5.3.2应用二元一次方程组-增收节支（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

班

级：8年级（

）班

.

时

间：.

2026年7月28日

5.3.2应用二元一次方程组——增收节支第五章

二元一次方程组5.3.2应用二元一次方程组——增收节支

同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、本节核心题型增收节支问题是二元一次方程组经典应用题，主要包含：利润盈亏、增长率、降低率、收入支出、成本利润五类实际问题，核心是通过两组收支、增减的等量关系列方程组求解。二、必考基础公式（解题万能依据）1.收入、支出、结余关系$$\text{收入}-\text{支出}=\text{结余}$$2.增长率公式$$\text{新量}=\text{原量}\times(1+\text{增长率})$$3.降低率公式$$\text{新量}=\text{原量}\times(1-\text{降低率})$$4.利润公式$$\text{利润}=\text{总收入}-\text{总成本}$$三、标准解题六步模板（考试满分）1.审题：梳理原收入、现收入、原支出、现支出、增长率、降低率等已知条件；2.设元：通常设原来的收入为x，原来的支出为y（最通用设元方式）；3.找双等量：①

原来的收支结余关系

②

增减后的收支结余关系；4.列方程组：根据两组收支、增减关系列二元一次方程组；5.求解：用代入/加减消元法解方程；6.验答：收入、支出必为正数，舍去不合理结果，规范作答。四、两类核心出题模型（必考）模型1：基础收支结余模型已知：原收入、原支出、原结余；收入增加、支出减少，得到新结余。核心两组关系：①

原收入−原支出=原结余②

现收入−现支出=现结余模型2：增长率/降低率增收节支模型（重难点）收入增长一定百分比，支出降低一定百分比，已知新旧结余，求原收入、原支出。现收入=$$x(1+\text{增长率})$$现支出=$$y(1-\text{降低率})$$五、高频易错扣分点1.混淆增长率和降低率公式，符号用反；2.误将“增长后总量”当成“增长量”，概念混淆；3.漏找两组等量关系，只列单个方程无法求解；4.设元不规范，不带单位，作答不完整；5.忽略实际意义，出现负数收支不检验舍去。六、解题口诀增收加、节支减，原量乘率得新量；收支结余两组式，二元消元求原值；正数合理负数舍---【经典满分例题（课本原题）】例题：增长率增收节支问题某工厂去年总收入、总支出共结余50万元，今年总收入比去年增加10%，总支出比去年节约20%，今年结余100万元。求去年的总收入、总支出各是多少万元？解：设去年总收入为$$x$$万元，总支出为$$y$$万元。根据题意列方程组：$$\begin{cases}x-y=50\\(1+10\%)x-(1-20\%)y=100\end{cases}$$整理得：$$\begin{cases}x-y=50\\1.1x-0.8y=100\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=200\\y=150\end{cases}$$答：去年总收入200万元，总支出150万元。---【同步专项练习题】一、填空题1.收支核心公式：________−________=结余。2.增长后总量=原量

×________，降低后总量=原量

×________。3.增收节支问题需找________组独立等量关系，列二元一次方程组求解。二、解答题（规范步骤解题）1.某公司去年结余30万元，今年收入增加20%，支出减少10%，今年结余66万元，求去年的收入和支出。2.商店经营某种商品，上月总收入比总支出多8000元，本月收入增加15%，支出减少5%，本月比上月多结余9500元，求上月收入、支出各多少元。3.农户养殖，去年收支相抵结余4000元，今年收入提高35%，支出降低10%，今年结余11800元，求去年收入与支出。---【参考答案与详细解析】一、填空题答案1.收入、支出2.$$(1+\text{增长率})$$、$$(1-\text{降低率})$$3.两二、解答题标准解析1.解：设去年收入$$x$$万元，支出$$y$$万元$$\begin{cases}x-y=30\\1.2x-0.9y=66\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=130\\y=100\end{cases}$$答：去年收入130万元，支出100万元。2.解：设上月收入$$x$$元，支出$$y$$元$$\begin{cases}x-y=8000\\1.15x-0.95y=8000+9500\end{cases}$$整理：$$\begin{cases}x-y=8000\\1.15x-0.95y=17500\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=20000\\y=12000\end{cases}$$答：上月收入20000元，支出12000元。3.解：设去年收入$$x$$元，支出$$y$$元$$\begin{cases}x-y=4000\\1.35x-0.9y=11800\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=20000\\y=16000\end{cases}$$答：去年收入20000元，支出16000元。【本节满分总结】1.增收节支核心：原收支结余+增减后收支结余两组等量；2.牢牢记住增减率公式，区分增长量和现总量；3.通用设元：设去年/原来的收入、支出为x、y，计算最简便；4.所有收支数值必须为正，解题后结合实际检验。能借助表格、线段图等方法直观分析较为复杂问题中的数量关系，并建立方程组解决问题.会列二元一次方程组解决“增收节支”“配制(或配套)”类问题.通过问题的解决进一步感受数学与现实世界的密切联系，培养学生必要的经济意识，增强他们节约成本，有效、合理地利用资源的意识．复习导入列二元一次方程组解应用题的步骤：(1)审清题意，设未知数；(2)弄清各个量之间的关系，找出等量关系；(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；(4)解二元一次方程组；(5)作答.视频导入问题

某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？(1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?(1)已知量：前年总利润、去年总利润、去年的总收入增加的百分率，去年的总支出减少的百分率.未知量：前年的总收入、前年的总支出、去年的总收入、去年的总支出.问题

某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？(1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?等量关系：总收入-总支出=总利润.问题

某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？(2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗?

利用表格梳理题目中的关键信息，是一种常用的方法.知识点1“增收节支”类问题问题

某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？知识点1“增收节支”类问题总收入/万元总支出/万元总利润/万元前年去年x(1+20%)xy(1-10%)y200780知识点1“增收节支”类问题

跟踪训练甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价.知识点1“增收节支”类问题甲/元乙/元合计/元原来的单价现在的单价xy100(1-10%)x(1+40%)y100×(1+20%)知识点1“增收节支”类问题

医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要?分析：设每餐用甲原料xg、乙原料yg，则有知识点2“配制（或分配）”类问题成分甲原料xg乙原料y

g配制的营养品其中所含蛋白质其中所含铁质0.5x0.7y35x0.4y40

知识点2“配制（或分配）”类问题跟踪训练玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成的，要求原料中含二氧化硅70%.已知石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.在3.2t原料中，需石英砂和长石粉各多少?知识点2“配制（或分配）”类问题石英砂/t长石粉/t重量/t需要量含二氧化硅x99%xy67%y3.270%×3.2知识点2“配制（或分配）”类问题

在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会?

常常采用表格梳理关键信息，能够将各个量之间的关系直观展现出来，便于列方程组.知识点2“配制（或分配）”类问题

返回C2.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3％，乙种贷款每年的利率为3.5％，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为

.返回30万元、20万元3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60％的利润率标价出售，乙玩具按50％的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元.返回(1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是

元，甲玩具的售价是

元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是

元，乙玩具的售价是

元.(用含x，y的式子填空)返回1.6x1.44x1.5y1.35y(2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元.

返回(3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？

返回所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具.返回知识点2配比问题4.用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示：返回种类甲种原料乙种原料维生素C的含量/(单位•kg－1)600100原料价格/(元•kg－1)84现要配制一种含5000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料

kg，乙种原料