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隐函数的求导公式一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数存在定理1

设函数在点的),(yxF)某一,(00yxP邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=yxF0),(00¹yxFy，则方程0),(=yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy=，它满足条件)(00xfy=，并有

yxFFdxdy-=.

解令则例１验证方程0122=-+yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x时1=y的隐函数)(xfy=，并求这函数的一阶和二阶导数在0=x的值.依定理知方程0122=-+yx在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x时1=y的函数)(xfy=函数的一阶和二阶导数为隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00=zy，0),,(000¹zyxFz，则方程,,(yxF0)=z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数)，,(yxfz=它满足条件),(000yxfz=并有

zxFFxz-=¶¶，

zyFFyz-=¶¶.解令则例2设04222=-++zzyx，求22xz¶¶.二、方程组的情形隐函数存在定理3设),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),,,(0000=vuyxF,),,,(0000vuyxG0=，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）

vGuGvFuFvuGFJ¶¶¶¶¶¶¶¶=¶¶=),(),(在点),,,(0000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(=vuyxF、0),,,(=vuyxG在点),,,(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu=，),(yxvv=，它们满足条件),(000yxuu=,vv=0),(00yx，并有解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项例3设0=-yvxu，1=+xvyu，

求

xu¶¶，yu¶¶，xv¶¶和yv¶¶.

将所给方程的两边对求导，用同样方法得在0¹J的条件下，

设函数在点(1)证明方程组(2)求反函数对x,y的偏导数。0),(),(),(¹¶¶vuyxvu的某一邻域内连续偏导数，又).,(),,(),(),(yxvvyxuuvuyxvuyyvuxx==îíì==偏导数的反函数一组连续且具有连续的某一邻域内唯一确定），，，在点（例4即得所要证的论。（2）将上面方程组所确定的反函数代入，即得将上述恒等式两边分别对x求偏

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