新版人教版八年级上册第十一章三角形导学案

新版人教版八年级上册第十一章三角形导学案章前引言亲爱的同学们，我们的平面几何之旅已经开启了一段时间。从最基本的点、线、面，到相交线与平行线，我们逐步探索着几何世界的奥秘。本章，我们将聚焦一种非常基本且重要的平面图形——三角形。三角形，在我们的生活中无处不在：屋顶的框架、自行车的支架、埃及的金字塔、甚至我们吃的三角饭团。为什么三角形如此常见？它究竟有哪些独特的性质，使得它在建筑、设计乃至自然界中都占据着不可替代的地位？通过本章的学习，我们将揭开三角形的神秘面纱，深入理解它的构成、性质，并学会运用这些知识解决实际问题。准备好了吗？让我们一起走进三角形的世界！学习目标1.知识与技能：*理解三角形的有关概念（边、角、顶点、内角、外角、中线、高线、角平分线）。*掌握三角形三边之间的关系，并能运用其解决简单的问题。*掌握三角形内角和定理，并能运用其进行角度计算和简单推理。*了解三角形的外角的性质，并能运用其解决问题。*了解三角形的稳定性及其应用。*会画三角形的中线、高线和角平分线，并理解它们的性质。2.过程与方法：*通过观察、操作、实验、推理等数学活动，体验三角形概念和性质的探索过程。*在解决与三角形相关问题的过程中，体会数形结合、转化与化归等数学思想。*培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观：*在探索三角形性质的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。*通过小组合作与交流，培养团队协作精神和表达能力。*体会数学与现实生活的密切联系，增强应用意识。---11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边学习导航我们每天都能看到各种形状的三角形，那么，什么样的图形才叫做三角形呢？它有哪些基本元素？三角形的三条边之间又存在着怎样的数量关系呢？让我们带着这些问题开始今天的学习。新知探究活动一：认识三角形1.观察与思考：观察课本中的图形或生活中的三角形实例（如屋顶、支架等），思考：这些图形有什么共同的特点？2.归纳定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。3.基本元素：*边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。*顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。*角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。4.表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示，通常顶点A所对的边记作a，顶点B所对的边记作b，顶点C所对的边记作c。活动二：三角形的分类（按边）1.动手操作：请你用尺子画出几个不同的三角形，并测量它们各边的长度。2.分类讨论：观察你所画的三角形，它们的三条边长度都相等吗？有两条边相等的吗？三条边都不相等的吗？3.得出结论：*三条边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）。*有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。（等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。）*三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。（等边三角形是一种特殊的等腰三角形。）活动三：三角形三边的关系1.动手实验：现有若干长度不等的小木棒（或吸管、细绳等），请尝试用以下各组长度的小木棒首尾顺次相接，看能否摆成三角形：*组1：3cm，4cm，5cm*组2：2cm，5cm，7cm*组3：1cm，3cm，5cm*组4：4cm，4cm，6cm记录你的实验结果。2.思考与发现：为什么有的能摆成三角形，有的不能？能摆成三角形的三条边长度之间有什么关系？不能摆成的又是什么原因？（提示：比较较短两条边的长度之和与最长边的长度之间的大小关系。）3.归纳定理：三角形两边的和大于第三边。数学表达式：在△ABC中，a+b>c，a+c>b，b+c>a。（思考：为什么要强调“任意”两边之和？）4.推论：由“三角形两边的和大于第三边”，你能得出三角形两边的差与第三边有什么关系吗？三角形两边的差小于第三边。数学表达式：在△ABC中，a-b<c(假设a>b)，等等。例题解析例1：判断下列长度的三条线段能否组成三角形，并说明理由。（1）3，4，8（2）5，6，11（3）5，6，10分析：判断三条线段能否组成三角形，只需验证“任意两边之和是否大于第三边”。但为了简便，我们通常只需验证较短的两条边之和是否大于最长边即可。解：（1）因为3+4=7，7<8，所以不能组成三角形。（2）因为5+6=11，11=11，所以不能组成三角形。（注意：等于也不行）（3）因为5+6=11，11>10，所以能组成三角形。例2：一个三角形的两边长分别是3和7，第三边长为整数，求第三边的可能值。分析：设第三边长为x，根据三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可列出不等式组。解：设第三边长为x。根据三角形三边关系，得7-3<x<7+3即4<x<10因为x为整数，所以x的值可以是5，6，7，8，9。答：第三边的可能值为5，6，7，8，9。巩固练习1.图中共有几个三角形？请分别表示出来，并指出每个三角形的边和顶点。（此处应有一个简单的三角形组合图形，如含多个小三角形的图形）2.下列说法正确的是（）A.等边三角形不是等腰三角形B.等腰三角形一定是等边三角形C.三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形D.三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形3.若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为多少？（温馨提示：等腰三角形有两条边相等，但要考虑哪条边是腰，还要满足三角形三边关系哦！）4.已知三角形的三边长为连续整数，且周长为18，求这个三角形的三边长。课堂小结1.三角形的定义及基本元素（边、顶点、角）。2.三角形按边的分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）。3.三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。（及其推论：三角形任意两边之差小于第三边）4.