=42=2，故答案为：2【分析】首先求出a2，a3，a4，a5的值，进而可得出规律，根据规律即可得出a202514．【答案】B【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：由题图可知：a=（-2）n，b=a+2，c=a2，

∴第⑨个图中：a=（-2）9，b=（-2）9+2，c=（−2）92

∴a+b-4c=（-2）9+（-2）9+2-4×（−2）92故答案为：B。【分析】首先根据题图，可归纳得出规律，可求得第⑨个图中：a=（-2）9，b=（-2）9+2，c=（−2）15．【答案】D【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系【解析】【解答】解：第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽，

第一天截取12，则剩下12；

第二天截取12×12=14，则剩下12−14=14，

第三天截取故答案为：D.

【分析】根据题意，第一天截取12，第二天截取122，第三天截取116．【答案】33【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：由题意可得：a1a2a3a4…∴这列数依次以12，2，−1∴a166÷3=22，∴a1故答案为：33．

【分析】根据差倒数定义求出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点：这列数依次以12，2，−117．【答案】−1【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：∵2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，…，∴n+nn2−1=18．【答案】644070【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：由观察可知，前三个密码等式规律为：

6×6=36，9×9=81，4×4=16；

5×6=30，2×9=18，8×4=32；

5×(2+6)=40，2×(6+9)=30，8×(3+4)=56.

∴5*2⊕6规律为：8×8=64，5×8=40，5×(6+8)=70，

∴5*2⊕6=644070，即为她输入的密码.

故答案为：644070.

【分析】先通过已知的3组等式，将结果拆分为前，中，后三段，即前两位，中间两位，最后两位，分别归纳出每一段与每组三个数的运算规律；再根据规律将5，6，8代入规律，即8×8=64，5×8=40，5×(6+8)=70，依次计算三段数值并拼接，最终得到密码．19．【答案】（1）9；2（2）解：前m个格子中所填整数之和可能为2023，此时m=1214，

理由如下：

由(1)知这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为9，-6，2，

∴每个循环内的三个数字之和为9-6+2=5，

∵前404×3=1212个数字之和为5×404=2020，

∴前1214个数字之和为2020+9-6=2023，

∴当m=1214时，前m个数字之和为2023，

∴前m个格子中所填整数之和可能为2023，此时m=1214；（3）解：由(1)可知前四个格子中的数分别为9，-6，2，9，

|9-(-6)|+|9-2|+|9-9|+|-6-9|+|-6-2|+|-6-9|+|2-9|+|2-(-6)|+|2-9|+|9-(-6)|+|9-2|+|9-9|

=|15|+|7|+|0|+|-15|+|-8|+|-15|+|-7|+|8|+|-7|+|15|+|7|+|0|

=104，

∴若a，b为前4个格子中的任意两个数，所有的|a-b|的和为104.【知识点】探索数与式的规律；化简含绝对值有理数【解析】【解答】解：(1)根据"任意三个相邻格子中所填整数之和都相等"可知此表是由三个整数重复排列而成，而表格中给出的9，-6和2，因此就是这三个数重复出现，且必须是按9，-6，2这样的顺序重复才能符合要求，故x的值是9；

2019÷3=673，得第2019个格子中的数是2；

故答案为：9；2.

【分析】(1)根据"任意三个相邻格子中所填整数之和都相等"可知此表是由三个整数重复排列而成，便可求得x和&、#的值，再观察这组数，可发现每三个数循环一次，则2019÷3=673得出第2019个格子中的数；

(2)求出每个循环内三个数字的和，进而可得前1212个数字之和为2020，据此可得答案；

(3)根据(1)可得前4个格子中的数，再根据所有|a-b|的和的计算公式求解即可.20．【答案】（1）1（2）解：①1==1−=1−=7②1=====【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算【解析】【解答】（1）解：由题意得，1n故答案为：1n【分析】（1）1n（2）①根据材料可把原式中每一个分数转化为两个连续自然数的倒数的差，再进行加减运算即可；②同上，可把每一个分数转化为两个连续奇数的倒数的差的一半，再提公因数12并对括号内进行加减运算，最后给结果乘以1（1）解：由题意得，1n故答案为：1n（2）解：①1==1−=1−=7②1=====721．【答案】（1）解：5+13+15+17+25÷15=75÷15=5则十字框中的五个数之和与中间数15的5倍；（2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为a−2，a+2，a−10，a+10，由题意，得a+a−2+a+2+a−10+a+10=5a，因此十字框中的五个数之和为5a．（3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为b−2，b+2，b−10，b+10，由题意，得b+b−2+b+2+b−10+b+10=5b，因此这五个数之和还是中间数的5倍.（4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍，2018÷5=403.6，因为403.6是小数，所以十字框中五个数之和不能为2018，2025÷5=405，因为405是整数，且405在第三列，所以十字框中五个数之和能为2025．【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加再除以15即可；

（2）设中间数为a，则其余的4个数分别为a−2，a+2，a−10，a+10，利用整式的加减法求出答案即可；

（3）设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为b−2，b+2，b−10，b+10，利用整式的加减法求出答案即可；

（4）利用2018和2025分别除以5并判断即可.（1）解：5+13+15+17+25÷15=75÷15=5则十字框中的五个数之和与中间数15的5倍；（2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为a−2，a+2，a−10，a+10，由题意，得a+a−2+a+2+a−10+a+10=5a，因此十字框中的五个数之和为5a．（3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为b−2，b+2，b−10，b+10，由题意，得b+b−2+b+2+b−10+b+10=5b，因此这五个数之和还是中间数的5倍.（4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍，2018÷5=403.6，因为403.6是小数，所以十字框中五个数之和不能为2018，2025÷5=405，因为405是整数，且405在第三列，所以十字框中五个数之和能为2025．22．【答案】（1）解：图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170，（﹣2）+（﹣5）+17=10，170÷10=17．

图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2=﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60（﹣2）×（﹣5）×17=170三个角上三个数的和1+（﹣1）+2=2（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12（﹣2）+（﹣5）+17=10积与和的商﹣2÷2=﹣1，（﹣60）÷（﹣12）=5，170÷10=17（2）解：图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360，5+（﹣8）+（﹣9）=﹣12，y=360÷（﹣12）=﹣30，图⑤：1×x×31+x+3解得x=﹣2；经检验x=﹣2是原方程的根，∴图⑤中的数为﹣2【知识点】探索数与式的规律【解析】【分析】（1）根据要求求出三个角上三个数的积和三个角上三个数的和，再求积与和的商即可；（2）y=积与和的商，图⑤中，和=1+3+x，积=1×3×x，再根据积与和的商=-3可得关于x的方程，解这个方程即可。23．【答案】（1）同号得正、异号得负，把绝对值相加（2）8；-8；19（3）解：原式=(−5)*12=−17.【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：(1)归纳*(加乘)运算的运算法则：两数进行*(加乘)运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加。故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加.(2)①(－3)∗(－5)=8；②(+3)∗(－5)=-8；③(－9)∗(+3)∗(－6)=18.【分析】该题型是新型定义题。由定义得：加乘运算法则是：同号得正，异号得负，并把绝对值相加。而0与任何数进行此运算都得这个数的绝对值。所以以下各题都可以按照此运算法则进行计算。24．【答案】（1）2；5（2）解：∵x+y=20，且x>y，∴x>10，y<10，

∴F6,x−F10,y

=6+x−10−y

=x+y−4

=20−4

=16，

故（3）解：F==102+103+⋅⋅⋅+202+1+2+⋅⋅⋅+98=1+2+3+⋅⋅⋅+2