利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，以及求第三边的取值范围。11.1.2三角形的高、中线与角平分线学习导航我们已经学习了三角形的边，三角形中还有一些重要的线段，它们分别与三角形的角和边有着密切的联系。这些线段是什么？它们又有什么性质呢？新知探究活动一：三角形的高1.回忆与迁移：我们已经学过“垂线”，什么是点到直线的距离？2.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。3.画法：请你任意画一个锐角三角形ABC，分别过点A、点B、点C作对边BC、AC、AB的高。观察这三条高的位置关系。再画一个直角三角形和一个钝角三角形，分别画出它们的三条高，观察高的位置有何不同？4.性质总结：*三角形的三条高（或其延长线）相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。*锐角三角形的三条高都在三角形的内部，垂心也在内部。*直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形的内部，垂心是直角顶点。*钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在内部，垂心在三角形的外部。活动二：三角形的中线1.思考：如何将一条线段分成相等的两部分？2.定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。3.画法与探究：画一个三角形ABC，找出边BC的中点D，连接AD，AD就是△ABC的一条中线。分别画出△ABC的另外两条中线BE和CF。观察：三角形的三条中线相交于一点吗？这个点叫做三角形的重心。思考：三角形的一条中线把三角形分成了两个什么样的图形？它们的面积有什么关系？为什么？4.性质总结：*三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。*三角形的重心在三角形的内部。*三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。活动三：三角形的角平分线1.回忆：什么是角平分线？2.定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。3.画法与探究：画一个三角形ABC，画出∠A的平分线AD，交BC于点D。AD就是△ABC的一条角平分线。分别画出△ABC的另外两条角平分线BE和CF。观察：三角形的三条角平分线相交于一点吗？这个点叫做三角形的内心。4.性质总结：*三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。*三角形的内心在三角形的内部。*三角形的角平分线分得的两个角相等，都等于原角的一半。概念辨析*三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线。*三角形的垂心、重心、内心是三个不同的点，分别是三条高、三条中线、三条角平分线的交点。例题解析例3：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线。若△ABC的面积是24，求△ABE的面积。分析：利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质逐步求解。解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC。∴S_△ABD=S_△ADC=1/2S_△ABC（等底同高的三角形面积相等）∵S_△ABC=24，∴S_△ABD=1/2×24=12。∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴AE=ED。∴S_△ABE=S_△BED=1/2S_△ABD∴S_△ABE=1/2×12=6。答：△ABE的面积是6。巩固练习1.如图，在△ABC中，∠C=90°。（1）指出图中BC边上的高是_______，AC边上的高是_______。（2）若AC=3，BC=4，AB=5，则点C到AB的距离是_______。（提示：利用面积法）2.下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部B.直角三角形只有一条高C.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等D.三角形的重心到一个顶点的距离是它到这个顶点对边中点距离的两倍3.在△ABC中，已知D是AB的中点，E是AC的中点，若△ADE的面积是5，求△ABC的面积。课堂小结1.三角形的高、中线、角平分线的定义和画法。2.三角形的垂心（高的交点）、重心（中线的交点）、内心（角平分线的交点）及其位置特征。3.重要性质：*中线等分三角形面积。*角平分线分得的两个角相等。11.1.3三角形的稳定性学习导航我们在生活中经常看到用三角形结构搭建的物体，比如自行车车架、起重机的吊臂、屋顶的桁架等。为什么这些结构要采用三角形呢？三角形具有什么特殊的性质？新知探究活动一：动手体验1.制作模型：用三根木条钉成一个三角形框架，用四根木条钉成一个四边形框架。2.观察与操作：分别拉动三角形框架和四边形框架，你有什么发现？*三角形框架拉动后，形状和大小不会改变。*四边形框架拉动后，形状和大小容易改变。3.得出结论：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。活动二：思考与应用1.思考：为什么三角形具有稳定性？（可以从边的关系或内角和的角度简单解释，如三角形三边确定后，形状和大小就唯一确定了。）2.举例：你还能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗？（如：照相机的三脚架、电线杆的拉线、篮球架的底座等。）3.四边形不稳定性的应用：四边形的不稳定性在生活中是否也有应用？（如：伸缩门、活动衣架、折叠伞的骨架等。）巩固练习1.下列图形中，具有稳定性的是（）（A）正方形（B）长方形（C）直角三角形（D）平行四边形2.要使一个五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条？请画出示意图。3.小明想把一个四边形的相框固定在墙上，使其不易变形，他至少需要钉_______根木条。课堂小结1.三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在三边确定后不易改变。2.应用：解释生活中的现象，解决实际问题。---11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角学习导航我们知道，一个平角的度数是